高考数学三轮复习必做的数列综合题
Doasx
高考数学数列综合题
21.数列,,的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有aSa,,成等差数列. n,N*aSnnnnnn
(?)求数列,,的通项公式; an
nxln,,,(?)设数列,,的前项和为 ，且，求证:对任意实数(是常数，,2.71828)bb,T，,x,1,eneennn2an
和任意正整数，总有 2; ,Tnn
n，1*，，a,c,(n,N),,,,(?) 正数数列c中，.求数列c中的最大项. nn，1nn
2*2Saa,，(?)解:由已知:对于，总有 ?成立 n,Nnnn
22Saa,，? (n ? 2)? nn,,11n,1
222a,a，a,a,a?--?得 nnnn,n,11
，，，，?a，a,a，aa,a nn,1nn,1nn,1
a,aa,a,1?均为正数，? (n ? 2) nn,1nn,1
,,?数列a是公差为1的等差数列 n
22Saa,，又n=1时，， 解得a=1 1111
*?a,n.() n,Nn
n1xlnb,(?)证明:?对任意实数，和任意正整数n，总有?. ,x,1,en22nan
111111T,，，？，,1，，，？，? n222，，1,22,3n,1n12n
111111,1，1,，,，？，,,2,,2 223n,1nn
2a,c,2,c,2(?)解:由已知 ， 211
3443a,c,3,c,3,a,c,4,c,4,2,322433 55a,c,5,c,5544
ccccc,,,,,... 易得 12234
Doasx
猜想 n?2 时，,,是递减数列. cn
1,x,lnxlnx1,lnxx,令 ，，，，fx,,则fx,,22xxx
,?当 ，，x,3时，lnx,1,则1,lnx,0，即fx,0.
?在内为单调递减函数. ，，，,3,，,fx
lnn，1，，n，1a,clnc,知由. nnn，1n，1
?n?2 时, ,,是递减数列.即,,是递减数列. lnccnn
3,,又cc, , ?数列c中的最大项为c,3. n122
f(0),12*n2(设f(x)=，定义f (x)= f,f(x),，a=(n?N). 1n+11nn f(0)，21，xn
(1) 求数列,a,的通项公式; n
24n，n*(2) 若，Q=(n?N)，试比较9T与 T,a，2a，3a，？，2nan2n2n1232n24n，4n，1Q的大小，并说明理由. n
22,11解:(1)?f(0)=2，a==，f(0)= f,f(0),=, 11n+11n1，f(0)42，2n
2,1f(0),11,f(0)f(0),1f1，(0)11n，1nnn?a==== -= -a. n+1n2f(0)，24，2f(0)f(0)，222n，1nn，2f1，(0)n
1111n,1?数列,a,是首项为,公比为-的等比数列，?a=(). ,nn4242(2)?T= a+2a+3a+…+(2n-1)a+2na， 2 n 1 2 3 2 n,1 2 n
111111?T= (-a)+(-)2a+(-)3a+…+(-)(2n-1)a+2na (,),,2 n1 2 32 n12 n222222
= a+2a+…+(2n,1)a,na. 2 32 n2 n
3两式相减，得T= a+a+a+…+a+na. 2 n12 32 n2 n2
Doasx
11，，2n1(),,,,4231111n11，，2n,12n2n,1?T=+n×(-)=-(-)+(-). 2n 124266242，12
3n，1111n112n2n,1T=-(-)+(-)=(1-). 2n 2n9926292
3n，1?9T=1-. 2n2n2
3n，1又Q=1-， n2(2n，1)
2 n2当n=1时，2= 4,(2n+1)=9,?9T,Q ; 2 nn
2 n2当n=2时，2=16,(2n+1)=25,?9T,Q; 2 nn
2nn2013n22当n?3时，， 2,[(1，1)],(C，C，C，？，C),(2n，1)nnnn
?9T,Q . 2 nn
x,0,
,3( 设不等式组所
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
示的平面区域为D，记D内的格点(格点即横坐标和纵坐标均为y,0nn,
,y,,nx，3n,
整数的点)的个数为f(n)(n?N*).
(1)求f(1)、f(2)的值及f(n)的表达式;
n (2)设b=2f(n)，S为{b}的前n项和，求S; nnnn
f(n)f(n，1)T, (3)记，若对于一切正整数n，总有T?m成立，求实数m的取值 nnn2
范围.
