《理论力学》第十一章 动量矩定理 习题解

《理论力学》第十一章 动量矩定理 习题解 第十一章 动量矩定理 习题解 1223x,3ty,4t[习题11-1] 刚体作平面运动。已知运动方程为:，，,t，其中长,CC2 ms度以计，角度以计，时间以计。设刚体质量为，对于通过质心且垂直于图10kgradC平面的惯性半径，求时刚体对坐标原点的动量矩。 ,,0.5mt,2s 解: y'y2x|,3，2,12(m) Ct,2 , 2y|,4，2,16(m) Ct,2mvCy,'xmvCdxdCx2Cv,,(3t),6t CxdtdtOx, kv|,6，2,12(m/s) Cxt,2 zdyd2Cv,,(4t),8t Cydtdt v|,8，2,16(m/s) Cyt,2 dd13,32,,(t),t ,dtdt22 32,|,，2,6(rad/s) t,22 ,,, L,[J,，M(mv)]k OCzZC ,,2L,[m,,，mvx,mvy]k OCyCCxC ,,2L|,10，[0.5，6，16，12,12，16]k Ot2, ,,,2z(kg,m/s)L|,15k ，是轴正向的单位向量。 kOt2, [习题11-2] 半径为，重为的均质圆盘固结在长，重为的均质水平直杆的端，RPABBWl ,绕铅垂轴以角速度旋转，求系统对转轴的动量矩。 Oz 解: 21PPl2,,,,Jl z,AB3g3g 1 221WWW(R4l)，22JRl,,,，,, zl圆盘,z4gg4g ,PL,J,,，J,, Wzz,ABz,圆盘mv11mv22222BAPlW(R，4l)y,[，],L xz3g4g O222Pl4WlWR,(，，),L z3g4g4g 222Pl3WlWR,(，，),L z3g3g4g P，3WW22L,(l，R), z3g4g mO[习题11-3] 已知均质圆盘质量为，半径为，当它作图示四种运动时，对固定点的动R1 OOC,l量矩分别为多大,图中。 11 O1(a)解: ,因为圆盘作平动，所以 , 2 L,J,,ml,OOz11CC (b)解: (a) 平动(b) 绕定轴C转动 ,,,, L,L，r，p OCC1 其中，质心C的动量为0 12L,J,,mR, OCz12 O1O1(c)解: ,122L,J,,(mR，ml), OOz112 ,(d)解: vCCC因为圆盘作平面运动，所以: , L,J,，M(mv) OCzOZC(c) 绕定轴O转动(d) 在圆弧上作纯滚动111 2 12 L,mR,,mR,(R，l)O12 11222 L,(R,R,Rl)m,,mR(R,l),O122 m[习题11-4] 均质直杆长为，质量为，、两端分别沿铅垂和水平轨道滑动。求ABABl ,, LL该杆对质心和对固定点的动量矩和(表示为和的函数)。 ,,COCO L解:(1) 求 Cyy,lcos, AAI ,,,dyA,vv,,,lsin,,,,,l,sin, ,AAdtvCxC,x,lsin, vB,Cy,AB,xB,,dxB,Ov,,lcos,,,,l,cos, BvdtB ,,v,,lcosB,,,,, (逆时针，转向如图所示) ABBIlcos, , L,J,，M(mv) CCABCC L,J,，0 CCAB ,12Lml ,,C12 ,,,12 L,ml,kC12 L(2)求 O 2ll22 OC,lcos,，,2,lcos,,,cos,42 lOC, 2 2ll22 IC,lcos,，,2,lcos,,,cos,42 lIC, 2 lx,sin, C2 3 y2,,,dx1mll2CL,ml,,, v,,,cos,OCx34dt2 AIll0 ,sin(90,,),cos,yC,22,v,Av,CxdylCCv,,,sin ,,Cy,dt2v,Cy,AB,,xBL,J,，M(mv) OCzABOzCO,,,v1kB2z L,ml,,mvy,mvxOCxCCyC12 ,,,1llll2 ,,,,,cos,,cos,,,,sin,,sin,LmlmmO122222 22,,,1mlml222L,ml,,,cos,,,sin, O1244 2,,1ml222,,,,(cos,，sin,)Lml O124 2,,1ml2,,,,Lml O124 ,12Lml ,,,O6 ,,,12 L,,ml,kC6 PP[习题11-5] 均质杆长、重，端刚连一重的小球(小球可视为质点)，杆上点ABBDl12 ,连一刚度系数为的弹簧，使杆在水平位置保持平衡。设给小球一微小初位移后无初Bk0 速释放，试求杆的运动规律。 AB 解:以杆为研究对象，其受力 AB 如图所示。 