4升5~8第八讲：容斥原理之重叠问题

第八讲：容斥原理之重叠问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 一、 导入 文氏图 文氏图，也叫“维恩图”，是由英国著名数学家 Venn 发明的． 维恩（公元 1834 年 8 月 4 日─公元 1923 年 4 月 4 日）十九世纪英国著名的数学家和哲学家，生于英国赫尔．他 1883 年获得理学博士学位，同年被选为英国皇家学会会员． 维恩最主要的成就是系统解释并发展了几何表示的方法，也就是发明了文氏图．他作出一系列简单闭曲线（圆或更复杂的图形），将平面分为许多间隔．利用这种图表，维恩阐明了演绎推理的基本原理．为了进一步明确起见，他还引入了一些数学难题作为实例．虽然在维恩之前，莱布尼茨（Leibniz）已系统地运用过这类逻辑图，但今天这种逻辑图仍称作“维恩图”另外，维恩在概率论和逻辑学方面也有很大贡献，他的著作——《机会逻辑》和《符号逻辑》，在 19 世纪末 20 世纪初曾享有很高的声誉． 除了数学以外，维恩还有一项较为特别的技能——制作机器．他曾制作过一部板球发球机，当澳洲板球队在 1909 年到访剑桥大学时，维恩的机器依然运作正常，并使他们其中一位成员打空四次． 什么是容斥原理？ 这一讲我们主要学习和“包含”与“排除”有关的问题，这样的问题在生活中就有不少， 比如吃瓜子．我们说吃掉了一斤瓜子，指的是带壳的瓜子，并非真的吃到肚子里一斤，因为这一斤中还“包含”着瓜子壳．如果要计算到底吃了多少，最简单的方法就是称一称瓜子壳，用原来的一斤“排除”掉瓜子壳的重量．瓜子的例子相对简单，一斤瓜子里一部分是瓜子仁，另一部分就是瓜子壳，两者各不相关．但本讲要学习的包含与排除问题要复杂一些，各部分之间会有重叠． 比如一个办公室中每个人都至少爱喝茶或咖啡中的一种，已知有 7 个人爱喝茶，10 个人爱喝咖啡，那能不能就说办公室里有 17 个人呢？显然不能，因为可能有一些人既爱喝茶也爱喝咖啡，如果直接将喝茶的人数和喝咖啡的人数相加，会把既爱喝茶又爱喝咖啡的人计算 2 次，计算人数的时候要把这一部分减去才行． 比如，如果有 3 个人既爱喝茶又爱喝咖啡，那总的人数就应该是 7 + 10 ? 3 = 14 人． 这就是我们今天要来研究的问题——有重叠的计数问题，即包含与排除问题．研究这种问题通常需要画出示意图，这样的示意图又叫做文氏图，下面我们就用文氏图推导两个对象的容斥原理公式． 两个量之间的重叠 例1、某班有34名同学参加了学校的运动会，其中有17名参加了跳绳，有20 名参加了拔河，问：及参加了跳绳又参加了拔河的又多少人？ 如右图所示，如果要计算三个部分的总数，直接计算 A+B                                                                                                                                            就会算多了，而多算的正好是共同部分，只要把多算的减掉就可以了．上述分析总结成公式就是： 这个公式就是两个对象的容斥原理． 17+20-34 =37-34 =3（人） 答：即参加跳绳又参加拔河的同学有3人。 练一练 1、五年级有 122 名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课的成绩是优秀，其中语文成绩优秀的有 65 人，数学优秀的有 87 人．语文、数学都优秀的有多少人？ 2、在一次数学测试中有两道题全班同学都至少答对一题，答对第一题的有33人，答对第二题的又38 人，两题都答对的又15 人，问全班又多少人？ 3、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器。已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会的有8人，这个文艺组一共有多少人？ 挑战思维 1、为了参加一次竞赛，某班46人中，每人至少参加一项。其中有20人参加语文兴趣小组，，参加语文同时又参加数学兴趣小组的有2人，两项都没有报的有10 人，那么参加数学兴趣小组的有多少人？ 