无锡市市北高中2014届高三期初考试
数学试卷
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将
答案
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填入答题纸填空题的相应答题线上．）
1．已知全集
，
，
，则
．
答案：
2．函数
的最小正周期是 ．
答案：1
3．
．
答案：－2
4．在等差数列
中，若
，则
．
答案：4
5．若正实数x，y 满足
，则xy 的最小值是 ．
答案：18
6． 若方程
的解所在区间为[m, m+1](m∈Z), 则m= .
答案：1
7． 设
，函数
有意义, 实数m取值范围 .
答案：
8．已知
、
、
都是单位向量，且
，则
的值为 ．
答案：
9．已知函数
的图象关于直线
，则f(x)的单调递增区间
为 ．
答案：
10．椭圆中有如下结论：椭圆
上斜率为1的弦的中点在直线
上，类比上述结论得到正确的结论为：双曲线
上斜率为1的弦的中点在直线 上．
答案：
11．设
则
的值为 ．
答案：28
12．函数
在区间
上的最小值为_________．
答案：0
13．已知
是边长为4的正三角形，D、P是
内部两点，且满足
，则
的面积为 ．
答案：
14.已知函数
，若
,且
，则
的最小值是 .
答案： -16
二、解答题：（本大题共6小题，共90分将解答过程写在答卷纸上相应的位置）
15．(本题满分14分)
如图，正三棱柱
中，点
是
的中点.
（Ⅰ）求证:
平面
；
（Ⅱ）求证:
平面
.
证:（Ⅰ）因为
是正三角形,而
是
的中点，所以
……………3分
又BC是两个相互垂直的平面
与面
的交线,且
,所以
……………………………… 7分
（Ⅱ）连接
,设
,则E为
的中点,连接
,由
是
的中点,
得
………11分
又
,且
,所以
平面
………14分
16．（本题满分14分）
已知
．
（1）若
，求
的值；
（2）若
，求
的值．
解：（1）∵
∴
…………………………………………5分
（2）∵
∴
…………………………………………7分
……………………………………9分
或
或7 ………………………………14分
17．(本题满分14分)
如图，在
中，
边上的中线
长为3，且
，
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求
边的长．
解:（Ⅰ）因为
，所以
…………2分
又
,所以
…………… 4分
所以
………………………7分
（Ⅱ）在
中,由正弦定理,得
,即
,解得
……………10分
故
,从而在
中,由余弦定理,得
=
,所以
……………………14分
18．（本题满分16分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过C点。已知AB=3米，AD=2米。
（1）设
（单位：米），要使花坛AMPN的面积大于32平方米，求
的取值范围；
（2）若
（单位：米），则当AM，AN的长度分别是多少时，花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积。
解：由于
则AM＝
故SAMPN＝AN?AM＝
…………4分
（1）由SAMPN > 32 得
> 32 ，
因为x >2，所以
，即（3x－8）（x－8）> 0
从而
即AN长的取值范围是
…………8分
（2）令y＝
，则y′＝
………… 10分
因为当
时，y′< 0，所以函数y＝
在
上为单调递减函数，
从而当x＝3时y＝
取得最大值，即花坛AMPN的面积最大27平方米，
此时AN＝3米，AM=9米 …………15
19．（本题满分16分） 设二次函数
在区间
上的最大值、最小值分别是M、m，集合
．
（1）若
，且
，求M和m的值；
（2）若
，且
，记
，求
的最小值．
解：（1）由
……………………………1分
又
…………………3分
…………4分
……………………………5分
……………………………6分
（2）
x=1
∴
， 即
……………………………8分
∴f（x）=ax2+（1–2a）x + a, x∈[–2,2] 其对称轴方程为x=
又a≥1，故1–
……………………………9分
∴M=f（–2）=9a – 2 …………………………10分
m=
……………………………11分
g（a）=M+m=9a–
–1 ……………………………14分
=
………16分
20．（本题满分16分）已知数列
中，
前
和
①求证：数列
是等差数列 ②求数列
的通项公式
③设数列
的前
项和为
，是否存在实数
，使得
对一切正整数
都成立？若存在，求
的最小值，若不存在，试说明理由。
解：①∵
∴数列
为等差数列。
②
即公差为2
③
要使得
对一切正整数
恒成立，只要
≥
，
所以存在实数
使得
对一切正整数
都成立，
的最小值为
。
浙公网安备 33021202002483