谈矩阵的相似与合同

谈矩阵的相似与合同谈矩阵的相似与合同第14卷第1期 2012年2月衡水学院 JournalofHengshuiUniversity Vo1.14.NO.1 Feb.2012 谈矩阵的相似与合同刘和义 (衡水学院数学与计算机学院,河北衡水053000) 摘要:矩阵的相似与合同是截然不同的两个概念,本文给出了一般矩阵相似不合同,合同不相似的实例,给出了实对称矩阵合同与相似的充要条件,并得到实对称矩阵在正交变换条件下相似与合同达到了统一. 关键词:矩阵相似;矩阵合同;实对称矩阵中图分类号:O151.2文献...

谈矩阵的相似与合同第14卷第1期 2012年2月衡水学院 JournalofHengshuiUniversity Vo1.14.NO.1 Feb.2012 谈矩阵的相似与合同刘和义 (衡水学院数学与计算机学院,河北衡水053000) 摘要:矩阵的相似与合同是截然不同的两个概念,本文给出了一般矩阵相似不合同,合同不相似的实例,给出了实对称矩阵合同与相似的充要条件,并得到实对称矩阵在正交变换条件下相似与合同达到了统一. 关键词:矩阵相似;矩阵合同;实对称矩阵中图分类号:O151.2文献标识码:A文章编号:1673.2065(2012)01.0016.02 在《线性代数》课程的学习过程中,许多同学对矩阵的相似,矩阵的合同,实对称矩阵的相似与合同理解不清,问题的关键是注意到在不同条件下有不同的结论,本文对以下问题展开讨论. 1)矩阵的相似,矩阵的合同是截然不同的2个概念. 2)实对称矩阵的相似与合同. 3)实对称矩阵在正交变换下的相似与合同. 4)矩阵的相似变换与合同变换的实质. 1预备知识定义1对阶方阵A与,若存在可逆矩阵P使得P,AP=B,则称与B相似.记为. 定义2对n阶方阵与,若存在可逆矩阵F使得,F=,则称与合同.记为. 2问题解答 2.1矩阵与B相似,但矩阵与B不一定合同引理1若矩阵与合同,即存在可逆矩阵F使得FF=,则当可逆时,有IFI=. 证明因为可逆,所以?0,有,,=,两边取行列式既得l,I=. 侈u令[],[_3],P[三],有,P[.][][..],所以,. 下证与不合同. 令La2,a22 『l1]厂111o ~iJLo2 得则Fr=l口l1口2I,若矩阵与B合同,必有FrAF:B,有l a12a22l al1l口+1口21+21 LaIlal2+at2a2l+2a22a2l +l1+2口;1=0 alial2+a11a22+2a21a22一1 alial2+a12a2l+2a22a21=2 +口l22+2a222=3 (2)一(3)得 ll2一l22l=一3=IF d1al2+alia22+2 一 a2 . 1a O122a22 2 1_2'+q22+J ]==『收稿日期:2011-09—28 作者简介:刘和义(1956一),男,河北衡水人,衡水学院数学与计算机科学学院教授 Q) ) G) (4) = ]????J 兰塑堑堕塑塾皇全旦! :1.由引理1知与不合同. IFI.:9,Il:2.1l:2,而IFI.? 1l 2.2矩阵与合同,但矩阵与B不一定相似引理2矩阵与相似,则A与有相同的特征行列式和特征根. 证明因为A与相似,则存在可逆矩阵P使得P.AP=B I2E-AI=lp-t(AE—a)Pl=I2E—BI. 例2令:[:],=[],,=[],有FF=,所以. 又—Al=一22+1,I2E—BI:-52+4,l一I?l2E-Bl,由引理2知,矩阵A与B不相似. 2.3实对称矩阵的相似与合同定义3n阶矩阵满足UU=UU=E,则称U为正交矩阵. 引理3U,V为正交矩阵,则1)U=U,,2)U,U,,UV皆为正交矩阵. 引理4为实对称矩阵,一定存在正交矩阵U,使得U,AU=A.(或UAU=A)其中人为以A的特征值为对角元素的对角阵【2】. 引理5为实对称矩阵, 由引理3,4,5即可得到: 其中,Jq分别为A的正,负特征根个数].64. 定理1与为阶实对称矩阵,的充要条件为与具有相同的特征根. 定理2与为阶实对称矩阵,竺.的充要条件为与特征根的正根个数与负根个数对应相等. 定理3与为阶实对称矩阵,若,则竺. 证明因为为n阶实对称矩阵且坷,有引理2知,,有相同的特征根,有引理4知,存在正交矩阵,使UAU=A,VBV=A,即UAU=VBV,得厂.=B,所以,.由例2 知,定理3的逆命题不成立. 定理4与为阶实对称矩阵,在正交变换下,的充要条件为丝. 综上所述,虽然矩阵的相似与合同是截然不同的两个概念,不同的条件具有不同的结果,在实对称矩阵集上的正交变换下达到了统一,因此,我们可以用求相似变换矩阵的方法,利用实对称矩阵的特性,将相似变换矩阵变为正交变换矩阵,同时转化为正交合同变换,为二次型化为标准型做好了充分准备. 参考文献: [1】张禾瑞.高等代数[M].北京:高等教育出版社,1991. [2】苏德矿.线性代数[M】.北京:高等教育出版社,2008:120.140. TheSimilarityandContractofMatrix LIUHe-yi (CollegeofMathematicsandComputer,HengshuiUniversity,Hengshui,Hebei053000,China) Abstract:Thesimilarityandcontractofmatrixaretwodistinctconcepts.Inthispaper,wefirstdiscusstheexamplesof generalmatriceswhichhavesimilaritybutnocontractorhavecontractbutnosimilarityandthengivethenecessaryand sufficientconditionofsimilarityandcontractfortherealsymmetricmatrix.Finallywegettheconclusionthatthesimilarity agreeswiththecontractfortherealsymmetricmatrixunderorthogonaltransformcondition. Keywords:similarityofmatrix;contractofmatrix;realsymmetricmatrix (责任编校:李建明英文校对:吴秀兰) gE rE —.....................,.,..L?ll

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