三个量之间的重叠 1、某单位元旦期间组织旅游，每人至少说出一个想去的地方。其中想去海南的有42人，想去桂林的有44人，想去港澳的有36人，既想去海南又想去桂林的有12人，既想去桂林又想去港澳的有8人，既想去海南又想去港澳的有10人，三个地方都想去的有4人。问这个单位一共有多少人？ （42=44+36）-12-8-10+4 =122-（12+8+10）+4 =122-30+4 =96（人） 答：这个单位一共有96 人。 方法总结： 练一练 1、学校对150名大学生做关于《业余生活》的调查，统计到喜欢看电影的有63人，喜欢玩球的有66人，喜欢读书的有54人，既喜欢看电影又喜欢玩球的有18人，既喜欢玩球又喜欢读书的有12人，既喜欢看电影又喜欢读书的有15人.问：三种都喜欢的有多少人？ 2、在校园艺术活动中，五（2）班的同学参加了美术和声乐比赛。参加美术比赛的有25人，参加声乐比赛的有20人，两项都参加的有12人，两项都没有参加的有10人。五（2）班一共有多少人？ 挑战竞赛 3、学校举行运动会。四年级共有60名同学，其中参加百米赛跑的有21人，参加投掷的有26人，即参加百米有参加跳远的有12人，即参加跳远有参加投掷的有9人，即参加百米有参加投掷的有14人，三项都参加的有5人，三项都没有参加的有12人，问参加跳远的有多少人？ 重叠问题中的极值问题 1、40人参加某次晚会，其中28 人在晚会上唱了歌，25人在晚会上跳舞，那么即唱歌有跳舞的人最多有多少人，最少有多少人？ 最多：25人 最少:(28+25)-40=13人 答：最多25 人最少13 人。 方法总结： 练一练 1、 某校100名学生中，爱好音乐的有56人，爱好美术的有75人，那么即爱好音乐有爱好美术的最多有多少人？最少有多少人？ 2、某班30 名同学。在一项测试中，答对一题的有19 人，答对2题的14 人，那么两题都答对的最多有多少人？最少有多少人？ 挑战思维 3、希望小学音乐兴趣小组有37 人，其中20人会手风琴，16人会钢琴，24人会电子琴，即会手风琴又会钢琴的8人，即会电子琴又会钢琴的10人，即会手风琴又会电子琴的8人，那么三种都 不会的至少多少人？ 方法总结： 家庭作业 1、一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业?请举手!”有37人举手。又问：‘谁做完数学作业?请举手!”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业没有做完?”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数是______人。 2、某个班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目、人数如下表： 短跑 游泳 篮球 短跑、游泳 游泳、篮球 篮球、短跑 短跑、游泳、篮球 17 18 15 6 6 5 2               求这个班的学生数？ 3、某班共有30名男生，其中20人参加足球队，12人参加蓝球队，10人参加排球队。已知没一个人同时参加3个队，且每人至少参加一个队，有6人既参加足球队又参加蓝球队，有2人既参加蓝球队又参加排球队，那么既参加足球队又参加排球队的有多少人？ 4、班有46人其中会弹琴的有30人，会拉小提琴的有28人，则这个班级会弹琴又会拉小提琴的至少有多少人？ 5、某班同学中，有26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，有9人既爱打篮球又爱踢足球，有4人既爱打排球又爱踢足球，有7人既爱打篮球又爱打排球，没有一个人三种球都爱玩，也没有一个人三种球都不爱玩，问：这个班共有多少学生？ 6、某班有45名同学，其中22名同学参加科技兴趣小组，27名同学参加数学兴趣小组，同时参加两个小组的人数是两个小组均未参加的人数的2倍，那么至少参加一个兴趣小组的同学有 多少 名？ 7、我校六年级三班学生每人至少参加了一种竞赛，其中有32人参加数学竞赛，27人参加英语竞赛，22人参加语文竞赛.其中参加英语和数学两科的有12人，参加英语和语文两科的有14人，参加数学和语文两科的有10人.问：这个班至少有多少人？至多有多少人？