2013高一数学同步课时学案：第一章 1.7.2-1.7.3《棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积、球的表面积和体积》（北师大版必修2）

2013高一数学同步课时学案：第一章 1.7.2-1.7.3《棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积、球的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面积和体积》（北师大版必修2） 7.3 球的表面积和体积 学习目标 重点难点 1.在上一节学习的基础上，会用公式求柱、 锥、台体的体积(了解柱、锥、台体的体积重点:柱体、锥体、台体的体积的计算(会之间的关系( 用公式求球的表面积和体积( 2(记住球的表面积和体积公式，并进行有关难点:与球有关的组合体的体积计算( 计算( 疑点:已知几何体的三视图，首先转化为3(通过学习，提高空间思维能力和空间想象直观图，再求它体积. 能力，增强了探索问题和解决问题的信心( 1(柱、锥、台体的体积 V,Sh(S为柱体的底面积，h为柱体的高)( 柱体 1V,Sh(S为锥体的底面积，h为锥体的高)( 锥体3 1V,(S，S，S?S)h(S，S分别为棱台的上，下底面积，h为高)( 台体上下上下上下3 预习交流1 柱体、锥体、台体的体积公式有何联系, 提示:台体的体积公式中，如果设S,S，就得到柱体的体积公式V,Sh;如果设S上下柱体上 1,0，就得到锥体的体积公式V,Sh.因此，柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系，可表锥体3 示如下( 由上可见，柱体、锥体的体积公式是台体的体积公式的特例( 预习交流2 1(1)正棱锥的高和底面边长都缩小为原来的，则它的体积是原来的( )( 2 11A. B. 48 11C. D. 1632 (2)已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为________( 提示:(1)B (2)283 2(球的表面积和体积 423S,4πR，V,πR(其中R为球的半径)( 球面球3 预习交流3 (1)若球的半径由R增加为2R，则这个球的表面积变为原来的________倍，体积变为原来的________倍( (2)若一个球的体积为43π，则它的表面积为______( 提示:(1)4 8 (2)12π 版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com 1(柱体的体积 如图?是一个水平放置的正三棱柱ABC?ABC，D是棱BC的中点(正三棱柱的主视图如图111 ?. 求正三棱柱ABC?ABC的体积( 111 思路分析:由三视图可以得到正三棱柱的底面三角形的高和侧棱长( 解:由三视图可知:在正三棱柱中，AD,3，AA,3，从而在底面即等边?ABC中，AB,1 AD3,,2， sin 60?3 2 所以正三棱柱的体积 11V,Sh,×BC×AD×AA,×2×3×3,33. 122 1(圆柱的底面积是S，侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的体积是________( 解析:设圆柱的底面半径为r， S2则S,πr，?r,， π 则圆柱的母线长,2π,2πS， lr 即圆柱的高h,2πS， ?V,S?h,2SπS. 圆柱 答案:2SπS 2(根据图中物体的三视图(单位:cm)，求此几何体体积( 1解:该几何体上方是底面半径为，母线长为1的圆柱，下方是一个长、宽、高分别为2 4,1,1的长方体， 1π2,,从而V,4×1×1，π??1,，4. 24,, 1.求柱体的体积关键是求其底面积和高，底面积利用平面图形面积的求法，常转化为三角形及四边形，高常与侧棱、斜高及其在底面的正投影组成直角三角形，进而求解( 2(求组合体的体积应据其结构特征分析求解，如迁移与应用题2中为长方体上放一圆柱，故几何体体积为两体积之和( 2(锥体的体积 版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com 1(2011辽宁高考，文18)如图，四边形ABCD为正方形，QA?平面ABCD，PD?QA，QA,AB,2 PD. (1)证明PQ?平面DCQ; (2)求棱锥Q?ABCD的体积与棱锥P?DCQ的体积的比值( (1)证明:由条件知PDAQ为直角梯形( 因为QA?平面ABCD， 所以平面PDAQ?平面ABCD，交线为AD. 又四边形ABCD为正方形，DC?AD， 所以DC?