5.4解斜三角形

5.4解斜三角形 2008年普通高等学校招生全国统一考试 数学试卷 二年级数学试卷下载贵阳市八年级数学期末学前班上数学试卷高三数学试卷分析教案八年级上册数学试卷 分类汇编 【考点阐述】 正弦定理．余弦定理．斜三角形解法． 【考试要求】 （7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形． 【考题分类】 在三角形中，,则的大小为（ ） ABACBC,,,5,3,7ABC，BAC 2,5,3,,A． B． C． D． 3643 2225371，,2,解：由余弦定理cos，,,,BAC， ，,BAC2532，，3 ,已知b,3a,2中，，，，那么角等于（ ） B,60?ABCA ,,,,A． B． C． D． 135904530 ab2322【解析】由正弦定理得: ,,,,,,sinsin,ABsinsinsinsin2ABAB3 , 【答案】 ？abABA,,,？,45 222在?ABC中，角ABC的对边分别为a3ac、b、c,若(a+c-b)tanB=, 则角B的值为 5,2,,,,,A. B. C.或 D. 或 636363 222(a+c-b)3cosB3cosB222= cos= B(a+c-b)tanB= 3ac解： 由得即 22sinacB2sinB 32,,？sin= B,又在?中所以B为或 323 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 3537A. B. C. D. 21848 解：设顶角为C，因为lcabc,,,5,2?，由余弦定理 222222abcccc，,，,447cosC,,, 22228abcc，， 108 武山县第三高级中学 wjhws3z@163.com 2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编 已知为的三个内角的对边，向量abc，，?ABCABC，， mn,,,(31)(cossin)，，，AA．若，且，则角mn,aBbAcCcoscossin，,AB， 的大小分别为（ ） ππππππ2ππA． B． C． D． ，，，，63363336 解析：本小题主要考查解三角形问题。？3cossin0AA,,， ,2,，,sincossincossin,ABBAC ？,A;3 2sincossincossin()sinsinABBAABCC，,，,,， ,π.选C. 本题在求角B时,也可用验证法. C,.？,B26 的内角的对边分别为，若?ABCABC，，abc，， ,acbB,,,26120，，，则等于（ ） A．63 B．2 C． D．2 621,,解：由正弦定理CAac,,,,,,30302,,,sinC，于是 ,sin120sin2C 5abAB,,,2的三内角的对边边长分别为，若，ABC,,abc,,,ABC2则( ) cosB, 5555 （Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）3456 ,,555sinsinAB,,ab,,【解】：?中 ?? 故选B； ,ABCcosB,,2,24,,sinsin22sincosABBB,,AB,2,, 【点评】：此题重点考察解三角形，以及二倍角公式； 【突破】：应用正弦定理进行边角互化，利用三角公式进行角的统一，达到化简的目的；在 解三角形中，利用正余弦定理进行边角转化是解题的基本 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ，在三角函数的化简求值 中常要重视角的统一，函数的统一，降次思想的应用。 在?中，三个角ABC,,的对边边长分别为abc,,,3,4,6,则ABC 的值为 . bcAcaBabCcoscoscos，， 109 武山县第三高级中学 wjhws3z@163.com 2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编 16369936161693661，,，,，,解：由余弦定理，原式 ,，，,2222 在?ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知abc,,,:3,3,30,则A＝ . ,2,,解：由余弦定理可得c,，,，，,39233cos303, caAC,,,,,330()或6 ABACBC,,2,2S若，则的最大值 。,ABC x【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC＝，则AC＝2x ， 12根据面积公式得S=，根据余弦定理得 ABBCBxB，,,sin1cos,ABC2 222222ABBCACxx，,，,424,x,cosB,,，代入上式得 4x24ABBCx， 22212812,,x，，,,4,xS= x1,,,ABC,,416x,, ,22xx，,,由三角形三边关系有222222,,,，x解得， ,xx，,22,, 故当Sx,222222时取得最大值【答案】 ,ABC 3,,1已知a，b，c为?ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝（），n＝（cosA,sinA）.若m?n，且acosB+bcosA=csinC，则角B＝____. ,,3cossin0AA,,解： ,,A,mn,sincossincossinsinABBACC，,3 ,,2sincossincossin()sinsinABBAABCC，,，,, B,,C.?,62 的内角的对边分别为，若?ABCABC，，abc，， ,a,cbB,,,26120，，2，则 ． 621,,CAac,,,,,,30302,,,sinC解： 由正弦定理，于是 ,sin120sin2C a在?ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c ，若，，3b,ccosA,acosC，则_________________。cosA, 解析：本小题主要考查三角形中正弦定理的应用。依题由正弦定理得： (3sinsin)cossincosBCAAC,,,,3sincossin()sinBAACB,,，,,即, 110 武山县第三高级中学 wjhws3z@163.com 2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编 3cos.A,? 3 D如图，?ACD是等边三角形，?ABC是等腰直角 C三角形，?ACB=90?，BD交AC于E，AB=2。 （1）求cos?CBE的值； E（2）求AE。 AB【试题解析】：.(1)因为000，,，,,,BCDCBACCD9060150, 62，000所以， ？，,,,coscos4530CBE，,CBE15，，4(2)在中，，故由正弦定理得 ,ABEAB,2 12，02sin30AE22AE,,,,62,故 ,00000cos1562，sin4515sin9015,，，，，， 4 【】正弦定理及平面几何知识的应用 对有关公式掌握不到位而出错。 