微分几何基础chen

微分几何基础 微积分的基本定理 大概地说，微分就是把曲线用它的切线来研究它的性质，知道了曲线每一点切线的性质，也就知道了曲线的总体性质。这相当于说把函数线性化。线性化后，可以加减乘除，可以计算，并得到一个数来。 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 要是能得到一个数来，总是很要紧的。 积分大概的说，是计算面积。 微分是积分的反运算。如果 ，则 。 这就是微分与积分的基本关系，或叫微积分基本定理。 多元微积分 2维积分情形就有了区域，我们叫它 ，那么它的边界叫 ，所以积分的一个自然推广是一个2重积分。一维积分是把x分成小段，然后取小段再乘上这个函数，求一个和。在2重积分的时候， 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 也是把区域分成小块，然后取每一小块的面积，在其上函数值乘上它的面积，然后求它的和。很不得了的，假使函数好的话，无论你如何圈你的区域，极限是一样的，这极限就是2重积分： 在2维的时候，甚至高维的时候，一个重要的现象是，我们现在有2个变数x,y,换变数怎么样？换变数是微积分很重要的方法，很多问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 看你的变数选择是否适当，有时换变数，问题就立即简单化了。现在换变数： 其中， 是另外一组坐标。我们发现一个事实，在高维的时候，微分的乘法，我们写成 。 在多维情况下，微积分有一个巨大的进步，就是引进外代数和外微分。一维情况下，变量微分是 ，二维情况下，我们引进一个乘法 ，并假定这个乘法是反对称的 如果这样定义，则易得 ，因为 。 这时的变数由 变为 ，因为 ，所以就没有高次的东西了。这样得到的代数是外代数。 是微积分上最微妙的观点。（当一个大家说某个东西很妙时，你一定得反复地深入地去体会其中妙味！） 这个代数很妙的，有一个立刻的结论，换变数公式为： 假使我们的微分是偏微分，所以 现在用外乘法一乘， ，而 因为乘法是反对称的，所以是刚好乘以 的雅可比： ， 这个符号是雅可比，是四个偏微分所成的行列式，所以 这个刚巧是我们重积分变数的一个关系。我们知道重积分是要换变数的话，它应该乘上雅可比。所以这个结论是，对重积分的Integral可看成是外代数的多项式，那么换代数就自然对了。这里有点微妙的地方，因为通常，你要证明换变数的公式的时候，假定雅可比是正的，不然的话，乘上雅可比的绝对值，使它是正的。这个是高维几何微妙的东西，就是空间有个向（Orietation），你转的时候，有2个相反转的方向，转的时候，假使改了方向，雅可比是负值。因此我们一个结论是多重积分的Integral应该是一个外代数多项式，是 的多项式，乘法是反对称，这样换变数完全可以对的，当然我只做了2维例子。高维是很明显的，同样的，外乘法是妙得很呐，是不会有高次的，所以比较简单，平方一下就是0。 4．外微分 格林定理说：假使你有一个区域，在边界上的积分可以变为区域上的积分。是一个一重积分和二重积分的关系，这个关系很重要。 上面公式，形式上是把一个一次微分式变为2次微分式。对微分符号，不要太在意它的意义，只管它的形式。你可以把它当成x一样处理，如 可以看成是一个微分多项式，就象 ，没什么特殊性。当然也可以对它们组成的多项式再微分，如 叫外微分（Exterior differential ealculus）。外微分很简单，假设有 ，它的微分就是微分它的系数，也就是微分函数。A与B是x,y的函数，所以就微分A，B。A的微分就是 ，B的微分就是 ，可是 因为： 所以： 所以，格林公式 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达的实际上是外微分。