第二章概率和概率分布

第二章 概率和概率分布 2.1 做这样一个试验，取一枚五分硬币，将图案面称为A，文字面称为B。上抛硬币，观察落下后是A向上还是B向上。重复10次为一组，记下A向上的次数，共做10组。再以100次为一组，1 000次为一组，各做10组，分别统计出A的频率，验证2.1.3的内容。 答：在这里用二项分布随机数模拟一个抽样试验，与同学们所做的抽样试验并不冲突。以变量Y表示图向上的次数，n表示重复的次数，m表示组数，每次落下后图向上的概率φ＝1/2。SAS程序如下，该程序应运行3次，第一次n＝10，第二次n＝100，第三次n＝1000。 options nodate; data value; n=10; m=10; phi=1/2; do i=1 to m; retain seed 3053177; do j=1 to n; y=ranbin(seed,n,phi); output; end; end; data disv; set value; by i; if first.i then sumy=0; sumy+y; meany=sumy/n; py=meany/n; if last.i then output; keep n m phi meany py; run; proc print; title 'binomial distribution: n=10 m=10'; run; proc means mean; var meany py; title 'binomial distribution: n=10 m=10'; run; 以下的三个表是程序运行的结果。表的第一部分为每一个组之Y的平均结果，包括平均的频数和平均的频率，共10组。表的第二部分为10组数据的平均数。从结果中可以看出，随着样本含量的加大，样本的频率围绕0.5做平均幅度越来越小的波动，最后稳定于0.5。 binomial distribution: n=10 m=10 OBS N M PHI MEANY PY 1 10 10 0.5 5.7 0.57 2 10 10 0.5 4.5 0.45 3 10 10 0.5 5.1 0.51 4 10 10 0.5 6.1 0.61 5 10 10 0.5 6.1 0.61 6 10 10 0.5 4.3 0.43 7 10 10 0.5 5.6 0.56 8 10 10 0.5 4.7 0.47 9 10 10 0.5 5.2 0.52 10 10 10 0.5 5.6 0.56 binomial distribution: n=10 m=10 Variable Mean ---------------------- MEANY 5.2900000 PY 0.5290000 ----------------------   binomial distribution: n=100 m=10 OBS N M PHI MEANY PY 1 100 10 0.5 49.71 0.4971 2 100 10 0.5 49.58 0.4958 3 100 10 0.5 50.37 0.5037 4 100 10 0.5 50.11 0.5011 5 100 10 0.5 49.70 0.4970 6 100 10 0.5 50.04 0.5004 7 100 10 0.5 49.20 0.4920 8 100 10 0.5 49.74 0.4974 9 100 10 0.5 49.37 0.4937 10 100 10 0.5 49.86 0.4986 binomial distribution: n=100 m=10 Variable Mean ---------------------- MEANY 49.7680000 PY 0.4976800 ----------------------   binomial distribution: n=1000 m=10 OBS N M PHI MEANY PY 1 1000 10 0.5 499.278 0.49928 2 1000 10 0.5 499.679 0.49968 3 1000 10 0.5 499.108 0.49911 4 1000 10 0.5 500.046 0.50005 5 1000 10 0.5 499.817 0.49982 6 1000 10 0.5 499.236 0.49924 7 1000 10 0.5 499.531 0.49953 8 1000 10 0.5 499.936 0.49994 9 1000 10 0.5 500.011 0.50001 10 1000 10 0.5 500.304 0.50030 binomial distribution: n=1000 m=10 Variable Mean ---------------------- MEANY 499.6946000 PY 0.4996946 ----------------------   2.2 每个人的一对第1号染色体分别来自祖母和外祖母的概率是多少？一位男性的X染色体来自外祖父的概率是多少？来自祖父的概率呢？ 答： （1）设A为一对第1号染色体分别来自祖母和外祖母的事件，则 （2）设B为男性的X染色体来自外祖父的事件，则 （3）设C为男性的X染色体来自祖父的事件，则 2.3 假如父母的基因型分别为IAi和IBi 。他们的两个孩子都是A型血的概率是多少？他们生两个O型血女孩的概率是多少？ 