解三角形一直是高考的重点内容之一，不能轻视。 在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东,2且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45 26,,,13+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C. 45090,,,,,26 （I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）; （II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由. 解: （I）如图，AB=40132，AC=10， 26，,,,,BAC,sin. 26 26526,,2由于,所以cos= 090,,,1().,,,2626 22由余弦定理得BC= ABACABAC，,,2cos105. , 105所以船的行驶速度为,155（海里/小时）. 2 3 111 武山县第三高级中学 wjhws3z@163.com 2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编 （II）解法一 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B（x，y）, C（x，y）,BC与x轴的交点为D. 1212 2由题设有，x=y= AB=40, 112 ,x，,,,CAD1013cos(45)30,=ACcos, 2 ,y，,,,CAD1013sin(45)20.,=ACsin 2 20所以过点B,2、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40. 10 |05540|，,又点E（0，-55）到直线l的距离d=,,357. 14， 所以船会进入警戒水域. 解法二: 如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在?ABC中，由余弦定理得， 222ABBCAC，,cos，,ABC 2ABBC, 2224021051013，，，,，310==. 102402105，， 9102从而sin1cos1.，,,，,,,ABCABC 1010 在中，由正弦定理得， ,ABQ 10402，ABABCsin，10AQ= ,,40.,sin(45),，ABC2210，210 由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15. 过点E作EP BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离. , ,在Rt，,,，,,,，PQEQEAQCQEABCsinsin(45),QPE中，PE=QE?sin 5=15357.，,,所以船会进入警戒水域. 5 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶 点A，B，及CD的中点P处，已知km, ,AB,20CDkm,10 为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含 边界），且A，B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂， 并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm。 112 武山县第三高级中学 wjhws3z@163.com 2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编 （I）按下列要求写出函数关系式： ? 设，将 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示成的函数关系式； ，,BAOrad,(),y ? 设x，将表示成的函数关系式。 OPxkm,()y （II）请你选用（I）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度 最短。 【解析】本小题主要考查函数最值的应用． AQ10（?）?由条件知PQ 垂直平分AB，若?BAO=(rad) ，则, 故 ,,OA,,,coscos 10，又OP＝， ,OB1010tan,,,cos 1010所以， ,，，,，，,,yOAOBOP1010tan,,coscos ,2010sin,,,,所求函数关系式为,,0, y,，10,,4,,cos, 222?若OP=101020200,，,,，xxxxx(km) ，则OQ＝10－，所以OA =OB= ，， 2所求函数关系式为yxxxx,，,，,,220200010 ，， ,,,,,10coscos2010sin102sin1,,,,, sin，，，，，，'（?）选择函数模型?，y,, 22coscos,, 1,,'令y,0 得sin ，因为，所以=， 0,,,,,,264 ,,,,,,,''当,,0,,y,0y,0,,时， ，是的减函数；当时， ，是的增函,,yy,,,,664,,,, ,数，所以当=时，。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域y,，10103,min6 103内且距离AB 边km处。 3 在a,23中，角ABC,,所对应的边分别为abc,,，，,ABC ABC，，求及bc,AB,tantan4,，,2sincossinBCA,22 ABC，CC解：由得 tantan4，,cottan4，,2222 CCcossin122? ? ，,4,4CCCCsincossincos2222 113 武山县第三高级中学 wjhws3z@163.com 2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编 1,,5?，又 ? C,(0,),,,，或sinC,CC266 由得 2sincossin()BBBC,，2sincossinBCA, ,2,即 ? sin()0BC,,BC,,,,，,ABC,()BC,63 1 sinBabc2由正弦定理bca,,,，,232得 ,,sinAsinsinsinABC3 2 在中，内角对边的边长分别是，已知，?ABCABC，，abc，，c,2 ,． C,3 （?）若3的面积等于，求； ?ABCab， （?）若，求的面积．sinsin()2sin2CBAA，,,?ABC 说明：本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函 数有关知识的能力．满分12分． 22解析：（?）由余弦定理及已知条件得，， abab，,,4 1又因为3的面积等于，所以，得． ???????????????????????????????? 