【DOC】-数形结合思想方法(讲解 例题 巩固 测试)
数形结合思想方法(讲解+例题+巩固+测试)
高中数学的数形结合思想方法申占宝
数形结合的思想方法(1)---讲解篇
一、 知识要点概述
数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的:每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义;而形的问题也常借助数去思考，
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法，简言之，就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法，称之为数形结合的思想方法。
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形:或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地
说明
关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书
函数的性质;或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点:第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围。
二、 解题方法指导
1(转换数与形的三条途径:
? 通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。
? 转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。
? 构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。
2(运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法:
?“由形化数” :就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。
?“由数化形” :就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。
?“数形转换” :就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。
三、 数形结合的思想方法的应用
(一) 解析几何中的数形结合
解析几何问题往往综合许多知识点，在知识网络的交汇处命题，备受出题者的青睐，求解中常常通过数形结合的思想从动态的角度把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，达到研究、解决问题的目的.
1. 与斜率有关的问题
【例1】已知:有向线段PQ的起点P与终点Q坐标分别为P(-1，1)，Q(2，2).若直线l?x+my+m=0与有向线段PQ延长相交，求实数m的取值范围.
1
高中数学的数形结合思想方法申占宝
解:直线l的方程x+my+m=0可化为点斜式:y+1=-(x-0)，易知直线l过定点M(0，-1)，且斜率为-. ? l与PQ的延长线相交，由数形结合可
得:当过M且与PQ平行时，直线l的斜率趋近于最小;当过点M、Q时，直线l的斜率趋近于最大.
【点评】含有一个变量的直线方程可化为点斜式或化为经过两直线交点的直线系方程.本题是化为点斜式方程后，可看出交点M(0，-1)和斜率-.此类题目一般结合图形可判断出斜率的取值范围.
2. 与距离有关的问题
【例2】求:y=(cosθ-cosα+3)2+(sinθ-sinα-2)2的最大(小)值.
【分析】可看成求两动点P(cosθ，sinθ)与Q(cosα-3，sinα+2)之间距离的最值问题.
解:两动点的轨迹方程为:x2+y2=1和(x+3)2+(y-2)2=1，转化为求两曲线上两点之间距离的最值问题.如图:
3. 与截距有关的问题
3】若直线y=x+k与曲线x=
曲线x= 【恰有一个公共点，求k的取值范围. 例 解:上的截22是单位圆x+y=1的右半圆(x?0)，k是直线y=x+k在y轴
距.
由数形结合知:k=-直线与曲线相切时，，由图形:可得k=-，或-1
0，且f(x)?g(x)有最小值,,.则函数
y=f(x)?g(x)在区间,,b，-a,上( ).
,. 是增函数且有最小值,,
,. 是减函数且有最小值,,
,. 是增函数且有最大值,
,. 是减函数且有最大值,
析】 f ′(x)g(x)+f(x)g′(x)=,f(x)?g(x),′>0.
y=f(x)?g(x)在区间,a，b,(aax的解集是,x|0ax的解集是,x|01.
有y10)，那么不等式xf(x)<0的解集是( ).
,. ,x|0a,
,. ,x|-a0)，可得到f(x)图象，又由已知xf(x)<0，可知x与f(x)异号，从图象可知，当x?(-a，,)?(a，+?)时满足题意，故选,.
【例12】 设函数f(x),2
【解法,】由f(x)?,得2，求使f(x)?,?,,,
. 的取值范围.
5
高中数学的数形结合思想方法申占宝
立时，x的取值范围为,，+?). 易求出g(x)和h(x)的图象的交点
【解法3】 由的几何意义可设,1(,,，,)，,,(,，,)，,(x，y
)，则
，可知,的轨迹是以,1、,,为焦点的双曲线的右支，其中右顶点为(，,)，由
双曲线的图象和x+1,x-1?知x?.
【点评】 本题的三种解法都是从不同角度构造函数或不等式的几何意义，让不等式的解集直观地表现出来，体现出数形结合的思想，给我们以“柳暗花明”的解题情境.
(四)运用数形结合思想解三角函数题
纵观近三年的高考试题，巧妙地运用数形结合的思想方法来解决一些问题，可以简化计算，节省时间，提高考试效率，起到事半功倍的效果.