由此可以看出，外微分是很妙的东西，因此你可以把积分号丢掉，就说我们拿 造一个外代数，对这个外代数有个外微分。 外微分很简单，就是假使微分各项的时候，其实是对每项系数微分，结果我得到一个多项式，这个多项式的次数高一个。作为函数就变为一次微分式了，所以次数高一次，因此原来k次的话，得到一个k+1次的微分式。格林公式把曲线微分的微分式变为区域微分式，一重积分变为二重微分。因为这里有一个外代数，所以把这个微分式乘起来，用一个外乘法。 把k次的外微分式变为k+1次的微分式，这样实际把这个外微分式中间给了一个新的结构，可以微分，这个微分跟普通微分不一样，它是把k次变为k+1次。 这个外微分有个奇怪的现象，就是用两次以后等于0。 证明这一点，对任何一个k次微分式，微分一次变为k+1次，微分两次变为k+2次微分式，它一定是0。 D是一个外微分，是对外代数的多项式的一个运算，这个运算运用两次就等于0了，这是一个了不得的关系。因为几何上讲，假使你有一个区域，你取这个区域的边界，再取这个区域的边界，就没有边界了。如你取的边界是整个球，再取这个边界的边界，没有了。这个几何性质跟外微分的性质是对偶的。求两次边界一定等于0，这是几何性质，求外微分两次等于0，是个 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 的性质。这两具东西不是两个互不相关的东西，是完全对偶的。这是一个了不得的几何关系，了不得的数学上的关系，妙得不得了，因为求边界是一个几何问题，更是一个整体问题，一定要拿整个区域乘上边界。但是，求外微分是个分析问题，是个局部问题，要外微分只要知道这个微分式在一点附近的性质就有了。这一个局部的运算跟一个整体的运算有这样对偶的关系是很难得的事情，是一个重要的几何现象，是重要的数学现象。为什么对偶呢？其实这就是格林定理的推广，就是Stokes定理：假使有一个区域，把它封闭上， 是这样一个k维区域，所以它的边界就是边界 ，那么假使有一个微分式叫 ，它的次数是k-1,于是我们就有这么一个关系： 在边界的积分等于 在 的积分 这个定理重要极了。它把两个普通的运算，一个是等于区域的边界运算，一个是等于外微分的积分，这两个有简单的关系。假如我们把外微分的积分写成这个关系： 这个外微分成矢量空间，可以加减，这个区域也是另外一个矢量空间，也可以加减。假如这两个矢量空间经过积分，因此就有一个所谓的“对”（pair），这个矢量空间的一点和那个矢量空间的一点连在一起是等到一个正数，得到一个数，那么Stokes定理就是说这个paring 使得对 的作用的算子 与外微分算子d是伴随的（adjoint），是对偶的“对”，这就是Stokes定理的意义。 从它我们可以得出普通微积分的基本定理。因为设k=1，那么我们的区域是一个线段，从a到b的线段，这个线段是 ，它的边界呢，是b点减a点， 是一个函数， 是个积分，在一维情况下就是用到直线上，因此一维情况下， 是个线段，边界是b-a， 是一个函数f， 是df，于是： 即函数在b点的值减去a点的值等于df在这个线段上的积分。这个就是所谓的微积分基本定理。 有一个公式容易证明，就是你把两个外微分的式子 与 相乘，再求这个积的外微分： 假设有一个运算，它的平方等于0，这是很不得了的，这时就可以造一个除法，有个商（quotient）。这样得到一个除法，现在叫同调（homology）。现在许多数学的发展都有这个运算，加两次等于0，你就能造出一个quotient。什么是quotient的呢？