极差、方差、标准差知识辨析及应用
极差、方差、标准差都是用来研究一组数据的离散程度，表示一组数据离散程度的指标．
一、极差、方差、标准差比较
1、极差：
极差是用来反映一组数据变化范围的大小．我们可以用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差就称为极差．
极差＝最大值－最小值
极差仅只表示一组数据变化范围的大小，只对极端值较为敏感，而不能表示其它更多的意义．
2、方差
方差是反映一组数据的整体波动大小的指标，它是指一组数据中各数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况．
求一组数据的方差可以简记为：“先平均，再求差，然后平方，最后再平均．”通常用表示一组数据的方差，用表示一组数据的平均数，、、…表示各数据．
公式（1）：
方差的两个简化公式：
公式（2）：用表示一组数据的方差，用表示一组数据的平均数，、、…表示各数据．，
公式（3）：用表示一组数据的方差，用表示一组数据的平均数，、、…表示各数据．若将每个数据同时减去一个与样本平均数接近的常数，并设： ，…，记
则
3、标准差：
在计算方差的过程中，可以看出的数量单位与原数据的不一致，因而在实际应用时常常将求出的方差再开平方，这就是标准差．
标准差＝，方差＝标准差2．
方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小．方差较大的波动较大，方差较小的波动较小，方差的单位是原数据的单位平方，标准差的单位与原数据的单位相同．在解决实际问题时，常用样本的方差来估计总体方差方法去考察总体的波动情况．
二、极差、方差、标准差应用
例1、甲、乙两支篮球队在一次联赛中，各进行10次比赛得分如下：
甲队：100，97，99，96，102，103，104，101，101，100
乙队：97，97，99，95，102，100，104，104，103，102
（1） 求甲、乙两队的平均分和极差？
（2）计算甲、乙两队的方差与标准差，并判断哪支球队发挥更为稳定？
解：（1）
甲队的极差＝104－96＝8； 甲队的极差＝104－95＝9
（2）
甲队的标准差：； 乙队的标准差：
所以，由此可以判断甲队的得分方差小，标准差也相应较小，因此他们在联赛中发挥更为稳定一些．
注：（1）极差仅只表示一组数据变化范围的大小，而不能表示其它更多的意义．
（2）本题利用公式（3）： 计算更方便．
例2、对10盆同一品种的花施用甲、乙两种花肥，把10盆花分成两组，每组5盆，记录其花期：
甲组：25，23，28，22，27
乙组：27，24，24，27，23
（1）10盆花的花期最多相差几天？
（2）施用何种花肥，花的平均花期较长？
（3）施用哪种保花肥效果更好？
分析：花期的极差就是花期最多相差的天数，花的平均花期就是分别求得甲、乙两组数据的平均数，而看哪种保花肥效果好，关键是比较方差，方差越小，波动越小，效果越好！
解：（1）28－22＝6（天） 所以，10盆花的花期最多相差6天．
（2）由平均数公式得：
得，所以，无论用哪种花肥，花的平均花期相等．
（3）由方差公式得：
得故施用乙种花肥，效果比较可靠
图1中的数字表示每一级台阶的高度(单位:cm).并且数据15,16, 16,14,14,15的方差,数据11,15,18, 17,10,19的方差
例3、(2004河北实验区中考题)在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶.图1是其中的甲、乙段台阶路的示意图.请你用所学过的有关统计知识（平均数、中位数、方差和极差）回答下列问题：
（1）两段台阶路有哪些相同点和不同点？
（2）哪段台阶路走起来更舒服？为什么？
（3）为方便游客行走，需要重新整修上山的小路.对于
这两段台阶路，在台阶数不变的情况下，请你提出
合理的整修建议.
图1
解：（1）
∴相同点：两段台阶路高度的平均数相同．
不同点：两段台阶路高度的中位数、方差和极差均不相同．
（2）甲路段走起来更舒服一些，因为它的台阶高度的方差小．
（3）整修建议：使每个台阶高度均为15cm（原平均数），使得方差为0．
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