【例13】函数f(x)=sinx+2sinx，x?,,，,π,的图象与直线y=k有且仅有,个不同的交点，则k的取值范围是 .
6
高中数学的数形结合思想方法申占宝
【分析】本题根据函数解析式，画出图象，可以直观而简明地得出答案，在有时间限制的高考中就能大大地节约时间，提高考试的效率.
解:函数f(x),由图象可知:1sin(
x+ )(0<α<)，g(x)=tanx，画出图象，从图象上看出交点,的横?1.732>1.367，由图象知xP应小于.故选,.
，淘汰了,、,.再令α,，则sin+cos=?,.366，tan= 【点评】 本题首先构造函数f(x)，g(x)，再利用两个函数的图象的交点位置确定α>
两选项，然后又用特殊值估算，结合图象确定选项,，起到了出奇制胜的效果.
7
高中数学的数形结合思想方法申占宝
【例16】 已知函数f(x)是定义在(,,，,)上的奇函数，当01时，关于x的方程ax=logax无实解.”正确与
否.
错解:在同一坐标系中分别作出函数y=ax及y=logax的图象(a>1)(如
图1)，可见它们没有公共点，所以方程无实解，命题正确.
【评析】 实际上对不同的实数a，y=ax和y=logax的图象的延伸趋
势不同.例如当a=2时，方程无实数解;而当a=时，x=2是方程的
解.说明两图象向上延伸时，一定相交，交点在直线y=x上.
2、注意图象伸展“速度”
n2【例20】比较2与n的大小，其中n?2，且n?N+.
错解:在同一坐标系中分别作出函数y=2x及y=x2的图象(如图2).
由图可知，两图象有一个公共点.
当x=2时，2x=x2;
当x>2时，2x2，且n?N+时，2nn2.错因是没有充分注意到两个图象在x?2时的递增“速度”～要比较两个图象的递增速度，确实很难由图象直观而得.本题可以先猜想，后用数学归纳法证明. 本题的正确答案是
当n=2、4时，2n=n2;
当n=3时，2nn2.
证明略.
3、注意数形等价转化
2【例21】已知方程x+2kx-3k=0有两个实数在-1与3之间，求k的取值范围.
错解:令f(x)=x2+2kx-3k，结合题意画出图象3中的(1)，再由图象列出不等
解略.
【评析】 事实上，不等式组(*)并不与题意等价，图象3中的(2)也满足不等式组(*)，但两实根均大于3，还可以举出两实根均小于-1的反例.若不等式组(*)与图3中的(1)等价，需加上条件-3b>0)有四组实数解，求a、b、m应满足的关系.
错解:已知方程组中的两个方程分别是椭圆和抛物线的方程，原方程组有四组实数解等价于椭圆与抛物线有四个
0时的示意图.
视角二:由m?0，先将原方程变形，得x-1=x，再视方程x-1=x两边的代数为两个函数，分别画出函数y=x-1，
y=x的图象(如图2)，由图易看出: 当0<<1或-1<<0，即m<-1或m>1时，图象有两个不同交点，此时原方程异实根.
视角三:用分离参数法，先将原方程化为 分别作出函数
y=
不同的“结合”合”的 视杂. 式
有两个相
=m.
，y=m的图象(如图3)，由图易看出，当m<-1，m>1时，
两函数的图象有两个不同交点，
11
高中数学的数形结合思想方法申占宝
此时原方程有两个相异实根.
视角四:用分离参数法，先将原方程化为 当x>0时，得1-=，当x<0
时，得-1-=. 分别作出函数
y=
，
y=的图象(如图4)，由图易
.
看出，当0<<1或
-1<<0，即当m>1或m<-1时，两函
数的图象有两个不同交点，此时原方程有两个相异实根.
可见，例1的各解虽同是数形结合，但大有简繁之分，视角二优于视角一，视角一中两函数中的都含有m，因而他们的图象也是变化的，虽可以通过讨论而获得结论，但讨论时容易因考虑不周而产生漏解，视角三虽看图直观明了，但图象不易作出，而视角四既比视角三作图方便，又比视角二简单，不用讨论，这是因为视角二还有一个函数中含有m，而视角四中已不含m，所以这里以视角四为最理想.
