几何概型中利用计算机随机模拟试验

课例：几何概型中利用计算机随机模拟试验 广东省清远市清城区第一中学 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 组    冯国柱 一、教材分析：本课选自人民教育出版社（数学必修3）A版第三章《概率》中“几何概型”的第二课时《3.3.2均匀随机数的产生》。本小节是在学生已经掌握几何概型的基础上，是解决几何概型问题的又一方法，学习本节对全面系统地理解掌握概率知识，对于培养学生自觉动手、动脑的习惯，对于学生辩证思想的进一步形成，具有良好的作用。 二、教学目标： 1、知识与技能目标： （1）了解均匀随机数的概念； （2）掌握利用计算机产生均匀随机数的方法； （3）会利用均匀随机数解决具体的有关几何概型概率的问题。 2、过程与方法目标：通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。 3、情感态度与价值观：本节课的主要特点是随机试验多，学习时可以培养学生勤学严谨的学习习惯。 三、重点与难点： 重点：利用计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中； 难点：把实际问题中事件对应的区域转化为随机数的范围。 四、学法分析：通过对本节例题的模拟试验，认识用计算机模拟试验解决概率问题的方法，体会到用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识。 五、教学用具：投灯片，计算机及多媒体教学。 六、教学过程设计： 1、复习回顾：（复习几何概型的概念、公式和特点为以下分析解答例题提供理论基础。） 【教师活动】 复习提问：（1）什么是几何概型？（2）几何概型的概率公式是怎样的？（3）几何概型的特点是？ 【学生活动】 回答老师提问：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型； （2）几何概型的概率公式： P（A）= ； （3）几何概型的特点： 1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个； 2）每个基本事件出现的可能性相等． 2、问题提出：（通过一系列设问，引起学生思考，提高学生参与解决问题的兴趣，） 我们在古典概型中我们可以利用（整数值）随机数来模拟古典概型的问题，那么在几何概型中我们能不能通过随机数来模拟试验呢？如果能够我们如何产生随机数？又如何利用随机数来模拟几何概型的试验呢？ 3、例题分析：（通过亲自实践，引起学生思考，增强学生参与解决问题的兴趣，让学生掌握利用计算机进行随机试验的方法，培养学生动手能力） 【教师活动】 例1  某人午觉醒来，发现 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率． 分析：假设他在0～60分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为电台每小时报时一次,他在0到60分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的,所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件. 解:设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)= = ，即此人等车时间不多于10分钟的概率为 ． 例题小结：在本例中，打开收音机的时刻X是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称X服从[0,60]上的均匀分布，X为[0,60]上的均匀随机数．均匀随机数的概念：如果X是区间[a ，b]上的任何一点，且是等可能的，那么我们称X服从[a ，b]上的均匀分布，X称为[a ，b]上的均匀随机数。 根据以上均匀随机数的概念和对例题的小结，我们可以在计算机上产生一列[0,60]上的均匀随机数，当随机数在[50,60]之间时，就是事件A发生了，统计出[0,60]上的均匀随机数在[50,60]之间的数的个数，再除以随机数的个数，就可以得到这次试验中A事件发生的频率。 根据以上分析我们可以利用计算机对以上例题进行试验解题 （1）利用计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a1=RAND（）． （2）经过伸缩变换，a=a1*60，可以得到a为[0，60]内随机数． （3）统计出[0，60]内随机数的个数N和[50，60] 内随机数的个数N1． （4）计算频率fn(A)= ． （5）经过多次试验我们可以得出概率P（A）的近似值． 【学生活动】：学生按步骤亲自到讲台操作，体会随机试验结果的不确定性，理解频率与概率的联系与区别。 【学生活动】：让学生独立完成设计试验步骤，并把设计出来的步骤付之实践，得出题目的解答。 练习1：利用计算机随机模拟试验，求在两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，灯与两端距离都大于2m的概率的近似值． 解：（1）利用计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a1=RAND（）． （2）经过伸缩变换，a=a1*6，可以得到a为[0，6]内随机数． （3）统计出[0，6]内随机数的个数N和[2，4] 内随机数的个数N1． （4）计算频率fn(A)= ． （5）经过多次试验我们可以得出概率P（A）的近似值． 【学生活动】：让学生独立完成试验步骤的设计，加深对随机试验法的理解。 练习2：（1）设计计算机随机模拟试验的步骤，求取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率的近似值？ （2）设计计算机随机模拟试验的步骤，求在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，这个正方形的面积介于36cm2 与81cm2之间的概率的近似值． 分析：（1）在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍[0，3]内的任意数，并且每一个实数被取到都是等可能的。因此在任意位置剪断绳子的所有结果（基本事件）对应[0，3]上的均匀随机数，其中取得的[1，2]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1，2]内，也就是剪得两段长都不小于1m。这样取得的[1，2]内的随机数个数与[0，3]内个数之比就是事件A发生的概率。 （2）正方形的面积只与边长有关，此题可以转化为在12cm长的线段AB上任取一点M，求使得AM的长度介于6cm与9cm之间的概率． 解（1）：（1）利用计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a1=RAND（）． （2）经过伸缩变换，a=a1*3． （3）统计出[1，2]内随机数的个数N1和[0，3] 内随机数的个数N． （4）计算频率fn(A)= ． （5）经过多次试验我们可以得出概率P（A）的近似值． 解（2）：（1）用计算机产生一组[0，1]内均匀随机数a1=RAND（）． （2）经过伸缩变换，a=a1*12得到[0，12]内的均匀随机数． （3）统计试验总次数N和[6，9]内随机数个数N1 （4）记事件A={面积介于36cm2 与81cm2之间}={长度介于6cm与9cm之间}，计算频率fn(A)= ． （5）经过多次试验我们可以得出概率P（A）的近似值． 【教师活动】 根据学生设计的步骤教师可以在讲台上演示，以验证学生所设计的步骤。以上例题和练习都是产生一组均匀随机数对问题进行试验，事实上我们针对不同的问题，还可以利用计算机产生两组随机数来对问题进行模拟试验。如下例： 例2 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？ 分析：用计算机产生随机数模拟试验，我们可以利用计算机产生0～1之间的均匀随机数，利用计算机产生X是0～1的均匀随机数，则送报人送报到家的时间为X＋6.5，利用计算机产生Y是0～1的均匀随机数，则父亲离家的时间为Y＋7，如果Y＋7＞X＋6.5，即Y＞X－0.5时，事件A＝{父亲离家前能得到报纸}发生，所以 解：（1）用计算机产生两组[0，1]内均匀随机数X=RAND（），Y=RAND（）． （2）经过伸缩变换，X＋6.5得到[6.5，7.5]内的均匀随机数和Y＋7得到[7，8]内的均匀随机数． （3）统计试验总次数N和符合Y＞X－0.5的随机数对个数N1 （4）计算频率fn(A)= ． （5）经过多次试验我们可以得出概率P（A）的近似值． 例3 在如图的正方形中随机撒一把豆子，用计算机随机模拟的方法估算圆周率的值。 分析：随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似值成正比，即 ， 假设正方形的边长为2，则 ，由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以 ，这样就得到了 的近似值。 解：（1）用计算机产生两组[0，1]内均匀随机数a1=RAND（），b1=RAND（）． （2）经过平移和伸缩变换，a=(a1-0.5)*2，b=(b1-0.5)*2． （3）数出落在圆内 的点（a，b）的个数N1 ，计算 （N代表落在正方形中的点（a，b）的个数。 【学生活动】：让学生独立完成对实际问题转化为数学模型，并设计试验步骤，把设计出来的步骤付之实践，得出题目的解答。 练习3：利用随机模拟方法计算如图中阴影部分（y＝1和y＝x2所围成的部分）的面积。 分析：在坐标系中画出矩形（x＝1，x＝－1，y＝1和y＝－1所围成的部分），利用模拟的方法根据落在阴影部分的“豆子”数和落在矩形的“豆子”数的比之值，等于阴影面积与矩形面积的比值。 解答：（1）用计算机产生两组[0，1]内均匀随机数a1=RAND（），b=RAND（）． （2）经过平移和伸缩变换，a=(a1-0.5)*2． （3）数出落在阴影内（即满足00）的样本点数N1 ，计算 （N代表落在矩形中的点（a，b）的个数）。 4、课堂小结： 【教师活动】：（提问小结，分小组对以下问题进行讨论，总结。） （1）我们这节课学了什么内容？（2）要解决这节课的问题关键是什么？（3）用计算机来模拟几何概型的问题有何优点？ 【学生活动】：（通过学生分小组讨论总结这节课所学的内容，加深对随机模拟试验的认识，通过小组讨论培养学生的合作精神，在知识上能取长补短。） 我们的结论是（1）①利用一组随机数进行模拟试验，②利用两组随机数进行模拟试验。（2）用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围。（3）用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识； 【教师小结】： 均匀随机数在日常生活中，有着广泛的应用，我们可以利用计算机来产生均匀随机数，从而来模拟随机试验，其具体方法是：建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的量（如概率值、常数）有关（如例题3），然后设计适当的试验，并通过这个试验的结果来确定这些量。 5、作业：设计计算机随机模拟试验的步骤并在计算机上进行模拟试验，甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率。