非线性系统参数识别的傅里叶级数展开法

非线性系统参数识别的傅里叶级数展开法 () 章编号 : 1008 - 2956 200403 - 0001 - 04 非线性系统参数识别的傅里叶级数展开法 1 2 3 3齐京礼, 崔坤林, 杨建春, 刘英杰 (1 . 军械工程学院训练部 3 . 火炮工程系 , 河北 石家庄 050003 ; )2 . 海军驻保定地区军代室 , 河北 保定 071000 摘要 : 采用电液伺服材料试验机加载方式 , 通过位移控制和傅里叶级数展开技巧 , 将含有滞迟环节系统的非 线性参数识别问题转化为扩充参数的线性识别问题 , 为钢丝绳 、金属橡胶构成的隔振系统的模型识别奠定了 重要的理论基础 。 : O322 文献标识码 : A 中图分类号 关键词 : 参数识别 ; 滞迟振动 ; 傅里叶级数 ; 钢丝绳 ; 金属橡胶 近年来 , 钢丝绳 、金属橡胶类干摩擦弹性阻尼元件因具有优异的性能而在工程中得到了非常广泛的 3 1 ,2 。理论与实验 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 表明, 钢丝绳 、金属橡胶隔振器中有相当一部分来自钢丝间的摩擦 、挤 用 、滑移等的细观力学现象 , 宏观上呈现类似弹塑性的本构关系 , 这就导致了恢复力与元件的变形历史 关 , 具有所谓记忆特性 。本构关系是一非线性泛函 , 其参数识别一直是动力学研究领域的前沿性课 4 。1988 年 , 胡海岩首次采用双折线本构关系的 Fo urier 级数与 Chebyshev 级数直接逼近技巧 , 将非 5 性参数识别转化为线性参数识别问题 , 提出了一次辩识全部参数的识别方法 。1988 年 , 姚亚夫运 滞迟曲线分解技术 , 提出了非线性弹性力 、干摩擦阻尼 、粘性阻尼分离辩识的识别方法 。1991 年 , 6 据保守力与非保守力耗能性质的不同 , 李岳锋又提出了一种参数识别的能量法 。1994 年 , 陈乃 7 运用频域广义正交概念 , 提出了参数识别的频域方法 , 提高了识别算法的抗噪能力 。这些识别方 的技术基础都是利用电磁激振设备 , 采用正弦力控制方式 , 因而难以满足大位移参数识别的要求 。龚 8 生等人的研究表明 , 在大位移变形条件下 , 钢丝绳类弹性阻尼元件的本构方程中的有关系数随变 频率和幅度而变化 。因此 , 研究大变形条件下的识别方法对于钢丝绳类弹性阻尼元件的应用具有重要 意义 。 笔者尝试用电液伺服材料试验机作为大位移加载设备 , 并采用位移控制方式 , 可以更加方便地激发 高次非线性 , 提高了参数识别的精度 。 滞迟恢复力傅里叶级数展开 [ 1 ] 一般非线性元件的本构关系可以分解为有记忆环节和无记忆环节的并联, 即 ( )1 ( ( ( ( ) ( ) ) ) ( ) ) ( ) g y t , y t , t = gy t , y t + z t , n 0 中 , 无记忆环节的本构关系取为线性模型 , 表述为 : n 1n - 1 ( ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) )+ gy t , y t , t = asgn y t + a | y t | y t + bsgn y t 0 0 n 0 ? n = 1 n 2n - 1 ( ) ( ) ( )b| y t | y t 。2 n ? n = 1 ( ) 这是一个关于待定系数 a 、b的线性模型 。具有记忆特性的非线性恢复力 z t 采用双折线模型近 n n 描述 , 其增量形式的本构方程为 : 收稿日期 : 2004 - 04 - 01 ; 修回日期 : 2004 - 05 - 10 ( ) 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 50105021 ( ) 作者简介 : 齐京礼 1966 —, 男 , 硕士研究生 , 讲师. ( ) ( ( ) ) ( ) ( )d z t = k/ 2{ 1 + sgn z - | z t | } d y t , k= z / y, 3 s s s s s 其中 , y是金属丝之间发生宏观滑移的两端变形极限 , z 是滑移时的记忆恢复力 。图 1 是双折线本构关 s s 系 。 