2015年高考椭圆综合题做题技巧与方法
总结
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2015年高考椭圆综合题做题技巧与方法总结
知识点
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梳理,
1. 椭圆定义,
,1,第一定义,平面内与两个定点的距离之和为常数的动F、F2a(2a,|FF|)1222点的轨迹叫椭圆,其中两个定点叫椭圆的焦点. F、FP12
当时, 的轨迹为椭圆 ; ; PPF，PF,2a,FF1212
当时, 的轨迹不存在; PPF，PF,2a,FF1212
当时, 的轨迹为 以为端点的线段 F、FPPF，PF,2a,FF121212
ll,2,椭圆的第二定义:平面内到定点与定直线(定点不在定直线上)的距离FF
0,e,1之比是常数()的点的轨迹为椭圆 e
,利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互
转化,.
2.椭圆的方程与几何性质:
2222yxxy 标准方程 ，,1(a,b,0)，,1(a,b,0)2222abab
222 a,b，c 参数关
性
系
(c,0),(,c,0)(0,c),(0,,c) 焦点 质
2c焦距
|x|,a,|y|,b |y|,a,|x|,b 范围
(,a,0),(a,0),(0,,b),(0,b) (0,,a),(0,a),(,b,0),(b,0) 顶点
对称性 关于x轴、y轴和原点对称
c离心率 e,,(0,1)a
22aa准线 x,,,,ycc
考点1 椭圆定义及标准方程
题型1:椭圆定义的运用
[例1 ]
椭圆有这样的光学性质,从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A、B是它的焦点,长轴长为2a,焦距为2c,静放在点A的小球,小球的半径不计,,从点A沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点A时,小球经过的路程是
y A,4a B,2(a,c) C,2(a+c) D,以上答案均有可能 P
[解析]按小球的运行路径分三种情况: D C
O x A B A,C,A(1),此时小球经过的路程为2(a,c);
Q A,B,D,B,A(2), 此时小球经过的路程为2(a+c);
A,P,B,Q,A(3)此时小球经过的路程为4a,故选D
总结,考虑小球的运行路径要全面
练习
21.短轴长为5,离心率的椭圆两焦点为F,F,过F作直线交椭圆于A、e,1213
B两点,则?ABF的周长为 , , 2
A.3 B.6 C.12 D.24
[解析]C. 长半轴a=3,?ABF的周长为4a=12 2
22xy22，,12.已知为椭圆上的一点,分别为圆和圆MN,(3)1xy，，,P2516
22上的点,则的最小值为, , PMPN，(3)4xy,，,
A, 5 B, 7 C ,13 D, 15 [解析]B. 两圆心C、D恰为椭圆的焦点,,PMPN，的最？|PC|，|PD|,10小值为10-1-2=7
题型2 求椭圆的标准方程
[例2 ]设椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴,一个焦点与短轴两端点的连线互
42相垂直,且此焦点与长轴上较近的端点距离为,4,求此椭圆方程. 【解题思路】将题中所给条件用关于参数的式子“描述”出来 a,b,c
2222xyxy，,1，,1(a,b,0)[解析]设椭圆的方程为或, 2222abba
,bc,
,a,c,4(2,1)则, ,
222,,，abc,
2222xyxy，,1，,1a,42解之得,,b=c,4.则所求的椭圆的方程为或. 32161632总结,准确把握图形特征,正确转化出参数a,b,c的数量关系, ,警示,易漏焦点在y轴上的情况,
练习,
223. 如果方程x+ky=2
表
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示焦点在y轴的椭圆,那么实数k的取值范围是
____________.
222yx[解析](0,1). 椭圆方程化为+=1. 焦点在y轴上,则>2,即k<1. 2k2
k
又k>0,?0
0 ,*,
2,1,2kmm
x，x,x,, x 121222k，k，22
,x，x,,2x122,?AP,3PB ?,x,3x ?, 122 ,xx,,3x122,
2,2kmm,122消去x,得3,x，x,，4xx,0,?3,,，4,0 2121222k，2k，2
2222整理得4km，2m,k,2,0
22,2m11222m,时,上式不成立,m?时,k,, 2444m,1
22,2m112因λ,3 ?k?0 ?k,>0,?,12m,2成立,所以,*,成立
11即所求m的取值范围为,,1,,,?,,1, 22
总结,椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一,应充分重视向量的功
能
22xy例7,椭圆上一点向轴引垂线,垂足恰为椭圆的左焦点，,,,1(0)abxP22ab
,,,,,,,,,为椭圆的右顶点,是椭圆的上顶点,且. FABOP,,,,(0)AB1
?、求该椭圆的离心率.
?、若该椭圆的准线方程是x,,25,求椭圆方程.