就是你把所有的满足 的 ，被所有 来除，即： 如果 ，因为 ，所以 ，因此你取所有的所谓的闭形式（close form），被可以写成d什么的东西来除，就得到在数学里用一个唬人的名字叫homology，也就是取所有的k次微分式，它们是封闭的（被d作用为0），被所有的 来除，造一个商结构，这个商结构就叫homology [ho'mɑl?d??] 。你可以用到这个d，也可以用的是 的边界，用到边界的homology叫上同调（cohomology）。这个很厉害，假如你有一个流形，它是紧致的，它的cohomology form是有限维的，这个有限维的维数叫这个空间的Betti数。 第二讲 指数与对数函数 复数不只是使任一个方程式有解，并且利用复数，很多数学问题来的简单。复变函数比实变函数简单多了。 积分有一个积分的区域，在这个区域里积分，还有一个算子，算子讨论我们积的是什么东西，或者积的函数是什么。这里讨论的算子是外微分，外微分就是dx,dy这些微分乘起来，不过这个乘法是反对称的。反对称妙极了，因为反对称后，一个dx不能存在两次。即 。 以dx为变量，可以构造一个多项式，这个多项式乘法是反对称，这种反对称乘法的多项式叫外微分式，外微分式就是指积分一个对象。在一个区域里积这个外微分，这也可以看作一种配偶（pair），有一个区域，再有一个积分和，放在一起，积分有一个值，这个值是一个数，这两个是配合的结果，有了这个多重积分的观念后，多变数的微积分基本定理，就是所谓的stokes定理。该定理是一个几何现象与一个分析现象联合的结果。 区域有边界的观念是代数拓扑一个基本概念，你要研究的边界关系，一个深刻的研究就引到所谓（下）同调群，同调群是代数拓扑研究空间性质的最基本的一个观念。 是一个k维区域，它的边界就是 ，另外有一个 维外微分式 ，微分以后 为k 次，stokes定理说： 在 上积分等于 在 的积分，即： 上面讲过，一维情况，相当于微积分基本定理，2维情况呢？就是有名的Green定理： 2维情形，区域是2维的，边界是曲线。 整个情况在高维时，有一个基本性质，就是外微分d用两次一定等于0。即如果 是一个外微分式，那么 这个方程非常容易证明。对于 ，外微分式是线性的，所以你只需要把 当成一个单项来证明就行了，这是因为你每一项的 都等于0，于是对于单项的尾部，单项是一组d乘上一个函数。显然，只要证明一个函数用两次d，它一定等于0就可以了。在一个n维的空间中，它的坐标是 ，有一个函数f是 的函数，d一次的话，就是普通偏微分，也就是 再微分一次，等到二级偏微分 ，再乘 ，这个二阶偏微分 是对称的，这是因为求偏微分与次序无关。因此这个系数是对称的，而我们这 两个 是乘法反对称的，显然两次微分后就等于0了。即： 这里，因为固定了i与j，就得到 ，因为f对这个指标是对称的，所以为0。 Stokes定理可以说区域与外微分是一个对偶，使求边界与算这个d 这两种运算是对偶的算子。这是个了不得的结果。因为求边界，是一个几何运算，是整个区域的一个性质，而求外微分是一个局部的，分析的运算，是完全局部的，只与这一点的附近有关系。一个是整体的几何算子，一个是局域的分析算子，它们是对偶的。空间不一定是普通的Euclid空间，也许空间拿x做坐标为所谓的流形，假设空间是一个流形的话，也可以讨论它的外微分式，例如k次的外微分式，于是所有的k次的外微分式成为一个我们所谓的矢量空间，在其中进行加减。现在我就讨论所有d=0的这种外微分式，即外微分等于0的那些外微分式，在数学上，我们称这种微分式是封闭的，这些封闭的外微分式构成矢量空间，因为两个close外微分相加仍为封闭的，设 是k次外微分式： 那么我取 ， 是一个封闭的外微分形式。现在我把 当成一个群，这个群有个子群，这个子群是什么呢？它就是所有的k-1维的外微分式子用d来作用。因为 ，所以它一定是close的。因此在所有的封闭的k次外微分式构成的 中，所有乘上一个k-1次外微分式成为一个子群。