【例24】已知函数f(x)=ax2+bx且2?f(1)?4，1?f(-1)?2，求f(-2)的取值范围.
这是我们常出错的题，其代数解法有待定系数法、特征函数法、三角代换法等，而众所周知的数形结合法是线性规划法.
这类问题可看作一个条件极值问题，即变量a、b在 2?a+b?4 ? 1?a-b?2 ? 这两个约束条件下，求目标函数y=4a-2b的最大(小)值问题
.约束条件2?a+b?4，1?a-b?2的解集是非空集，在坐标平面上表 示的区域是由直线:a+b=4，a+b=2，a-b=2，a-b=1所围成的封闭 图形(图5中的阴影部分).
y的大小又可以看作直线b=2a-y在b轴上截距的大小， 从图中易知当直线b=2a-y经过A(，)，C(3，1) 时截距分别为最小f(-2)=5和最大f(-2)=10. 以5?f(-2)?10.
实还可有如下数形结合法:
要求f(-2)的取值范围，只要确定f(-2)的最大(小)值，即找到f(x)图象在x=-2时的最高点F与最低点E的纵坐标，为此只要确定f(x)经E、F时的函数表达式，由于f(x)=ax2+bx是经过原点(c=0)的抛物线所以只要再有两点就可确定，由已知2?f(1)?4，1?f(-1)?2，知f(x)x=1时的最高点B(1，4)，最低点A(1，2)，f(x)在
x=-1时的最高D(-1，2)，最低点C(-1，1)，(如图6)，由抛物线的图象特征易知
2
过F点的图象就是经过O、B、D的图象C，经过E点的图象就是经过O、C的图象C1，于是:
将B(1，4)，D(-1，2)坐标代入f(x)=ax2+bx得
所 其 的过系，在点经A、
解得a=3，b=1.
故图象经过O、B、D的函数为C2?f(x)=3x2+x，所以 fmax(-2)
=10.
12
高中数学的数形结合思想方法申占宝
将A(1，2)，C(-1，1)的坐标代入f(x)=ax2+bx得
故图象经过O、A、C的函数为C1?f(x)=x2+x，fmin(-2)=5.
所以5?f(-2)?10.
2【例25】正数a、b、c、A、B、C满足a+A=b+B=c+C=k，求证:aB+bC+cA
原则
组织架构调整原则组织架构设计原则组织架构设置原则财政预算编制原则问卷调查设计原则
.
【例2】 如图所示，已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若F1，F2，P是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为( ).
解:以,为圆心以,,1为半径画圆，可知此圆与椭圆无交点，则?,1,
2P中?,,1,2(或?,,2,1)为直角，如此求出,点坐标即得yp=?，
故选,.
【点评】 本题以作图直观判断为突破口，直觉与逻辑推理互动，化解析几何问题为平面几何问题，化计算为判断，在理性的高度认识问题.
【例,】某城市各类土地租价y(万元)与该地段和市中心的距离x(km)关系如图所示.其中l1表示商业用地，l2表示工业用地，l3表示居住用地.要使各类用地租金收入最高，应将工业用地划在( ).
,. 与市中心距离分别为3km和5km的圆环型区域上
,. 与市中心距离分别为1km和4km的圆环型区域上
,. 与市中心距离为,km的区域外
,. 与市中心距离为5km的区域内
解:由函数y的实际意义知:在区间(,，,)上，即在与市中心距离分别为,km和,km的圆环型区域上，工业用地的租金大于商业用地的租金和居住用地的租金，为了获取最高的租金，因此这个区域应租用给工业，故选
B.
【点评】 这道题考查的是阅读理解能力，提醒我们在日常的学习中，要注意训练直觉思维，养成整体观察、检索信息、把握问题实质的良好习惯.
2. 注重绘图，突出对动手能力和探究性学习的考查
【例,】设奇函数f(x)定义域为,,,，,,，若当x?,,，,,时，f(x)图象如下图，则不等式f(x)<0的解集是____.
解:由奇函数的图象关于原点对称，完成f(x)在定义域内的图象，再由f(x)<0找出使f(x)图象在x轴下方的区域，从而得到不等式f(x)<0的解集为(-2，0)?(2，5,.