,,,,,,,,
OPBOA[解析] ?、 ,?,???, ABOP,,PFO？？？AB1
PFFOcbc11, ？,,,,PF1BOOAaa
22PFcb1？,bc又,, PcyPF(,)1,,，,,,1222aba
222222而abc,，. ？,,,ace22
2a2？x,,25？,,,2525ac ?、为准线方程,, c
2,ac,25222,a,10,xy,，,1由, 所求椭圆方程为, bc,,？,,2105b,5,,,222abc,，,
练习
，，x14.设过点Px,y的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点,点yABQBP,2PAOQ,AB,1与点关于轴对称,为坐标原点,若,且,则点OyPP
的轨迹方程是 , ,
332222，，，，x，3y,1x,0,y,0x,3y,1x,0,y,0 A. B. 22
332222，，，，3x,y,1x,0,y,03x，y,1x,0,y,0C. D. 22
3322AB,(,x,3y),OQ,(,x,y)？x，3y,1[解析] ,选A. 22
课后作业
1. 如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,AB1
,且,则椭圆的离心率为( ) ，BDB,901
5,13,15,13 A B C D 2222
5,1bb22[解析] B . ,(,),,1,a,c,ac,e,ac2
2x22. 设F、F为椭圆+y=1的两焦点,P在椭圆上,当?FPF面积为1时,12124
的值为 PF,PF12
A、0 B、1 C、2 D、3
3[解析] A . , P的纵坐标为,,从而P的坐标为？S,3|y|,1？,FPFP123263(,,,),0, PF,PF,1233
22xyA(4,2)3.椭圆的一条弦被平分,那么这条弦所在的直线方程是 ，,1369
A,xy,,20 B,2100xy，,, C,220xy,,, D,xy，,,280
2222xyxyy,y121122，,1，,1[解析] D. ,,两式相减得,x，x，4(y，y),0,1212369369x,x12
1y,y12？,,？x，x,8,y，y,4, 12122x,x12
3,AB，?ABCtanB,，,A904.在中,,,若以为焦点的椭圆经过点,则该C4
e,椭圆的离心率 ,
AB1AB,4k,AC,3k,BC,5k,e,,[解析] AC，BC2
F,F5. 已知为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若12
, 则此椭圆的离心率为 _________. ，PFF:，PFF:，FPF,1:2:3122112
[解析] 3,1 [三角形三边的比是] 1:3:2
22xyab,,6.在平面直角坐标系中,椭圆1( 0)的焦距为2,以O为圆心,，,a22ab
2,,a为半径的圆,过点作圆的两切线互相垂直,则离心率= , ,0e,,c,,
2a2[解析],2a,e, c2
22xy，,1(a,b,0)7、已知椭圆与过点A(2,0),B(0,1)的直线l有且只有一22ab
3个公共点T,且椭圆的离心率,求椭圆方程 e,2
1[解析]直线l的方程为, y,,x，12
22a,b322 由已知 ? ,,a,4ba2
22,yx，,1,221,2222222ab由 得, (b，a)x,ax，a,ab,0,14,y,,x，1,2,
22422222a,4,4b ?,即 ? ,,a,(4b，a)(a,ab),0
122由??得,2 a,，b,2
22yx 故椭圆E方程为 ，,112
2
222xy，,1(,1,8.已知A、B分别是椭圆的左右两个焦点,O为坐标原点,点P,222ab
在椭圆上,线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。
,1,求椭圆的标准方程,
sinsinAB， ,2,点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点,对于?ABC,求的sinC
值。
[解析],1,?点是线段的中点 MPB
OM?是?的中位线 PAB
OM,AB又? PA,AB
c,1,
,11,222? ，,,,,12,1,1解得abc,22ab2,222,abc,，,
2x2，y?椭圆的标准方程为=1 2
C
,2,?点C在椭圆上,A、B是椭圆的两个焦点
22?AC，BC,2a,,AB,2c,2 AB
BCACAB,,在?ABC中,由正弦定理, sinsinsinABC
sinsinAB，BCAC，22,,2?, sinCAB2
29. 已知长方形ABCD, AB=2,BC=1.以AB的中点为原点建立如图8所示的O
平面直角坐标系. xoy
(?)求以A、B为焦点,且过C、D两点的椭圆的标准方程;
ll(?)过点P(0,2)的直线交(?)中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得以弦MN为直
yl径的圆恰好过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
D C
x O A B
图8
[解析] (?)由题意可得点A,B,C的坐标分别为. ，，，，，，,2,0,2,0,2,1
22xy设椭圆的标准方程是. ，，，,1a,b,022ab
则2a,AC，BC
2222,2,,2，1,0，2,2，1,0 ，，，，，，，，，，,4,22
？a,2
222. ？b,a,c,4,2,2
22xy，,1.椭圆的标准方程是 ？42
l(?)由题意直线的斜率存在,可设直线的方程为. ，，y,kx，2k,0
设M,N两点的坐标分别为 ，，，，x,y,x,y.1122
,，2ykx,联立方程: ,22x，2y,4,
22消去整理得, ，，1，2kx，8kx，4,0y
8k4x，x,,,xx,有 1212221，2k1，2k
OM,ON若以MN为直径的圆恰好过原点,则,所以, xx，yy,01212
所以,，，，，, xx，kx，2kx，2,01212
2即 ，，，，1，kxx，2kx，x，4,01212
2241，k16k，，,，4,0所以, 221，2k1，2k
28,4k,0,即 21，2k
2得 k,2,k,,2.
l所以直线的方程为,或. y,2x，2y,,2x，2
l所以存在过P(0,2)的直线:使得以弦MN为直径的圆恰好过原点. y,,2x，2
浙公网安备 33021202002483