于是整个群用子群一除，在群论里说它是一个商群（quotient）.这个群有个名字叫de Rham group: 这在拓扑上非常重要，就是说，外微分形式多得不得了了，甚至close的外微分式也多得不得了了，而在你除 之后，在很多情形下，就变成了一个有限维的矢量空间，那么这个有限维空间的维数是这空间的一个重要性质，通常叫做Betti number，这是代数拓扑中最浅的一个基本概念。也就是我们讨论外微分式可以决定它的有些拓扑的不变式。 3、对数和指数函数 指数函数的微分式： 的微分等于 ，因此 的积分等于 ，即： 如果n不等于-1，一般人到此就结束了。不过如果这个时候你停止的话，你就没有用到函数积分的重要定理，因为n=-1时，这个积分才有意思。所以，假如n=-1，我就取对 的积分，因为我不取x=0，所以我这个积分假定它从1积到x，这个积分重要极了，有意义极了。因为我这个积分，叫 ： 下面我讨论对数函数的最重要的性质，假使我把x乘常数a，对 求微分，因为 的微分等于1/x， 的微分也是1/x，但差一个常数C： 将x=1代入， ，因为积分是从1—x，所以从1—1当然是0。于是我们就证得C就是 ，因此就得到 这个函数的基本性质： 换句话说，对数使乘法变为加法。 指数函数是对数函数的反函数，如果 ，则 。 对数函数把乘法变为加法，指数函数也把加法变成了乘法了。 现证明： 平面曲线 设平面上有条曲线 ，对它微分，就得到一条切线，有个切矢，取切矢为单位长度，为单位切矢。如果把坐标表示成弧长s的函数，这个切矢就成了x对s的微分 ，单位切矢就成了： 接下来，怎么研究这条切线呢？简单，见了函数就微分。有了单位切矢，并假设平面是定向的，即有一个转动方向，那么就有一个单位法向量，也就是跟切矢垂直的那个单位矢 。 要研究切矢的性质，第一件事就是对切矢 再微分。微分后的矢量是一个新的矢量，得到与 垂直的法矢： 。 这个法矢是单位法矢一倍数，这个倍数是弧长的一个函数，我们叫k(s). k(s)叫曲率，是这条曲线在这个平面里最要紧的一个性质，是弧长的一个函数。 空间曲线 现在有一条空间曲线 ，在三维空间里有切线，单位切矢叫它 ，把 对s再微分，就等于说对s求二阶的微分，得到一个跟 垂直的法矢。对空间曲线一点，它的切线有一条，但切线的法线有无数个，仍用 表示。单位法矢仍然用 ： 所有法矢中，有一条叫主法矢。我们现在有了两个方向，一个是切矢方向，一个是主法矢方向。有了这两个方向，就可以找到第三个， ，与这两个矢量同时垂直的方向，我们叫binormal。总之，有了主法矢，就能找到与主法矢垂直的另一条法矢，两者构成法平面。 曲线是一维的，切线是1维的，但法矢是2维的。我们假定这个空间是定向的，右手和左手都有一个确定的方向。通常我们用右手，所以有一个确定的 满足： 这样的三个互相垂直的单位矢量构成标架。你把一个标架搬到另一个标架的运动是完全确定的。三维空间最要紧的性质是三维空间的运动，我们要研究的几何性质是经过运动不变的，所以就要知道什么时候你可以把这个东西搬到另外一个位置，什么时候它的位置相差在于一个运动，而标架就是这个运动解析的表示方法。你要能够搬过去就表示这个标架搬到另外一个标架的运动是完全确定的。显然，只有一个运动并且一定有一个运动把一个标架变为另外一个标架。因为要研究空间经过运动不变的性质，所以解析的方法就是利用标架。 那么假如我现在有一条曲线，我不只有一个标架，这些标架是时间的函数，在那里运动，因此 这三个作为标架的矢量都是时间的函数，于是我可以求它的微分 。 是矢量，因为 是个标架，所以任何一个矢量都可以写成这3个矢量的线性组合。推广一点， 也可以表示为 的线性组合： 这个组合是一次微分式，因为我们现在做了一下微分，这样的一次微分式我们叫它 ，这就表示两个相邻标架的关系。