【点评】用数形结合的方法去分析解决问题除了能读图外，还要能画图.绘制图形既是数形结合方法的需要，也是培养我们动手能力的需要
.
15
高中数学的数形结合思想方法申占宝
【例,】设集合,,,(x，y)x?R，y?R,，,,,(x，y),x,y+m>0,，,,,(x，y)x，y-n?0,，那么点,(,，,)?,?(B)的充要条件是( ).
,. m>-1，n<5 ,. m<-1，n<5
,. m<-1，n>5 ,. m>-1，n>5
解:n=5.再确定两个不等式2x-y-1>0和x+y-5>0先假定点,(,，,)在直线2x-y+m=0和直线x+y-n=0上，则m=-1，
所共同确定的区域，平移两直线得到答案,.
【点评】此题考查了集合、二元一次不等式表示的区域、充要条件等知识.以运动、变化、联系的观点考虑问题，变静态思维方式为动态思维方式，强调辨证思维能力.
3. 注重对思维的灵活性和创造性的考查 【例,】已知点,是椭圆上的动点，,1，,,分别是左、右焦点，,为原点，则
的取值范围是( ).
解:此题的一种解法是:在?,,1,,中，根据中线定理得:PF1,+PF2,,2,P,+2F1,,，再由椭圆定义，得到(PF1-PF,),,,P,,,,，由2?,
P?2得答案,.另一种解法是数形结合，根据,点所处的位置对
取值的影响来判断出结论.逐渐移动,点到长轴端点，,P值逐渐增大，逐渐接近，当移动,点到短轴端点时PF1,PF,，取最小值0.从而判断出答案为,. 【点评】解法二是采用极端性原则变静态思维方式为动态思维方式，把数与形分别视为运动事物在某一瞬间的取值或某一瞬间的相对位置.运用动态思维方式处理、研究问题，揭示了问题的本质，体现了思维的灵活性. 4. 注重方法的通用性、应用性，突出能力考查
【例7】电信局为了满足客户的不同需求，制定了A，B两种话费计算
方案
气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载
.这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如下图所示(MN?CD).
(1)若通话时间为2小时，按方案A，B各付话费多少元,
(2)方案B从500钟以后，每分钟收费多少元,
(3)通话时间在什么范围内方案B才会比方案A优惠,
16
高中数学的数形结合思想方法申占宝
解:由M(60，98)，C(500，168)，N(500，230).
? MN?CD.
设这两方案的应付话费与通话时间的函数关系式分别为fA(x)，fB(x)，
(1)通话两小时的费用分别是116元和168元.
(2)由fB(n+1)-fB(n)=0.3(n>500)或由直线CD的斜率的实际意义知方案B从500分钟以后每分钟收费0.3元.
(3)由图知:当0?x?60时fA(x)500时fA(x)>fB(x);当60fB(x)得x>，即通话时间为(，+?)时方案B较优惠.
【评析】此题在实际问题中融入函数，直线等知识，考查了阅读理解能力，体现了在知识应用过程中对能力的考查.
下面就高考中出现的一些相关题进行点评
【例8】. 若方程lg(,x，3x,m),lg(3,x)在x?(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围。
【分析】将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决。 2
3,x 0【解】 原方程变形为 2 ,x,3x,m 3,x
3,x 0即: 2(x,2) 1,m
设曲线y1,(x,2) , x?(0,3)和直线y2,1,m，图像如图所示。由图可知:
? 当1,m,0时，有唯一解，m,1;
?当1?1,m<4时，有唯一解，即,30),椭圆中心D(2，,0)，焦点在x轴上，长半轴为2，短半轴为1，22
它的左顶点为A。问p在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线L的距离,
【分析】 由抛物线定义，可将问题转化成:p为何值时，以A为焦点、L为准线的抛物线与椭圆有四个交点，再联立方程组转化成代数问题(研究方程组解的情况)。
【解】 由已知得:a,2，b,1, A(p,0)，设椭圆与双曲线方程并联立有: 2
y2 2px
2 p 2p，消y得:x,(4,7p)x，(2p，),0
[x,(2,)]242 ,y 1 4
所以?,16,64p，48p>0,即6p,8p，2>0，解得:p<221或p>1。 3
ppp2
2结合范围(,4+)内两根，设f(x),x,(4,7p)x，(2p，)， 224
p4,7pp1pp<<4+即p<，且f()>0、f(4+)>0即p>,4，32。 222222
1结合以上，所以,4，320,故?式不可能有实数解。
所以不存在a、b，使得A?B?φ与(a,b)?C同时成立
2a2+6b2=3，证明对任意x?,,,，,, 【例11】已知f(x)=ax+b，
恒有f(x)?