4分 abCsin3,?ABCab,42 22,abab，,,4，联立方程组解得，．?????????????????????????????????????????????????????????????? 6分 a,2b,2,ab,4，, （?）由题意得， sin()sin()4sincosBABAAA，，,, 即， ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分 sincos2sincosBAAA, 4323,,当a,b,时，，，，， A,B,cos0A,3326 当时，得，由正弦定理得， cos0A,sin2sinBA,ba,2 22,abab，,,4，2343联立方程组a,b,解得，． ,33ba,2，, 123所以SabC,,sin的面积． ??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分 ?ABC23 在中，内角对边的边长分别是，已知，?ABCABC，，abc，，c,2 ,C,． 3 114 武山县第三高级中学 wjhws3z@163.com 2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编 （?）若的面积等于3，求； ?ABCab， （?）若，求的面积． sin2sinBA,?ABC 22解：（?）由余弦定理得，， abab，,,4 1又因为3的面积等于，所以，得． ???????????????????????????????? 4分 abCsin3,?ABCab,42 22,abab，,,4，联立方程组解得，．?????????????????????????????????????????????????????????????? 6分 a,2b,2,ab,4，, （?）由正弦定理，已知条件化为， ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分 ba,2 22,abab，,,4，2343联立方程组a,b,解得，． ,33ba,2，, 123所以SabC,,sin的面积． ??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分 ?ABC23 设的内角所对的边长分别为，且?ABCABC，，abc，， 3． aBbAccoscos,,5 （?）求的值； tancotAB （?）求的最大值． tan()AB, 3解析：（?）在中，由正弦定理及 aBbAccoscos,,?ABC5 3333可得 sincossincossinsin()sincoscossinABBACABABAB,,,，,，5555 即，则； sincos4cossinABAB,tancot4AB, （?）由得 tancot4AB,tan4tan0AB,, tantan3tan3ABB,3 ?tan()AB,,,,21tantan14tancot4tan，，，ABBBB4 1当且仅当时，等号成立， 4tancot,tan,tan2BBBA,,,2 13故当时，tan()AB,的最大值为. tan2,tanAB,,42 设的内角所对的边长分别为，且，?ABCABC，，abc，，aBcos3, ． bAsin4, （?）求边长a； （?）若的面积，求的周长． ?ABCS,10?ABCl 115 武山县第三高级中学 wjhws3z@163.com 2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编 解：?过作于，则由＝CCDABDCDbsinA=4,BD=acosB=3,, 22?在直角三角形中，BCDa=BC=BD+CD=5 113?由面积?又??S=ABCD=AB4=10,AB=5, acosB=3,cosB=，，，，225 223再由余弦定理得：－－＝＝b=c+a2accosB=25+252252025，，5 ?＝＋＋＋,55251025 ?周长为＋。1025 54在中，，． cosB,,cosC,?ABC135（?）求的值； sinA 33（?）设的面积，求的长． S,?ABCBC?ABC2 51243解：（?）由，得，由，得． cosB,,sinB,cosC,sinC,131355 33所以． ????????????????????????????????????????????????? 5分 sinsin()sincoscossinABCBCBC,，,，,65 33133（?）由得， S,，，，,ABACAsin?ABC222 33由（?）知，故， ????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分 sinA,ABAC，,6565 ABB，sin2020132又，故，． ACAB,,AB,65AB,sin13C132 ABA，sin11所以． ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分 BC,,sin2C 53在中，，． cosA,,cosB,?ABC135（?）求的值； sinC （?）设，求的面积． BC,5?ABC 512解：（?）由，得， cosA,,sinA,1313 34由，得． ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分 cosB,sinB,55 16所以． ????????????????????????????????????????????????? 5分 sinsin()sincoscossinCABABAB,，,，,65 45，BCB，sin135（?）由正弦定理得． ????????????????????????????????????????????????????????? 8分 AC,,,12sin3A 13 1113168所以,的面积．????????????????????????????? 10分 SBCACC,，，，sin,，，，5?ABC322365 ,如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，小区的两个出入 116 武山县第三高级中学 wjhws3z@163.com 2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编 口设置在点A及点C处， 且小区里有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD 走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此 C 人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米） A 【解析】[解法一] 设该扇形的半径为B r米，连接. ……2分 CO 由题意，得 D (米)，（米）， CD,500DA,300 O ……4分 ，,:CDO60 222在?