平面PDAQ，可得PQ?DC. 2在直角梯形PDAQ中可得DQ,PQ,PD，则PQ?QD. 2 所以PQ?平面DCQ. (2)解:设AB,a. 由题设知AQ为棱锥Q?ABCD的高， 13所以棱锥Q?ABCD的体积V,a. 13 由(1)知PQ为棱锥P?DCQ的高( 22而PQ,2a，?DCQ的面积为a， 2 13所以棱锥P?DCQ的体积V,a. 23 故棱锥Q?ABCD的体积与棱锥P?DCQ的体积的比值为1. 1((2011陕西高考，理5)某几何体的三视图如图所示，则它的体积为( )( 2ππ2πA(8, B(8, C(8,2π D. 333解析:由几何体的三视图可知，原几何体是一个棱长为2的正方体且内部去掉一个底面与 12正方体上底面内切，高等于正方体棱长的圆锥(正方体的体积为8，圆锥的体积为πrh,3 2π2π，?所求几何体的体积为8,. 33 答案:A 2(下图是一个正方体，H，G，F分别是棱AB，AD，AA的中点(现在沿?GFH所在平面锯掉1 版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com 正方体的一个角，问锯掉的部分的体积是原正方体体积的几分之几, 3解:设正方体的棱长为a，则正方体的体积为a.三棱锥的底面是Rt?AGF，而?FAG为 190?，G，F分别为AD，AA的中点，所以AF,AG,a. 12 11112所以?AGF的面积为×a×a,a. 2228 又AH是三棱锥的高，H又是AB的中点， 1所以AH,a. 2 111123所以锯掉的部分的体积为××,. aaa32848 11133又?,，所以锯掉的部分的体积是原正方体体积的. aa484848 1(1)锥体的体积公式V,Sh既适合棱锥，也适合圆锥，其中棱锥可以是正3 棱锥，也可以不是正棱锥( (2)三棱锥的体积求解具有较多的灵活性，因为三棱锥的任何一个面都可以作为底面，所以 常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转换，这一方法叫做等积法( 3(台体的体积 CF将三棱柱分成体积如图，三棱柱ABC?ABC中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面EB11111为V，V的两部分，那么V?V,__________. 1212 思路分析:V对应的几何体AEF?ABC是一个棱台，一个底面的面积与棱柱的底面积相等，1111 1另一个底面的面积等于棱柱底面积的;V对应的是一个不 规则 编码规则下载淘宝规则下载天猫规则下载麻将竞赛规则pdf麻将竞赛规则pdf 几何体，显然V无法直接表示，224 可以考虑间接的办法，用三棱柱的体积减去V来表示( 1 解析:设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V，则V,V，V,Sh. 12 因为E，F分别为AB，AC的中点， 1所以S,S， ?AEF4 171S,,V,h,Sh， 1S，S，S?,,31244,, 5V,Sh,V,Sh，故V?V,7?5. 211212 答案:7?5 四边形ABCD中，A(0,0)，B(1,0)，C(2,1)，D(0,3)，绕y轴旋转一周，求所得旋转体的体 版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com 积( 解:?C(2,1)，D(0,3)， ?圆锥的底面半径r,2，高h,2. 1182?V=πrh=×22×2=. ,,圆锥 333?B(1,0)，C(2,1)， ?圆台的两个底面半径R=2，R′=1，高h′=1. 122,?V= (R+R′+RR′) ,圆台h 3172=×1×(2+12+2×1)= ， ,, 33?V=V+V=5π. 圆锥圆台 求不规则几何体的体积可通过对几何体分割，使每部分能够易求得其体积，也可将其“补”成规则几何体，使所求体积等于整体几何体的体积减去部分几何体的体积，这就是我们常说的割补法，是解决此类问题的常用方法，还要注意不同的割补方式会得到不同的几何体，做题时要仔细观察( 4(球的表面积和体积 (1)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )( 22A(3πa B(6πa 22C(12πa D(24πa (2)如果三个球的半径之比是1?2?3，那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的( )( A(1倍 B(2倍 C(3倍 D(4倍 思路分析:(1)该球的直径等于长方体的体对角线长( (2)可设出球的半径，计算出三个球的体积，然后求得结论( 解析:(1)由于长方体的长、宽、高分别为2a，a， a，则长方体的体对角线长为 222(2a)，a，a,6a.