【点拨】从等式2a2+6b2=3联想到几何图形:椭圆.于是一个好解法出现了.
. 22222222222222222
这是本题的一个优美解，从等式的外形联想到构造一个几何图形，思维在数和形的天地里驰骋.
【例12】设p=(log2x)2，(t-2)log2x+1-t，当t?,,,，,,时恒有p>0，求x的范围.
【点拨】初读，无论如何与图形挂不起钩来，但t的范围不是确定了吗,而且发现p是关于t的一次函数.这个发现好极了，一次函数的图象太简单了，于是按t降幂排列:p=f(t)=(log2x-1)t+log22x-2log2x+1，
? t?,,,，,,时p>0恒成立(如图2)，
? f(,,)>0且f(,)>0，
? x>8或0b>1 D. b>a>1
3. 如果|x|?π2,那么函数f(x),cosx，sinx的最小值是( ) 4
A. 2,12,11,2 B. , C. ,1 D. 222
4. 如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是()
A.增函数且最小值为,5 B.增函数且最大值为,5
C.减函数且最小值为,5 D.减函数且最大值为,5
5. 设全集I,{(x,y)|x,y?R}，集合M,{(x,y)| y,3,1}，N,{(x,y)|y?x，1}，那么M?N等于( ) x,2
A. φ B. {(2,3)} C. (2,3) D. {(x,y)|y,x，1
6. 如果θ是第二象限的角，且满足cosθθθ,sin,,sinθ,那么是( ) 222
A.第一象限角 B.第三象限角 C.可能第一象限角，也可能第三象限角 D.第二象限角
7. 已知集合E,{θ|cosθf(x2) B. f(x1)0)的图象按向量a=(-，0)平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是( ).
角的大A?B)=16. 已知向量a=(cosα，sinα)，b=(cosβ，sinβ)，且a??b，那么a+b与a-b的夹
小是 . 若a>0，b>0，则不等式
-b<乙，选A;
2:由已知画出对数曲线，选B;
3:设sinx,t后借助二次函数的图像求f(x)的最小值，选D;
4:由奇函数图像关于原点对称画出图像，选B;
5:将几个集合的几何意义用图形表示出来，选B;
6:利用单位圆确定符号及象限;选B;
7:利用单位圆，选A;
8:将复数表示在复平面上，选B;
9:转化为圆上动点与原点连线的斜率范围问题;选D;
10小题:利用复平面上复数表示和两点之间的距离公式求解,答案,33，,。 22
11. 【点拨】 画一张示意图如图1.圆面x2+y2?2x(包括圆周)被另一个圆面x2+y2?,包含，结论不是一目了然了吗,选B.
12. 思路分析:
(1). (A)?( B)是由不属于,或不属于,的元素组成的集合，显然选择,、C中都含有集合A、B的
A)?(B)，元素，而选择支A中,,，,,表示既不属于,又不属于,的元素组成的集合，即,,，,,(
从而排除了选项,、,、,，选,.
(2). 利用文氏图，直观求解，不难得到选项,.
(3). 由(
,,，选,.
(4). 直接可求得,,,,，,，,,，B,,,，,，,，,,，则(,)?(A)?(B)=(,?,)，显然，,?,,,,，,,，故(,?,),,,，,，,，,，B)=,,，,，,，,，,,，选,.
【点评】 思路,是从集合的概念出发的针对选择题的排除法，思路,、思路3、思路4都是针对解答题的方法，思路2体现了数形结合的解题思想，思路3是区别于思路4的利用德摩根定律解题的间接法.但我们认为思路2最简捷.
13. 【分析】本题是以函数f(x)=x-a的图象为依托构造的一道考查充要条件的题目，要求学生要熟悉函数y=x、y=x、y=x,a的图象之间的关系，并要理解充分条件和必要条件的含义.
