近世代数习题解答1

近世代数习题解答1 近世代数习题解答 第一章 基本概念 1 集合 1.,但不是的真子集,这个情况什么时候才能出现? B,ABA 解 ?只有在时, 才能出现题中说述情况. 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 如下 A,B 当,但不是的真子集,可知凡是属于而,显然矛盾; A,BBAAa,B 若,但不是的真子集,可知凡属于的元不可能属于,故 B,ABAABA,B 2.假定,,A?B=? A:B,?A,B 解? 此时, A?B=A, , 这是因为A?B=A及由得AA?B=A,故,, A:B,AA:B,BA,B 及由得,故, A:B,BA:B,BA,B 2 映射 ,,1,2,3,？？，1001.=,找一个到的映射. AA，AA ,(a,a),1a,a,A解? 此时 11212 ,(a,a),a 2121 ,,, 易证都是到的映射. A，AA12 2.在你为习题所找到的映射之下,是不是的每一个元都是到的一个元的的象? AA，AA1 ,,解?容易说明在之下,有的元不是的任何元的象;容易验证在之下,的每个AA，AA12元都是的象. A，A 3 代数运算 1.={所有不等于零的偶数}.找到一个集合 ,使得普通除法 AD 是到的代数运算;是不是找的到这样的? A，ADD 解?取为全体有理数集,易见普通除法是到的代数运算;同时说明这样的不DA，ADD 只一个. ,,a,b,c 2..规定的两个不同的代数运算. A,A 解? a b c a a b c a b c b b c a a a a a c c a b b d a a c a a a 4 结合律 a 1.={所有不等于零的实数}.是普通除法:.这个代数运算适合不适合结合律? ,a,b,Ab 解? 这个代数运算不适合结合律: 1 (1,1),2,, ,从而 . 1,(1,2),2(1,1),2,1,(1,2)2 2.={所有实数}.,: 这个代数运算适合不适合结合律? (a,b),a，2b,a,bA 解? 这个代数运算不适合结合律 , (a,b),c,a，2b，2ca,(b,c),a，2b，4c (a,b),c,a,(b,c) 除非. c,0 3.={},由 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf a,b,cA a b c a a b c b b c a c c a b 所给的代数运算适合不适合结合律? 解? 经过个结合等式后可以得出所给的代数运算适合结合律. 27 5 交换律 , 1.={所有实数}.是普通减法:.这个代数运算适合不适合交换律? Aa,b,a,b 解? 一般地 除非. a,b,b,aa,b A,{a,b,c,d} 2.,由表 a b c d a a b c d b b d a c c c a b d d d c a b 所给出代数运算适合不适合交换律? 解? , c,d,dd,c,a 从而.故所给的代数运算不适合交换律. c,d,d,c 6 分配律 假定:是的两个代数运算,并且适合结合律, ,,,A, 适合两个分配律.证明 ,,, (a,b),(a,b),(a,b),(a,b) 11122122 ,(a,b),(a,b),(a,b),(a,b) 11211222 证?(a,b),(a,b),(a,b),(a,b) 11122122 =[(a,a),b],[(a,a),b] 121122 =(a,a),(b,b) 1212 =[a,(b,b)],[a,(b,b)] 112212 ,(a,b),(a,b),(a,b),(a,b) 11211222 7 一 一 映射、变换 ,, 1.={所有，0的实数},{所有实数}.找一个与间的意义映射. AA,AA, a证 :a,a,loga 因为是大于零的实数,所以loga是实数 ,,,, 即 ,而,而且a,b,loga,logb.因此,是到的映射. AAa,Aa,A,,,, a又给了一个的任意元,一定有一个的元,满足loga,a,因此,是到的满射. AAAAa,, a,a,logab,b,logb ,,, 若 , 则 loga,logb.即 因此,又是到的单射.总之, AAa,b,a,ba,b, ,是到的一一映射. AA ,,,, 2. ={所有的实数},{所有实数,}. 