又长方体外接球的直径2R等于长方体的体对角线，?2R,6a. 22?S,4πR,6πa. 球 (2)半径大的球的体积也大，设三个球的半径分别为x,2x,3x，则最大球的半径为3x，其体 444333积为π×(3x)，其余两个球的体积之和为πx，π×(2x)， 333 444333，，πx，π×(2x)?π×(3x)?,3. 333，， 答案:(1)B (2)C 1((2011湖南高考，理3)如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )( 版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com 99A(π，12 B(π，18 22 C(9π，42 D(36π，18 解析:由题意知该几何体上部为直径为3的球，下部为长、宽、高分别为3,3,2的长方体， 349π2,,?该几何体的体积为V,π×，3×3×2,，18. 232,, 答案:B 2(请用所学知识探求表面积相等的球和正方体，哪个体积更大( 322解:设球的半径为r，正方体的棱长为a，依题意得4πr,6a，所以r,a.所以V球2π463,,33,π,a. a,,3π2π,, 63又因为V,a，且,1，所以V,V， 正方体球正方体π 即球的体积大于正方体的体积( 计算球的表面积和体积时要注意的问题: (1)关键是计算球的半径，而计算半径的关键是寻找球心的位置(因此，在解题过程中要特别关注题目中所揭示的球心位置，球面上的点等信息( (2)当球的半径增加为原来的2倍时，球的表面积增加为原来的4倍，球的体积增加为原来的8倍( (3)注意公式的“双向”应用，也就是说当知道球的表面积或体积时，也可以求出球的半径( 1. 已知高为3的直三棱柱ABC?A′B′C′的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B′?ABC的体积为( )( 11A( B. 2433C. D. 64 332解析:由题意知S,×1,， ?ABC44 版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com 13?V,S×3,. B′?ABC?ABC34 答案:D 2(已知两个球的半径之比为1?2，则这两个球的表面积之比为( )( A(1?2 B(1?4 C(1?6 D(1?8 2解析:由S,4πr知，若半径之比为1?2，则表面积之比为1?4. 答案:B 3(圆台的上、下底面的面积分别为π，4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是( )( 23πA. B(23π 3 73π73πC. D. 63 解析:设上、下底面半径为r′，r，母线长为l， 2πr′,π，r′,1，,,,,2πr,4π，r,2，则? ,, ,,π(r′，r)?l,6π，l,2.,, 22圆台的高h,l,(r,r′),3， 173π?V,(π，π?4π，4π)?3,. 圆台33 答案:D 4((2011辽宁高考，文8)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视 图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是( )( A(4 B(23 C(2 D.3 解析:由题意可设棱柱的底面边长为a， 32则其体积为a?a,23，得a,2. 4 由俯视图易知，三棱柱的左视图是以2为长，3为宽的矩形(?其面积为23.故选B. 答案:B 5.如图，一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为 6 cm，高为20 cm的一个圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米,(π? 3.14) 216,,解:设水面下降的高度为x cm，因为圆锥形铅锤的体积为×20=60π(cm3)， ,，，,,32,,23则小圆柱的体积为π×(20?2)×x,100πx(cm)( 所以60π,100πx，解得x,0.6(cm)( 则铅锤取出后，杯中水面下降了0.6 cm. 版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com 版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com