思路分析:
(1). 若a=1，函数f(x)=x-1图象是由函数y=x的图象向右平移1个单位得到的，所以其在区间,,，，?)上为增函数;反之，函数f(x)=x-a在区间,,，，?)上为增函数，a不一定等于,，如a=0，所以选,.
(2). 函数f(x)=x-a在区间,a，，?)上为增函数的充要条件为a?1，且，所以选,.
【点评】思路,紧扣概念，借助图象性质理性分析，着实有效.思路,从“函数f(x)=x-a在区间,,，，?)上为增函数”的充要条件入手，学会用集合思想解决有关条件命题应引起重视.
23
高中数学的数形结合思想方法申占宝
14. 【分析】本题考查含参数的二次函数问题，题设表述简洁，问题的实质是比较两个函数值的大小，解决问题的关键是确定x1、x2的相对位置.
思路分析:
(1). 易得f(x1)-f(x2)=a(x1-x2)(x1，x2，,)，由已知可得，a>0，x1-x2<0，x1，x2，,,,,a>0，从而f(x1)0)，由y=f(x-),sinωx排除,、,，再由x=+
=时，y=-1，得选项,正确. ，,,)，即x=时，y=-1，对,、,、,、,四个选项检验得选项+)=，所以
【点评】 三角函数图象与性质、向量是本题涉及的主要知识点，作为选择题我们推崇方法,的简捷;方法,直接法中五点对应要求掌握及正确运用;方法,反过来考虑有时也是一条思路，这里我们不推崇.
16. 【分析】本题是一道涉及向量的坐标表示、坐标运算、向量运算的几何意义等知识点的常规问题，解题的入口较宽，对训练我们思维的发散性有价值.
思路分析:
(1). 根据题意知，所求结论与α、β的大小无关，不妨取α=0，β,，则a=(,，,)，b=(,，,)，从而a+b=(,，,)，a-b,(,，,,)，所以=90?.
(2). 因为a+b=(cosα+cosβ，sinα+sinβ)，a-b=(cosα-cosβ，sinα-sinβ)，所以(a+b)(?a-b)=cos2α-cos2β+sin2α-sin2β=0，故=90?.
(3) 如图，在单位圆中作OAPB是菱形，则?，再作OAPB，则=a-b，=a+b，由于
，所以，即(a+b)?(a-b)，故=90?.
(4). 不难发现a=b，所以(a+b)?(a-b)=a2-2=0，故=90?.
24
高中数学的数形结合思想方法申占宝
【点评】思路1是基于该题答案的不变性而采用了特殊化思想;思路2采用了直接运算的方法;思路3抓住了向量运算的几何意义，利用了数形结合的思想;思路4挖掘了两向量模为1的隐含条件，并运用了向量的符号运 算.这4种思路各有特色，都是处理本题的较好方法.
17. 【点评】 从同解变形是等价变形的角度考查了解不等式.
思路分析:
(1). 求解对照，过程略.
(2) 将a、b特殊化为具体数字，如令a=b=1，解后对照选项.
从数形结合的角度考虑.分别作y=-b，y=a，y=的图象(图略)， (3).
可知选D.
【点评】 函数、方程、不等式密不可分，对本题而言思路3最简捷.
18.
解:由A(1，3)、B(5，2)、C(3，1)的坐标位置知道 ，?ABC所在的区域D在第一象限，故x>0，y>0.由z=x+my得y=-x+，它的斜率为-.
=kAC=，即m=1时满足在区域D上有 (1)若m>0，则要使z=x+my取得最小值，必须使最小，此时需-
无穷多个点使得z=x+my取得最小值;当-不平行于kAC时，满足条件的点只有一个点，这不符合要求.
(2)若m<0，则要使z=x+my取得最小值，必须使最大，此时满足条件的点也只是一个点，不符合要求.
(3)若m,0，满足条件的点也只是一个点，不符合要求.
综上可知，m=1.选C.
【点评】 画出平面区域D，结合图形分类讨论是解决本类问题的基本方法.
19. 解:画出如图所示的平面区域.
观察图形易知:
POmin=AO= ，POmax=CO=.
【点评】在平面区域内求二元二次函数最值，一般用数形结合的方法.
25
高中数学的数形结合思想方法申占宝
数形结合的思想方法(4)-------综合测试
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1. 方程sin(x-)=x的实数解的个数是( ).
