二次函数的最大值和最小值问题
高一数学组主讲人---------蒋建平
本节课的教学目标:
重点:掌握闭区间上的二次函数的最值问题
难点:理解并会处理含参数的二次函数的最值问题 核心: 区间与对称轴的相对位置
思想: 数形结合、分类讨论
一、复习引入
1、二次函数相关的知识点回顾。
(1)二次函数的顶点式:
(2)二次函数的对称轴: (3)二次函数的顶点坐标: 2、函数的最大值和最小值的概念
在x处的函数值是，如果不等式对于定义域内任意都成设函数f(x)xf(x),f(x)f(x)000立，那么f(x)叫做函数的最小值。记作 y,f(x)y,f(x)0min0
xf(x)如果不等式f(x),f(x)对于定义域内任意都成立，那么叫做函数的最y,f(x)00
y,f(x)小值。记作 max0
二、新课讲解:二次函数最大值最小值问题探究
类型一:无限制条件的最大值与最小值问题
2例1、(1)求二次函数的最大值 . y,,x，2x，3
2 (2)求二次函数的最小值 . y,2x,4x
本题小结:求无条件限制时二次函数最值的步骤
1、配方，求二次函数的顶点坐标。
2、根据二次函数的开口方向确定是函数的最大值还是最小值。 3、求出最值。
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类型二:轴定区间定的最大值与最小值问题
2例2、(1)求函数的最大值 ,最小值 . y,x，3x,2,(x,[,3,1])
2 (2)求函数的最大值 ,最小值 . y,x，3x,2(x,[1,3])
2 (3)求函数的最大值 与最小值 . y,x，3x,2(x,[,5,,2])
本题小结:求轴定区间定时二次函数最值的步骤 1、配方，求二次函数的顶点坐标或求对称轴，画简图。 2、判断顶点的横坐标(对称轴)是否在闭区间内。 3、计算闭区间端点的值，并比较大小。
类型三:轴动区间定的最大值与最小值问题
2例3、求函数在上的最大值。 [,1,1]y,x，ax，3(a,R)
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2变式三:求函数在上的最小值。 [,1,1]y,x，ax，3(a,R)
本题小结:求轴动区间定时二次函数最值的步骤
1、配方，求二次函数的对称轴，画简图。
2、根据对称轴与区间的相对位置进行单调性判断，若函数在区间上是单调的直接求出最大值和最小值，否则须再根据端点与对称轴距离进行分类讨论。
3、根据分类的情况求出对应的最大值与最小值。
类型四:轴定区间动的最大值与最小值问题
2例4、求函数在上的最小值。 [t,t，1]y,x,2x，3
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2变式四:求函数在上的最大值。 [t,t，1]y,x,2x，3
本题小结:求轴定区间动时二次函数最值的步骤
1、配方，求二次函数的对称轴，画简图。
2、根据对称轴和区间的相对位置进行单调性判断，再根据端点与对称轴距离进行分类讨论。 3、根据分类的情况求出相应的最大值与最小值。
思考: 轴变区间变二次函数的最大值和最小值问题
22求二次函数，x,[a,，,)的最小值。 y,x，(4a,6)x，9,4a
作业:试卷一张
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作业 1、求下列二次函数的最值。
2(1) y,x,3x，2
2(2) y,,x,3x，2
2、求下列二次函数的最大值与最小值。
2(1) y,x,3x，2,x,[2,4]
2(2) y,x,3x，2,x,[,1,4]
2(3) y,x,3x，2,x,[,5,,1]
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3、求下列二次函数的最大值与最小值。
2(1) y,x,2ax，2,x,[2,4]
2(2) y,x,2x，2,x,[a,a，2]
3、 轴变区间变二次函数的最大值和最小值问题
22求二次函数，的最小值。 x,[a,，,)y,x，(4a,6)x，9,4a
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