[详解]微分算子法中d的运算
微分算子法中D的运算
232D:微分的意思,如Dx=2x , Dx=0
2x11:积分的意思,如x= DD2
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kxkx定理1: 注意使用公式时的前后顺序F(D)e,eF(k)
22x2x22x22x例: (D,1)e,e(k,1),e(2,1),5e
11kxkx推论: (F(k)?0) ee,F(D)F(k)
2x,,例: y,y,e
22x (D,1)y,e
111*2x2x2x ,,,yeee22(,1)2,15D
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22定理2: F(D)sinax,sinax,F(,a)
22 注意使用公式时的前后顺序 F(D)cosax,cosax,F(,a)
112推论:sinax,sinax, (F(-a) ?0) 22F(D)F(,a)
(4)例: y,y,2cos3x
4 (D,1)y,2cos3x
11111*y,2,,cos3x,2,,cos3x,2,cos3x,,2,,cos3x,cos3x42222(D,1)(D),1(,3),18241
222遇到sinax,cosax时,要凑出D来。F(D)里有D,即可代换为-a,代换后继续算F(D)。
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kxkx定理3: 注意使用公式时的前后顺序F(D)ev(x),eF(D,k)v(x)
11kxkx推论: ,ev(x)ev(x),F(D)F(Dk)
22x,,,例: y,4y,4y,x,e
222x (D,4D,4)y,x,e
1111*2x22x22x22x4 yexexexex,,,,,,,,,222(D2)((D2)2)D12,,,
x,,,,,,例: y,3y,3y,y,e
3x (D,1)y,e
1*x 此时不能用定理1,故 ,ye3(,1)D
1111*xxxx3 yeee1ex,,,,,,,,333((D1)1)DD6,,
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(4)x例: y,y,e
111111111111xxxxx*y,,e,,,,e,,,e,,,,e,,,e4222(D,1)D,1D,1D,1D,1D,12D,121,14D,111111xxx,,e,e,e,x4D,1,14D4此处不能用定理1,只能用定理3
2,,例: y,y,x,x,2
22 (D,1)y,x,x,2
1*2 y,(x,x,2) 2(D,1)
用长除法:按幂次增加排列,至得出的D的最高幂次与x的最高幂次相同。
21,D
21,D)1*22y,,Dx,x,(1)(2)21,D2 ,x,x,,222,D2,x,x24,D,D
4D
12除法举例:F(D)=D-2D-3 F(D)
x最高阶为2,所以除到D的2次幂即可
1272,,D,D39272,3,2D,D)1
2121,D,D33
212,D,D33
24223,D,D,D399
7223,D,D99
7147234,D,D,D92727
20734,D,D2727注意:对sinax和cosax不适用,因为除不到尽头。 *******************************************************************************
111推论: (f(x),f(x)),,f(x),,f(x)1212F(D)F(D)F(D)
1111111,sinaxsinaxsinaxsinaxcosax,,,,,,,2n,12n2n2nn2n,DDD(a)D(a)(1)aa,,,,,
1kD,b1,1sinax,sinax,,(kD,b),sinax,,(kacosax,bsinax)222222222kD,bkD,bk(,a),bka,b1111sinx,,,x,cosxcosx,,x,sinx 22D,12D,12
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