(1)f(1)=3
f(2)=6
当x=1时，y=2n，可取格点2n个;当x=2时,y=n，可取格点n个
?f(n)=3n
n (2)由题意知:b=3n?2 n
,123n1n S=3?2+6?2+9?2+…+3(n,1)?2+3n?2 n
23nn+1 ?2S=3?2+6?2+…+3(n,1)?2+3n?2n
123nn+1?,S=3?2+3?2+3?2+…3?2,3n?2 n
2nn+1 =3(2+2+…+2),3n?2
Doasx
n，12,2n，1 =3? ,3n21,2
n+1n+1 =3(2,2),3n
n+1?,S=(3,3n)2,6 n
n+1S=6+(3n,3)2 n
f(n)f(n，1)3n(3n，3) (3) T,,nnn22(33)(36)nn，，
n，1Tn，2n，12,,3(33)nn，Tn2nn2
n，2当时n,,1,1 2n
n，2当时n,,2,12n
n，2当时n,,3,12n
?T
T>…>T 1234n
27 故T的最大值是T=T= n23227 ?m?。 2
na,11na,0a,1{}b4(已知，且，数列{}a的前项和为S，它满足条件.数列中，ba,?. lga,,1nnnnnnSan
{}b(1)求数列T的前项和; nnn
*bb,(2)若对一切都有，求的取值范围. anN,nn，1
nna,11aa(1),解:(1) ，? ,,1S,nSaa,1n
1aa(1),n,1当时，. aSa,,,11a,1
nn,1aaaa(1)(1),,n*naSS,,aanN,,()当?2时，=，? nn,,annn,1aa,,11
nnnnbann,lgaa,aalglga此时??=?， n
Doasx
23n?……=……+ Tbb,，，blg(23aaaa，，，na).n12n
23n设uaaa,，，，23……+， nan
naa(1),23，1nnn，1?(1),,，，，auaaa……， ana,,,nana,1nn，1naaa(1),? u,,.n2aa,,1(1)
nn，1naaa(1),?? ……6分 Ta,lg[].,n2aa,,1(1)
nn，1bbnaanaa,,,，lg(1)lg(2)由可得 nn，1
na,a,1?当时，由，可得 lg0a,n，1
nn**a,,,,1(),1,nNa ?对一切都成立， nN,n，1n，1
a,1?此时的解为.
n01,,annaa,，,(1),,?当时，由 可得 lg0a,n，11nn**0,,a??对一切都成立， (),01,nNa,,,nN,n，1n，12
1?此时的解为0,,a. 2
由?，?可知
1*bb,a,10,,a对一切，都有的的取值范围是或. ……14分 anN,nn，12
44(1)(1)xx，，,5、已知函数(x,0)。 fx(),44(1)(1)xx，,,
x,R(?)若且，则称为的实不动点，求的实不动点; fxx(),xfx()fx()
,(II)在数列中，，()，求数列的通项公式。 {}aa,2afa,(){}an,Nn1nn，1n42xx，，61解:(?)由及得 fx(),fxx(),344xx，
42xx，，6112422,,,,,,,xxxx32101或(舍去)， x,,344xx，3,1x,1x,1x,,1所以或，即的实不动点为或; fx()
4444,,(1)(1)1(1)1aaaaa，，,，，，nnnnn，1a,,,,(II)由条件得，从而有 ,,n，1444(1)(1)1(1)1aaaaa，,,,,,nnnnn，1,,
Doasx
aa，，11nn，1ln4ln,， aa,,11nn，1
,,a，1a，11nlnln30,,由此及知:数列是首项为，公比为4的等比数列，故有 ln3ln,,a,1a,11n,,
n,14n,1aa，，1131，n,14,nn()。 ln4ln33,,,,,an,Nn,1n4aa,,1131,nn
16、已知函数，点，是函数图像上的两个点，且线段的，，f，，x,x,R，，fxPP，，，，Px,yPx,y22211112x4，2
1P中点的横坐标为( 2
P?求证:点的纵坐标是定值;
n,,,,,,?若数列的通项公式为，求数列的前m项的和; aa,f，，m,N,n,1,2,？,maS,,nmnnm,,
mm，1aa,m,N?若时，不等式恒成立，求实数的取值范围( aSSmm，1
1x，x,2，,1解:?由题可知:，所以， 122
xx1211444，，，,，,，,，，，，yyfxfx1212xxxx121242424242，，，，，，，， xxxx12124444441，，，，,,,x，xxxxx1212122，，，，424442444，，，，，
y，y112P 点的纵坐标是定值，问题得证( y,,P24
nm,n1,,,,f，f,m,n?由?可知:对任意自然数，恒成立( ,,,,mm2,,,,
m,m,m1221,,,,,,,,,,S,f，f，，f，f，f？ 由于，故可考虑利用倒写求和的方法(即由于:,,,,,,,,,,mmmmmm,,,,,,,,,,
m,m,m1221,,,,,,,,,,S,f，f，？，f，f，f,,,,,,,,,,mmmmmm,,,,,,,,,, 1221mm,m,,,,,,,,,,,？,f，f，f，，f，f,,,,,,,,,,mmmmm,,,,,,,,,,，，，，，，1m,12m,2m,11m,,,,,,,,,,,,,,2S,f，f，f，f，，f，f，2f？,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,mmmmmmmm,,,,,,,,,,,,,,，，，，，，所以， 所以，
11,，，m,1，2f(1),3m,1，，26
1，，S,3m,1 m12
11，，，，S,3m,1S,3m，2??， ? mm，11212
Doasx
mm，11aaa,,m, ?等价于 ? 12a,,0,,SS3m,13m，2,,mm，1
依题意，?式应对任意m,N恒成立(
1am,,0显然a,0，因为()，所以，需且只需对任意m,N恒成立(即:m,Na,03m,13m，2
3m，2a,对m,N恒成立( 3m,1
3m，53m，2,93m，2gm,，，记(m,N)(? ， g，，，，m，1,gm,,,,03m,1，，，，3m，23m,13m，23m,1
55，，?()的最大值为g1,，? ( a,m,N，，gm22
浙公网安备 33021202002483