你有一个标架，旁边有个相邻的标架 ，那么 表示为 的函数的时候，它的组合的系数就是一次微分式。 是一次微分式，一共有9个。 这9个一次微分式是有关系的，它不是完全独立的： 也就是说， 的方阵是反对称的。主对角线上的元素是0。同时 下面三个方程成立 叫它为Frenet方程。方程中除了曲线之外，还有一个函数 ，它是挠率（torison）。也是弧长的函数，是表示空间的曲线在运动群下的性质。所以空间曲线有两个函数，一个是曲率，一个是挠率。挠率描写的是曲线如何离开平面，是空间弯曲的一个量。所以空间曲线是用两个函数来描写的，它们解析地描写这空间的性质。这两个函数显然很重要，因为它们不等于0的时候，就表示很简单的性质。如果k=0,这曲线是直线。挠率一定要在曲率不等于0时才有意义，而当挠率等于0时，表示这条曲线是在一个平面上的曲线。 另外一种比较有意思的是曲线的曲率k和挠率都不为0，但都等于常数。那么，这个曲线是个螺线。 Feuchll不等式， Crofton积分公式， Fary-Milnor定理 曲率和挠率是研究曲线的局部性质，有时更重要的是研究整体性质。假如一条曲线是闭合的，看这条曲线有什么性质，这里有个重要公式。因为曲结是闭合的，每一点都有个曲率，我就研究全曲率，即把每点曲率沿闭合曲线积分，看有能得到什么东西不能，于是有所谓的Feuchll公式。 就是说这个积分有个下界 。直觉说起来，如果你沿一条没有曲率的线走下去，它是直线，永远不会闭合起来，只有这条线是闭合的，那么它一定有曲率。而且总曲率有一个下界。 第四讲 曲面论 曲面有个优点，就是可以假定它是在3维空间里面，可以看得见，可以画图，可以看见它上面的曲线的性质及其他什么的。一到高维曲面，就看不见了。 什么是曲面呢？曲面就是一个扭曲的东西，它的点的坐标可以表示为两个变数u,v的函数，这两个变数叫参数。两个参数变化时，这些点的轨迹就成了一个2维的曲面： 你也可以使一个参数固定不变，让另一个参数变化，如让v为常数，令u变化，这时你就得到一条曲线，它的参数是u。因此在曲面里头，隐藏着两组曲线，它的参数一组是v等于常数，一组是u等于常数。对于这两组曲线，每一条曲线在每一点都有一条切线，所以在每一点x，我们就有两条直线，假设这两条直线不重合，或解析地讲， 不是同一个方向，不平直（线性）相关，其中 就是x的矢量分别对 求偏微分，它的矢量积 。假如这两个方向不重合，就张成一个平面，这个平面叫曲面在这一点的切面。这个切面在x这一点有一个垂直的方向，叫法线，沿法线有一个单位法矢。这个法矢有两个选择，一个是向上走，也可以向下走。我选择它使 跟法矢是一个右手的坐标标架，是一个右手系。单位法矢 满足： 构成右手系，这里行列式 ，是正的。 一般书上往往用u,v参数发展整个曲面的微分几何，因此比较长。这样做有一个缺点，因为 不一定垂直，那么我们的兴趣是在于欧几里德几何有一个度量，所以他们用的是非垂直的坐标系，而几何是一样的，但是分析方面的公式就比较复杂了。而我取 是单位矢量，它们是相互垂直的，又是右手系，行列式为正，因为这三个矢量都是垂直的单位矢，所以行列式等于 ，平方等于1。 曲面的微分式及其几何 曲面不只是一个坐标系，而是一族坐标系，还有几个变化的参数。最要紧的一个现象就是一个坐标系跟它临近的坐标系是怎么一个关系。了解这个关系是微分几何最主要的问题。方法同样是先微分。 求求看矢量x,e的微分 都是什么。类似于曲线研究，任何一个矢量可表示为 的线性组合。 我们用了爱因斯坦求和约定。 是什么呢？它是一次微分式。一共有9个。这些 同样不是任意的，满足： 是一个反对称的3乘3矩阵 因此只剩下三个元素，这3个都是一次微分式。这3个一次微分式对曲面几何性质非常要紧，即它们都可以用微分式来表示。普通研究函数论，搞分析的时候，都是讲函数，讨论函数或把函数微分，并把它的微商做为系数。