找一个到的满射. AA,AA0,a,1a,0,, ,:a,a,sina 证 ,,容易验证是到的满射. AA ,,1a,[,(A)],?, 3.假定是与间的一个一一映射,是的一个元. AAA ,1,[,(a)],?,若是的一个一一变换,这两个问题的回答又该是什么? A ,1,1,[,(a)],a,[,(a)],a, 解? , 未必有意义;当是的一一变换A ,1,1,[,(a)],a,,[,(a)],a.时, 8 同态 , x 1.={所有实数},的代数运算是普通乘法.以下映射是不是到的一个子集AAAAA 的同态满射? 2c)x,xb)x,2xd)x,,x a)x,x , 证? 显然{所有的实数}.又由于 a)A,xy,xy,xy,0, 可知是到的同态满射. AAx,x, 由于 ( 除非)所以不是到的同态满b)xy,2xy,(2x)(2y)xy,0AAx,2x射. ,,2222xy,(xy),(x)(y) 由于,易知是到的同态满射.这里={所有c)x,xAAA 的实数}. ,0, x,,x 一般来说,,:所以不是到的同态满射 d),xy,(,x)(,y)AA. ,,,,,, ;2. 假定和对于代数运算和来说同态，和对于代数运算和来说同态，AAAA;;;,, ;证明 和对于代数运算和来说同态。 AA;,,,,,, ,证: 用 表示到的同态满射,, 表示到的同AAAAa,aa,a1:2态满射. ,, 令: a,a,,[,(a)],容易验证是到的满射 ,,AA21,,,,,, a;b,,[,(a;b)],,[(a;b)],a;b212,, 所以,是和的关于代数运算;,;来说的同态满射。 AA 9 同构、自同构 ; 1.={a,b,c},代数运算由下表给定 A a b c a c c c b c c c c c c c ; 找出所有的一一变换.对于代数运算来说,这些一一变换是否是 AA 的子同构. 证 : 所有的一一变换有个 A6 c,c,:a,a b,b1 c,c,:a,b b,a2 ,:a,bc,a b,c3 c,a,:a,c b,b4 ,:a,c b,ac,b5 ,:a,a b,cc,b6 ,, 容易验证及是的子同构. A12 2.={所有有理数},找一个的对于普通加法来说的子同构 AA x,x (映射除外) 证 :,对普通加法来说是的一个子同构,验证这一点是容易的. ,Ax,2x , 3.{所有有理数};的代数运算是普通加法.{所有的有理数} A,AA,,0, 的代数运算是普通乘法. A, 证明 对于给的代数运算来说,与间没有同构映射存在(现决定 AA 在一个同构映射之下的象) 0, 证: 设与间有同构映射存在,先看在之下的象 ,,AA0,,,, a 再看在之下某一元的象 , 那么 . 但 ,0,a0，a,aaa,a00,,,,, . 所以 故必, 即 a,0,aa,aa,10，a,a0,100, 对来说,在之下设有, ,,1,Ax,0,Ax,,1 由于是一同构映射,于是x，x,2x,1,(,1)(,1) , 但又知,,故从而,与矛盾.> 2x,0,0,1x,0x,0 10 等价关系与集合的分类 1.={所有实数},的元间的关系，以及是不是等价关系? AA, aa 解? >不是等价关系, 因为不大于 不是等价关系, 因为但不大于等于. 2,112, 2.有人说:假如一个关系适合对称和推移律,那么它也适合 R 反射律.他的推论方法是:因为适合对称律 R 因为适合推移律 aRb,bRa,aRa RaRb,bRa 这个推论方法有什么错误? aa证: 这里的是受对称律,推移律约束的而不是集合中的任意.今举一例 aRa 说明上述推论方法是错误的: ,,}, 比如:={,是” 互补”是的元间的一个关系 AA2 .容易验证这一关系适合对称律, R 推移律,但不适合反射律. 3.仿照例3规定整数间的关系 a,b(,5) 证明你所规定的一个等价关系,并且找出模的剩余类. ,5 a,b(,5)证 : 规定 当而且只当时, 因为 ,5a,b,5a,b 所以 a,a(,5)a,b(,5),b,a(,5),5a,b,,5b,a , a,b(,5),b,c(,5),a,c(,5),5a,b,b,c(,5),a(,5) 因而是等价关系,对模的剩余类: ,5 [0],{？,,10,,5,0,5,10,？} [1],{？,,9,,4,1,6,11,？} [2],{？,,8,,3,2,7,12,？} [3],{？,,7,,2,3,8,13,？} [4],{？,,6,,1,4,9,14,？}