电液伺服材料试验机位移控制加载方式下 , 可设元件变形量为 : ( ) (ωφ) ( )y t = y sin t + , 4 m 引入坐标变换 π1 τ φ = t -- ? ,t, t= ζ ζ ω 2 ( ) 则式 4变形为 ωτy = y co s, m 2 y sθθ根据关系式 y - 2 y= y co s推得如下等式= arco s 1 - , 则可将 m s m y m ωτπθπ在 0 ?2变化区间分割成 1,2 , 对应 0,; 2,3 , 对应于 0,; 3, θθππππ4 , 对应于 ,+; 4,1 , 对应于 +,2。 经推导 ( ) 得各区间 z t 表达式如下 。 y y mmτ)(θ1 ?2 ] z 1 - + c?o s = yy ss (τ)2 ?3 ] z = - z s( )5 , y y m mτ)(θπ)(3 ?4 ] z + c?o s - = - z 1 - sy y s s (τ)= z 4 ?1 ] z s (τ) 用傅里叶级数逼近滞迟恢复力 z , 可表述为 : (θ) αθβθθωτz = {co s n + sin n } , = , ( )6 nn ? ( ) 联系恢复力分段表达式 5, 经较繁的推导得 : z y y θ( )θθ n2sin smsi n nmsi n n + 1α= ρ( θ)+ n , 2 1 - + + na π1 nn + y n y s s ( )7 , θ = 1 ,n ρ( θ) n ,= a ( )θsi n n - 1 ?1 , n n - 1 z y y ( θ) θ( )θ2 1 + co s n1 - co s n 1 - co s n + 1 smmβ= ρ( θ) + n , 2 1 - + - nb πn + 1 ny n y s s ( )8 , θ n = 1 , ρ( θ) n ,= b ( )θ1 - co s n - 1 , n ?1 n - 1 ( ) αβ这样 , 就得到了关于待定参数 和的线性模型 , 而物理参数 z 和 y通过两个非线性关系式 7、 n n s s ( ) 8与线性模型参数相联系 . 傅里叶级数展开参数识别方法2 ( ) 首先 , 量测到元件位移 、恢复力的采样信号 t 、y 、y 、f ; k = 1 , 2 , 3 ?, n 。根据逼近要求 , 取式 2的 k k k k ( ) ( ) 有限截断 , 并考虑式 6及其有限截断 , 最后由式 1可形成元件的参数识别方程 第 3 期 齐京礼等 : 非线性系统参数识别的傅里叶级数展开法 3 ( ) 将式 9表述为矩阵形式 ( )η 10 X= F, η中 ,是待识别参数向量 T η αααβββ= a, a, ?, a , b, b, ?, b,,, ?,,,, ?,] , 0 1 n 0 1 n 1 3 n 1 3 n 1 2 3 成 X 、F 后 , 考虑到实际测试信号均含有一定的随机噪声 , 列满秩条件容易得到满足 , 利用最小二乘法 ηη获得参数向量 的无偏估计^ 。 考虑到傅里叶级数系数的衰减性质 , 取第一阶系数用来识别参数 z 和 y, 并注意到 s s y s 1 ( θ) ( )= 1 - co s 11 ,y 2 m ( ) ( ) ( ) 式 11代入式 7、8, 经简化运算得 : z y smα(θ θθ) ( )^ = - sinco s?,12 1 π y s 4 z y ss( )β。 13 ^ = -1 - 1 π y m ( ) ( ) 据式 12、13可推得非线性代数方程 : α^ θθ θ 1si nco s- ( ) 14 = ,2β θ^ sin 1 ( ) θ用 Newto n 数值迭代计算可解出 , 再根据式 11可得滑移极限 y的估计 s 1 ( θ) ^y= 1 - co s?y ,( )15 s m 2 ( ) 后 , 根据式 15可得到滑移时记忆恢复力 z 的估计 s πβ^ y 1 m ^z = ?( )。 16 s 4 y - ^y m s至此 , 所有参数辩识完毕 。 参数识别数值模拟试验研究 [ 7 ] 根据最小二乘算法 , 对模拟元件进行物理参数识别 。参考已有钢丝绳样品的动态特性, 取模拟元 的本构关系为 : 3 3 ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )g y t , y t , t = ay t + ay t + b y t + b y t + z t , 17 n 1 3 1 3 中 , 物理参数设定为 a= 110 , a= 011 , b= 011 , b= 011 , y= 012 , z = 011 。 