,. 2 ,. , ,. , ,. 以上均不对
2. 已知f(x),(x-a)(x-b)-2(其中aan(n?N+)，则该函数的图象是( ). ， 若f(x1),f(x2)
,. 设函数f(x),.若f(x0)>1，则x0的取值范围是( ).
,. (,,，,) ,. (,,，，?)
,. (,?，,,)?(,，，?) ,. (,?，,,)?(,，，?)
6. 已知不等式x2-logmx<0在x?(0，)时恒成立，则m的取值范围是( ).
26
高中数学的数形结合思想方法申占宝
,. (0，1) ,. ,，1) ,. (1，?) ,. (0，,
7. 已知函数f(x),ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则( ).
,. b?(,?，0) ,. b?(0，1)
,. b?(1，2) ,. b?(2，，?)
8. 设定义域为,的函数f(x),
有,个不同实数解的充要条件是( ).
. b>0且c<0 ,. b<0且c>0 ,
,. b<0且c=0 ,. b?0且c=0
二、填空题(本题共,小题，每小题,分，共,,分)
,. 曲线y=1+(-2?x?2)与直线y=r(x-2)+4有两个交点时，实数r的取值范围为___. ，则关于x的方程f 2(x)+bf(x)+c=0
10. (4cosθ+3-2t)2+(3sinθ-1+2t)2(θ、t为参数)的最大值是 ___.
11. 已知集合,,,x|5-x?2,，,,,x|x-ax?x-a,，当,,时，a的取值范围是____. 12. 若3a=0.618，a?,k，k+1,，k?,，则k,___.
13. 设α，β分别是方程log2x+x-3=0和2x+x-3=0的根，则α，β,___ ，log2α+2β=___.
14. 设函数f(x)的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在,a，b,上的面积，已知函数y=sinnx在,,，,上的面积为(n?N+)，
(,)y=sin3x在,,，,上的面积为___;
,上的面积为___. (,)y=sin(3x-π)+1在,
三、解答题(,,,,,每题,,分，,,,,,每题,,分，共,,分)
15. 设,,,x|-2?x?a,，,,,y|y=2x+3，且x?A,，,,,z|z=x2，且x?A,，若,
范围.
16. 已知A(1，1)为椭圆
和最小值.
18. 已知关于x的不等式
19. 设函数f(x)=>ax+b的解集为()，试求实数a，b的值. =1内一点，F1为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点.求的最大值,，求实数a的取值-ax，其中a>0，解不等式f(x)?1.
20. 设f(x)是定义在区间(-?，+?)上以2为周期的函数，对k?Z，用Ik表示区间,,k-1，2k+,)，已知当x?I0时，f(x),x2
.
27
高中数学的数形结合思想方法申占宝
(,)求f(x)在，k上的解析表达式;
(,)对自然数k，求集合,k,,a |使方程f(x),ax在，k上有两个不相等的实根,.
答 案
一、选择题
1. B 2. A 3. A 4. A 5. D 6. B 7. A 8. C
二、填空题
9. 解:方程
y=1+的曲线为半圆，y=r(x-2)+4为过(,，,)的直线. 答案:
10. 解:联想到距离公式，两坐标为,(4cosθ，3sinθ)，,(2t-3，1-2t)，点,的几何图形是椭圆，点,表示直线.考虑用点到直线的距离公式求解. 答案:
11. 解:解得,,,x|1?x?3,;,,,x|(x-a)(x-1)?,,，画数轴可得. 答案:a>3
12. 如图，在同一坐标系中分别作出y=3x，y=0.618的图象，易知，-12时，,?,?a2，即,,,z|,?,?a2,，要使,,必须且只需
解得,0)，所以研究的问题变为直线,?y1=1+ax1位于双曲线C:,1上半支上方时x的取值范围，如图所示:
(,)当00，或a<-8k. 当a>0时，因2+a>2-a， 故从?，?可得?2-a，
即
即
即0
书
关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf
写上均优于解法一.这是由于解法二借用“数形结合思想”思考的 结果.利用解法二(利用二次函数图象研究一元二次方程的实根分布)主要应考虑:判别式、顶点位置、区间端点处的函数值.
浙公网安备 33021202002483