质点系的动量矩为: BA2DL,,J,，ml, OOz2,,l0 23PlP212l,,,,,Ll O3gg 外力矩为: 4 ,lly (),,,, MFTPPlOiD1232TD,kll,Ax(),,,, MFPPlROi12Ax,332,l,RDAyklll,P31(),,,, MFPPl,zOi12B332lP22,,kllMFPPl(),,, Oi1292 由动量矩定理得: ,dLO ,M(F) Oidt 22PlPPldkl,2121lPl(,,),,, ,,2dt3gg92 22PlPPld,d,kl,2121，l,,，，Pl 2392gdtgdt PPPd,kl,121(，)l,,，，P 23ggdt92 P,kl1,，，P2d,92, PPdt12(，)l3gg 9P18P2kl,12,，，d,181818, P3Pdt12(，)l3g3g ,(,2kl，9P，18P)12d,18, ，(P3P)ldt12 3g (,2kl，9P，18P)g,d,12, dt6(P，3P)l12 2,dkg3g ,,,，23(P3P)2ldt，12 5 2,dkg3g ，,,,023(P，3P)2ldt12 kg2 令:,，则上式变为: ,03(P，3P)12 ,,3g2 ,，,,,02l 通解为: ,,Asin(,t，,) 0 ,|,Asin(,，0，,),0 t,00 sin,,0 PPr[习题11-6] 两个重物A、B各重、，分别系在两条绳上，此两绳又分别围绕半径为、121 ,r的鼓轮上，重物受重力影响而运动。求鼓轮的角加速度。鼓轮和绳的质量均略去不计。 2 解:质点系的动量矩为: L,J,，mvr，mvr OOz111222 ,r222L,(J，mr，mr), OOz1122 r1O外力对O点之矩为: ,vM(F),Pr,Pr 20i1122 Bv1由动量矩定理可知: AP2,dLPO1,M(F) Oidt d22[(J，mr，mr),],Pr,Pr Oz11221122dt d,22(J，mr，mr),Pr,Pr Oz11221122dt 22(J，mr，mr),,Pr,Pr Oz11221122 Pr,Pr1122,, 22J，mr，mroz1122 6 Pr,Pr1122,, PP122212，0，R，r，r122gg PrPr,1122,g, 22PrPr，1122 r[习题11-7] 一倒置的摆由两根相同的弹簧支持。设摆轴圆球与直杆组成，球重，半径为，W 杆重不计。弹簧的刚度系数为。问当摆从平衡位置向左或向右有一微小偏移后，是否振动,k 写出能发和振动的条件。 C解:质点系的受力如图所示。 1WW22L,(,r，l), lOA2gg b ,OM(F),,2Fbcos,，Wltan, OiA , M(F),,2(kb,)b，Wl, Oi ,2M(F),(Wl,2kb), OiC由动量矩定理得: W ,d1WW222[(,r，l,)],(Wl,2kb), ldt2ggFFAAA b22,,(r，2l)Wd2,(Wl,2kb), OFOx2gdt 22FOyd2(Wl,2kb)g, ,,222dt(r，2l)W 22,dkbWlg2(2,) ，,,0222dtrlW(，2) 22(2kb,Wl)g2令，则: ,,022(r，2l)W ,,2,，,,,0 0 上式的通解为: ,,Asin(,t，,) 0 7 122(2kb,Wl)g2,,0能发出振动的条件是:，即:，也就是: [],0022(r，2l)W 2 2kb,Wl,0 Wl k,22b r[习题11-8] 卷扬机的、轮半径分别为、，对水平转动轴的转动惯量为J、J，BRC21物体重。设在轮C上作用一常力矩，试求物体上升的加速度。 PMA 解:以轮B为研究对象，应用动量矩定理得: ,dLB,M(F) Bidt RdPB(,J,,vR),PR,TR 1dtg v M,dPdvJ，R,(T,P)R 1rdtgdtCA PRJ,，a,(T,P)R 1Pg 2PR2JR,，a,(T,P)R 1g R 2PRB2Ja，a,(T,P)R………(1) 1gT a'M以轮C为研究对象，应用动量矩定理得: T rC,dLAC,M(F) Cidt Pd'(J,),M,Tr 22dt d,'2J,M,Tr 2dt 'J,,M,Tr 22 '2Jr,,Mr,Tr 22 8 2Ja,Mr,Tr 2 Mr,Ja2T,………(2) 2r (2) 代入(1)得: 2PR2Ja，a,(T,P)R 1g 2Mr,JaPR22(J，)a,(,P)R 12gr 222JRPRMR22(J，)a,,a,PR 12grr 222JRPRMR22(J，，)a,,PR 12grr 2222MRrPRr,MR2PR,2rra,, 222222RPRJrJRgPRr(，)，12JJ，，1222grrg 2(M,Pr)Rrg a,2222(Jr，JR)g，PRr12 9