大家传统不习惯于一次微分式。其实，一次微分式是把这个问题弄简单了。法国大数学家Darboux写了四大本《曲面论》，值得看，不过可惜是法文，他不用微分式，他用的是偏微分，所以有许多公式写起来长。用微分式的话，简单多了。所以我用一次微分式，用正交标架，使曲面论非常简单。这些你们在普通微分几何书中很少能找到，但是这种方法很有效，因为一切东西变简单了。我假定曲面是定向的，即在转的时候有一个反时针方向，因为定了向之后，在一个点，它有两个切矢的话，它的法矢就完全确定了。曲面定向之后，每一点一定有一个固定的单位法矢，不是它的负的矢量。那么，曲面上有一个很要紧的几何结构，就是一个点加一个单位切矢，即x与 ，这是现代纤维丛的最简单的情况，也是最要紧的情况。对于x+ ，它多了一个维数，因为固定了x以后， 这个单位切矢还可以转圈，所以x的轨迹是2维的，那么每一个x的切矢都要加上一维，这是因为它可以是一个圈，并是单位的，所以这个空间是3维的。这个3维空间我叫做E： 叫圆丛。有一个三维空间或者说造出了一个3维空间，这个观念要紧极了。现在许多数学物理学家都需要这个观念。一旦你原来的流形来描写几何不够，往往需要上面有一个圆圈，这个我们叫纤维丛。这时的圆周是一个纤维，因此这个纤维叫圆丛。因为纤维是圆，所以E是由流形M（这里是曲面）造出来一个圆丛，那么在一点要有了 ，就有了 ，因为 是中 垂直的一个单位矢量，同时可以由原来的定向确定下来。 ， 定下来， 法矢也就定下来了。所以x 这个单位切矢跟标架一回事，有了单位切矢，就可以构造一个标架，有了标架，就可以取第一个切矢量为 ，所以这3维空间就是我们的曲面所有这些标架所构成的空间。我说E是3维的，E有一个映射，映到原来的曲面M：因为你有这个切矢，它有一个原点x，由x 把它映为x，这是一个从E到M的映射。要研究曲面的微分几何，单从曲面还不够，一定要用E。E跟原来的曲面有密切的关系。这大概就是纤维丛必须出现的原因吧？ 用E的好处还在于，它上面有一次微分式，这些微分式在E上都是确定的，那么除了我讲的 ， ， 这几个单位矢量，当然曲面的点x也是一个矢量，它的位置矢量也是一个矢量，x是 u,v的函数，dx当然是u,v的一次微分式，可以表示为 ， ， 的线性组合。但是，实际上，它一定是 ， 的组合，这是因为 是法矢，所以它一定是在切面上，它的系数我叫做 ， ，我们就得到第一个公式： ， 所以我们有5个一次微分式，分别为 ，这组微分式非常要紧。它们都有简单的几何意义。这也同时说明了用微分式讨论几何性质简单而容易。 我一直强调，微分式最大的优点，就是微分两次后是0，即对于dx， 对任何函数的外微分两次一定等于0。因为这个性质，这种数学结构就有所谓的同调性质。非常重要的一个概念。 现在把 再d一下子。左边等于0，右边的展开就得 注意，当外微分前面有一个一次的话，微分第二个因子要改号。总之，你就把它们微分了。微分之后，发现所得式子是 ， ， 的线性组合，那么它的系数是二次微分式。而对于这个系数是二次微分式的矢量要等于0的话，原有系数都要等于0，于是你如果令 ， 的系数等于0，就等到下面公式： 这些公式你们也许觉得新，因为在普通书上看到见，这是由于普通不喜欢用微分式，许多人也不会用微分式。其实这很简单。令 的系数为0，就得到下面公式： 这又是个要紧的公式，由此可以得到所谓的Levi-Civita平行性。现在这个也叫联络（connection）。对于联络和，其实很简单，Levi-Civita联络就是 这个一次微分式。注意 是E里头的一个一次微分式，它就定几何的性质，使得我们可以把这个矢量沿着一条曲线平行的移动。这是什么意思呢？就是 这个一次微分式由方程 完全确定。因为如果有一个 适合同样的方程，即 我需要证明 ，即只有一种可能，只有一个 适合方程。 