中， ……6分 CDODCDODOC，,,,:,2cos60CDO 1222即， ……9分 500(300)2500(300)，,,，，,，,rrr2 4900解得 （米） r,,44511 答：该扇形的半径的长约为445米. ……13分 OA [解法二] 连接，作，交于， ……2分 ACOHAC,ACH 由题意，得（米）， CD,500 （米）， ……4分 AD,300，,:CDA120C H 在?中， CDO A 222B ACCDADCDAD,，,,,,:2cos120 D 1222 . ,，，，，，,5003002500300700O 2 （米）. ……6分 ？,AC700 222ACADCD，,11cos，,,CAD. ……9分 214,,ACAD 11在直角?中，（米），， cos，,HAOHAOAH,35014 AH4900？ （米）. OA,,,445cos11，HAO 答：该扇形的半径的长约为445米. ……13分 OA C如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC．小 区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路 A,0，且拐弯处的转角为．已知某人从沿走到 120120ADDC，CCD用了10分钟，从沿走到用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该DDDAAO 扇形的半径的长（精确到1米）． OA 【解法一】设该扇形的半径为r米. 由题意，得 0CD=500（米），DA=300（米），?CDO=……………………………4分 60 2202在CDODCDODOC，,,,,,2cos60,中，……………6分 ,CDO 117 武山县第三高级中学 wjhws3z@163.com 2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编 1222即…………………….9分 5003002500300,，,,，，,，,rrr，，，，2 4900解得（米）. …………………………………………….13分 r,,44511 【解法二】连接AC，作OH?AC，交AC于H…………………..2分 0由题意，得CD=500（米），AD=300（米），………….4分 ，,CDA120C 2220H在中,,，,,,,ACDACCDADCDAD,2cos120 2221A,，，，，，,5003002500300700,01202 O? AC=700（米） …………………………..6分 222ACADCD，,11cos.，,,CAD………….…….9分 214,,ACAD 11在直角 ,,，,HAOAHHA中（米）,350,cos0,14 AH4900? （米）. ………………………13分 OA,,,445cos11，HAO ,设的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=，c=3b.求： 60,ABC a（?）的值； c （?）cotB +cot C的值. 解：（?）由余弦定理得 11177a222222abcbAccccc,，,,，,,,,2cos()2. 33293c cossincossinsin()sinBCCBBCA，，（?）解法一： cotcot,BC，,,,sinsinsinsinsinsinBCBCBC 由正弦定理和（?）的结论得 72c2sin1214143Aa9 ,,,,??.1sinsinsin9BCAbc333cc?3 143故cotcot.BC，, 9 解法二：由余弦定理及（?）的结论有 71222ccc，,()222acb，,593 cos.B,,, 2ac7272 cc3 118 武山县第三高级中学 wjhws3z@163.com 2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编 2532 故 sin1cos1.BB,,,,,2827 71222ccc，,222abc，,199 同理可得cos,C,,,, 2ab71272 cc33 1332 sin1cos1.CC,,,,,2827 coscos51143BC 从而 cotcot33.BC，,，,,,sinsin399BC 222设?ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知bcabc，,，3， 求： （?）A的大小; （?）的值. 2sincossin()BCBC,, 【解析】本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、余弦定理等基本知识。 以及推理和计算能力。三角函数的化简经常用到降幂、切化弦、和角差角公式的逆向 应用。 222【答案】(?)由余弦定理，abcbcA,，,2cos, 222bcabc，,33故cos,A,,,222bcbc ,所以A,.6 (?) 2sincossin()BCBC,, ,,,2sincos(sincoscossin)BCBCBC ,，sincoscossinBCBC ,，sin()BC ,,,sin()A 1,,sin.A2在?ABC,,abc,,中，内角对边的边长分别是，已知ABC 222acb，,2。 ,（?）若B,，且为钝角，求内角与的大小； AAC4 119 武山县第三高级中学 wjhws3z@163.com 2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编 （?）若，求?面积的最大值。 b,2ABC 222解：（?）由题设及正弦定理，有。 sinsinsin1ACB，,, 22故。因为钝角，所以。 sincosCA,AsincosCA,, ,,,5,由，可得，得，。 coscos()AC,,,sinsin()CC,,C,,,A8448 2211ac，222（?）由余弦定理及条件cosB,，有，故?。 bac,，()cosB24ac2 1由于?面积， ,acBsinABC2 3122又ac?，?， ()4ac，,sinB22 当ac,时，两个不等式中等号同时成立， 13所以?，，,43面积的最大值为。 ABC22 在ac中，内角，，对边的边长分别是，，，已知AB,ABCCb222． acb，,2 ,（?）若，且为钝角，求内角与的大小； B,AAC4 （?）求的最大值． sinB 222解：（?）由题设及正弦定理，有． sinsin2sin1ACB，,, 22 故．因为为钝角，所以． sincosCA,AsincosCA,, ,,,5, 由，可得，得，． coscos()AC,,,sinsin()CC,,C,,,A8448 221ac，222（?）由余弦定理及条件cosB,，有， bac,，()4ac2 3122 因sinB,，所以．故， acac，,2cosB,22 3 当ac,时，等号成立．从而，的最大值为． sinB2 120 武山县第三高级中学 wjhws3z@163.com