答：父： 母： 2.4 白化病是一种隐性遗传病，当隐性基因纯合时（aa）即发病。已知杂合子（Aa）在群体中的频率为1 / 70，问一对夫妻生出一名白化病患儿的概率是多少？假如妻子是白化病患者，她生出白化病患儿的概率又是多少？ 答：（1）已知 所以 （2）已知 所以 2.5 在图2－3中，III1为Aa个体，a在群体中的频率极低，可排除a多于一次进入该系谱的可能性，问III2亦为a的携带者的概率是多少？ 答：设：事件A：III1含a， 事件B：II2含a， 事件C：I3含a， 事件D：II2含a， 事件E：III2含a， 事件C’：I4含a， 图 2－3 同理可得： 故III2含a总的概率为： 2.6 一个杂合子AaBb自交，子代基因型中有哪些基本事件？可举出哪些事件？各事件的概率是多少？ 答：1．共有16种基因型，为16个基本事件。 AABB AAbB aABB aAbB AABb AAbb aABb aAbb AaBB AabB aaBB aabB AaBb Aabb aaBb aabb         2．可举出的事件及其概率： A1： 包含四个显性基因 = {AABB} A2： 包含三个显性基因 = {AABb, AAbB, AaBB, aABB} A3： 至少包含三个显性基因 = { AABb, AAbB, AaBB, aABB, AABB} A4： 包含两个显性基因 = {AaBb, AabB, aABb, aAbB, AAbb, aaBB} A5： 至少包含两个显性基因 = {AaBb, AabB, aABb, aAbB, AAbb, aaBB AABb, AAbB, AaBB, aABB, AABB} A6： 包含两个不同的显性基因 = {AaBb, AabB, aABb, aAbB} A7： 包含两个相同的显性基因 = {AAbb, aaBB} ? 2.7 一对表型正常的夫妻共有四名子女，其中第一个是隐性遗传病患者。问其余三名表型正常的子女是隐性基因携带者的概率是多少？ 答：样本空间W = {AA, Aa, aA} 2.8 自毁容貌综合征是一种X连锁隐性遗传病，图2－4是一个自毁容貌综合征患者的家系图。该家系中III2的两位舅父患有该病，III2想知道她的儿子患该病的概率是多少？（提示：用Bayes定理计算II5在已生四名正常男孩的条件下是携带者的条件概率） 图 2－4 答：若IV1是患者，III2必定是携带者，II5亦必定是携带者。已知II2和II3为患者，说明I2为杂合子，这时II5可能是显性纯合子也可能是杂合子。称II5是杂合子这一事件为A1，II5是显性纯合子这一事件为A2，则： 设II5生4名正常男孩的事件为事件B，则II5为杂合子的条件下，生4名正常男孩 （III3至III6）的概率为： II5为显性纯合子的条件下，生4名正常男孩的概率为： 将以上各概率代入Bayes公式，可以得出在已生4名正常男孩条件下，II5为杂合子的概率： 由此得出III2为杂合子的概率： P（III2为杂合子） 以及III2的儿子（IV1）为受累者的概率： P（IV1为患者） 2.9 Huntington舞蹈病是一种由显性基因引起的遗传病，发病年龄较迟，图2－5为一Huntington舞蹈病的家系图。III1的外祖父I1患有该病，III1现已25岁，其母II2已43岁，均无发病迹象。已知43岁以前发病的占64%，25岁以前发病的占8%，问III1将发病的概率是多少？（提示：用Bayes定理先求出II2尚未发病但为杂合子的条件概率） 答：根据以上资料可以得出： II2为杂合子的概率 II2为正常纯合子的概率 II2为杂合子，但尚未发病的概率 = 0.36 II2为正常纯合子，但尚未发病的概率 图 2－5 因此，II2尚未发病但为杂合子的概率 III1为杂合子的概率 III1为正常纯合子的概率 III1为杂合子，但尚未发病的概率 III1为正常纯合子，但尚未发病的概率 因此，III1尚未发病，但为杂合子的概率 所以，III1为该病患者的概率为12%。 2.10 一实验动物养殖中心，将每30只动物装在一个笼子中，已知其中有6只动物体重不合格。购买者从每一笼子中随机抽出2只称重，若都合格则接受这批动物，否则拒绝。问： （1）检查第一只时就不合格的概率？ （2）第一只合格，第二只不合格的概率？ （3）接受这批动物的概率？ 答：（1）设A为第一只不合格的事件，则 （2）设B为第二只不合格的事件，则 （3）接受这批动物的概率 2.11 一名精神科医生听取6名研究对象对近期所做梦的叙述，得知其中有3名为忧郁症患者，3名是健康者，现从6名研究对象中选出3名，问： （1）一共有多少种配合？ （2）每一种配合的概率？ （3）选出3名忧郁症患者的概率？ （4）至少选出两名忧郁症患者的概率？ 答：（1） （2） （3） （4） 2.12 图2－6为包含两个平行亚系统的一个组合系统。每一个亚系统有两个连续控制单元，只要有一个亚系统可正常工作，则整个系统即可正常运行。每一单元失灵的概率为0.1，且各单元之间都是独立的。问： （1）全系统可正常运行的概率？ （2）只有一个亚系统失灵的概率？ 图 2－6 （3）系统不能正常运转的概率？ 答：（1）P（全系统可正常运行）= 0.94 + 0.93 × 0.1 × 4 + 0.92 × 0.12 × 2 = 0.963 9 （2）P（只有一个亚系统失灵） = 0.92 × 0.12 ×2 + 0.93 × 0.1 × 4 = 0.307 8 继续阅读