曲面的基本不等式 一个曲面与另一个曲面有什么区别？区别在于曲率。曲率是曲面上的函数，一般用第一基本形式和第二基本形式表示： 第一基本形式： 第二基本形式： 第一形式就是曲面的 ，由于 ，但是 是相互垂直的单位矢，所以就得到 。这个平方和就是曲面的度量。在3维空间里，曲面当然有一个度量，那么它的度量是什么呢？就是它的黎曼度量，是一个2次的微分形式。这个2次微分式简单极了，就是 。（注意：类似阴阳平方和） 那么，我也可以对 这个矢量取 ，它就等于： ，这也是一个2次微分式，这个一般叫第二基本式。有了第一第二基本式，你就取它的特征值，特征值的和就是 ，特征值的积就是 。一般地， 叫曲面的中曲率。 叫曲面的高斯曲率。 这里要紧极了，高斯曲率有许多有趣的性质。中曲率和高斯曲率描写了曲面的几何性质。可以证明，高斯曲率是正的话，曲面是鼓的，高斯曲率是负的话，曲面有鞍点。这是曲面里两个最重要的不变式，这个不变式是函数。以往我们得到的是一次微分形式，而一次微分形式不大容易想象究竟是什么意思，但由它的运算可以得出函数来，这函数当然是了解的比较清楚，便宜得到中曲率与高斯曲率。中曲率等于0，一般叫极小曲面，所谓极小曲面就是面积最小的曲面，你把一条封闭的曲线放在肥皂水里所形成的曲面就是面积最小的曲面，它的中曲率为0。 高斯曲率更要紧，它等于 ，在曲面上一样有高斯映射，曲面每点有一个单位法矢量，把这个单位法矢看为一个半径为1的球面的点，就把曲面映射到球面上去了。每个点有一个单位法矢，你在O点画一个单位法矢中它平行，它的端点就在单位球面上，那么对于所有的点都做这个构造的话，就在单位球面上得到一个区域。在这个映射下，两个面积元素的比，即它的像的面积元素跟原来面积元素的比就是高斯曲率。所以，高斯曲率有简单的几何意义。 曲线也有一个高斯映射，那个高斯映射是取单位切矢量，其实也可以取单位法矢量，在曲线情况下，高斯映射把切线映射到单位圆上头，把单位圆的度量被原来这个度量除就是曲率。现在把这个概念推广到高维。推广到2维，我由这个曲面高斯映射到一个单位球面上，这两个面积的比就是高斯曲率，所以这是一个非常自然的几何度量。现在有个很要紧的关系，上头有 现在我把这个式子用于 ， ， 是反对称的，所以 ，这里 就是 ，也就是高斯曲率，所以得到： K为高斯曲率，这是一个令高斯惊讶的公式，所以叫它为theorem Egregious, Egregious是拉丁字母，意思是一个了不得的定理。为什么？它说明，高斯曲率只跟曲面的黎曼度量有关，跟这个曲面在空间的位置无关。因为在这个公式里， 已经证明只跟曲面的黎曼度量有关， 就是在这个度量下的面积元素，当然只跟 有关，即跟黎曼度量有关。所以，高斯曲率虽然是一个曲面在空间里的一个不变式，但是它只跟曲面的黎曼度量有关，换句话说，你把曲面变换一下，使得黎曼度量不变，高斯曲率就不变。 Gauss-Bommet公式是推广三角形之和等于180度。这里要假定丛是一个复的线丛，复线丛的纤维是条复线，这个观念在物理上是基本的。现在大家都搞辛几何，单有辛结构，用处是不大的，你要把辛几何用到量子力学上的话，需要加上一个复线丛。在物理世界，空间与时间加在一起是4维，所以你的基本空间是4维，四维空间中有一个复线丛，因此就得到这个高斯曲率。现在这个曲率是2次形式，再d一下等于0，就得到Maxwell方程。 第五讲 曲面论二，Gauss-Bommet公式 由 容易得到Gauss-Bommet公式。我们前面说过，对一个封闭的曲线，把曲率沿曲线积分一周，得到一个不等式。现在设想，有一个封闭的曲面，用高斯曲率对这个封闭曲面积分，能得到什么？这就是Gauss-Bommet公式： 我们把 叫面积元素，也可以叫做dA ，KdA就是这个积分。