1 3 1 3 s s 位移控制加载条件下 , 参数识别结果如表 1 、表 2 所示 。 ( )表 1 5 % Gauss 白噪声条件识别结果 10 次平均 ^a^a^b^b^y^z 1313ss 11006 04 01099 47 01098 25 01100 00 01174 45 01124 40 ( )表 2 10 % Gauss 白噪声条件识别结果 10 次平均 ^a^a^b^b^y^z 1313ss 01990 85 01104 13 01098 28 01100 03 01154 23 01102 50 由表 1 、表 2 可以看出 , 基于位移加载的傅里叶级数展开参数识别算法具有很好的估计精度和抗噪能 , 能够满足工程应用的要求 。 参考文献 : 1 振动控制中的非线性组合结构动力学研究 D . 南京 : 南京航空学院 , 1988 . 胡海岩 . 2 滞迟振动系统及其工程应用 M . 北京 : 科学出版社 , 2002 . 白鸿柏 . () 3 Shaw S W. On t he d ynamic respo nse of a system wit h dry f rictio n J . J SV , 1986 , 108 2: 305 - 325 . 4 () 胡海岩 . 具有记忆特性的非线性减振器参数识别 J . 振动工程学报 , 1989 , 2 2: 17 - 26 . 5 一种非线性干摩擦振动系统的识别方法 A . ( )见 : 全国第五届模态分析与试验学术交流会论文集 上 姚亚夫 . C , 1988 . 579 - 589 . 6 李岳峰 . 非线性系统参数识别的能量法 J . () 振动工程学报 , 1991 , 4 3: 34 - 40 . 7 陈乃立 . 非线性滞迟系统的参数分离 J . () 振动与冲击 , 1994 , 13 4: 7 - 14 . 8 非线性迟滞特性钢丝绳联轴器建模与参数辨识 A . 见 : 第六届全国振动理论及应 用 学 术 会 议 论 文 集 龚宪生 . 武汉 : 华中理工大学 , 1997 . 408 - 411 . C . ()责任编辑 : 刘宏波 Study on the Para meters Separated Ident if icat ion f or the Nonl inear Hysteret ic System Using Fourier Series 1 2 3 3Q I J ing - li, CU I Kun - lin, YAN G J ian - chun, L IU Ying - jie (1 . Depart ment of Training 3 . Depart ment of Guns Engineering , Ordnance Engineering College , )Shijiazhuang 050003 , China ; 2 . Baoding Military Affairs Rep resentative Organ for Navy , Baoding 050002 , China Abstract : In t his paper , elect ricity - hydraulic p ressure material test - bed is used to give load to t he elasto mer , by using displacement co nt rol and parameters separated identificatio n , t he no nlinear parameters identificatio n for t he system wit h hysteresis is t ranslated into t he linear parameter identificatio n wit h expanding parameters , t his met hod has important inst ructio n to t he de2 signing or t he respo nse co mp uting for t he system co mposed of steel wire or metal - rubber . Key words : parameters identificatio n ; hysteretic vibratio n ; Fourier series ; steel wire ; metal - rubber