你立即会想，我们在封闭曲面如果有一个积分，它可以写成d什么的，那么它的积分应该在曲面的边界上，可以变为一个边界积分。会不会得到高斯曲率积分为0呢？不会的。 第六讲 曲面论三 复变函数最主要的一个定理是Picard 定理：假使对于一个复变函数，取它的函数值在复平面里头所有的位置，它把整个复平面都盖住了，其中也许去掉一点两点。 这是不得了的，就是说，函数如果是一个全纯函数，它分布得非常均匀，可以说差不多把平面都盖住了。有意思的是这个定理是复变函数高峰的定理，可以利用刚讲的Gauss-Bommet公式来证明。这说明看起来没有关系的一些方法和观念，是有联系的。 附：皮卡定理 皮卡定理可以指两个不同的数学定理，它们都是关于解析函数的值域。 皮卡小定理说明，如果函数f(z)是整函数且不是常数，则f(z)的值域或者是整个复平面，或者只去掉一个点。 这个定理在1879年证明。它强化了刘维尔定理：任何不是常数的整函数都一定是无界的。 函数exp(1/z)，在z=0处具有本性奇点。z的色相表示它的辐角，而发光度则表示绝对值。这个图像说明了接近于奇点时，可以取得任何非零的值。 （这能否消除电子电荷在电子表面存在的无穷大？就是说无穷可取的值，最后抵消成有限值） 皮卡大定理说明，如果f(z)在点w具有本性奇点，那么在任何含有w的开集中，对任意非∞的复数值A，有无穷多个z使得f(z)=A，A最多只有一个例外。 以上定理是说，全纯函数在本性奇点的任意邻域内，“无穷多次”地取到每一个有限的复值，至多有一个例外值。 这个定理强化了魏尔施特拉斯-卡索拉蒂定理，它只保证了f的值域在复平面内是稠密的。 这个“唯一的例外”实际上在两个定理中都是需要的：指数函数ez是一个整函数，永远不能是零。e1/z在0处具有本性奇点，但仍然不能取得零。 皮卡大定理在一个更一般的形式中也是正确的，可以应用于亚纯函数：如果M是一个黎曼曲面，w 是M上的一个点，P1C = C∪{∞}表示黎曼球面，f : M \ {w} → P1C是一个全纯函数，在w处具有本性奇点，那么在M的任何含有w的开子集中，函数f都可以取得除了两个点以外的所有P1C的点。 例如，亚纯函数f(z) = 1/(1 ? exp(1/z))在z = 0处具有本性奇点，在0的任何邻域内都无穷多次取得值∞；但它无法取得0或1的值。 皮卡小定理可以从皮卡大定理推出，因为整函数要么是多项式，要么在无穷远处具有本性奇点。 Gauss-Bommet公式真正有用的时候是曲面有边界，在曲面有边界的时候，Gauss-Bommet公式是顶点+顶点的外角+边的测地曲率+面的高斯曲率，下面是一般的Gauss-Bommet公式： 对于有边界的曲面，头一部分是边界顶点的点曲率，其次是边界的边的线曲率，然后是整个的这个东西的面曲率，所以你有一个有边界的曲面，你就取边界的点曲率+边界的线曲率+面曲率，是Euler示性数。如在欧氏空间平面，有一个三角形，因空间是欧氏的，高斯曲率为0，边都是直线，测地曲率为0，就是说 ，这是因为三角形欧拉示性数为1，右边要等于 ，这就是说三角形之和在欧氏平面上180。 Gauss-Bommet公式是三角形内角和为180的推广。这个观念重要极了，它就是整个纤维丛的观念。我说，有了这个纤维丛，麦氏方程组就是这个情况的推广。物理空间是3维空间加1维时间，共4维，是4维的洛仑兹形，要表示麦氏方程组，你要用一个圆周丛，实际上是一个复的直线丛，它有个曲率，我们的曲率是高斯曲率乘以面积元素，而这个曲率是个2次微分形式，把表示这个曲率是封闭的条件写出来就是麦氏方程组。所以麦氏方程的几何背景是非常简单的，就是因为世界是4维的空间，所以是从2维空间扩充到4维，那么这个曲率因为是一个2次微分式，还是反对称的，因此在4维空间里有一个4乘4方阵： 由这个方阵表示的2次微分式是封闭的，即d这个式子的微分是0： 这就是麦氏方程。