【物理课件】周世勋量子力学教案6

【物理 课件 超市陈列培训课件免费下载搭石ppt课件免费下载公安保密教育课件下载病媒生物防治课件 可下载高中数学必修四课件打包下载 】周世勋量子力学 教案 中职数学基础模块教案 下载北师大版¥1.2次方程的根与系数的关系的教案关于坚持的教案初中数学教案下载电子教案下载 6 ?6.1 电子自旋的实验根据及自旋的特点 一( 实验事实 1( 斯特恩(stern),革拉赫(Gerlach)实验: 现象:K射出的处于S态的氢原子束通过狭缝BB和不均匀磁场，最后射到照相片PP上，实验结果是照片上出现两条分立线。 解释:氢原子具有磁矩， 设 沿Z方向 如 在空间可取任何方向， 应连续变化，照片上应是一连续带，但实验结果只有两条, 说明 是空间量子化的，只有两个取向 ，对S 态 , ,没轨道角动量，所以原子所具有的磁矩是电子固有磁矩。即自旋磁矩。 2( 碱原子光谱的双线结构 如钠原子光谱中一条很亮的黄线 ，如用分辨本领较高的光谱仪进行观测，发现它是由很靠近的两条谱线组成 3( 反常塞曼(Zeeman)效应 1912年，Passhen 和 Back发现反常Zeeman效应,在弱磁场中原子光谱线的复杂分裂(分裂成偶条数)。 二( 乌伦贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱(Goudsmit)的自旋假设 1( 每个电子具有自旋角动量S，它在空间任何方向上的投影只能取两个值 2( 每个电子具有自旋磁矩 ，它和自旋角动量S的关系是 1 为玻尔磁子 这个比值称为电子自旋的回转磁比率. 轨道运动的回转磁比率是 三(电子自旋的特点 乌伦贝克最初提出的电子自旋概念具有机械的性质，认为与地球绕太阳的运动相似，电子一方面绕原子核运动;一方面又有自转。但把电子的自转看成机械的自转是错误的。设想电子为均匀分布的电荷小球，若要它的磁矩达到一个玻尔磁子，则其表面旋转速度将超过光速，这是不正确的。电子自旋及相应的磁矩是电子本身的内禀属性。 特点: 1( 电子具有自旋角动量这一特点纯粹是量子特性，它不可能用经典力学来解释。它是电子的本身的内禀属性，标志了电子还有一个新自由度。 2( 电子自旋与其它力学量的根本区别为，一般力学量可表示为坐标和动量的函数，自旋角动量与电子坐标和动量无关，不能表示为 ，它是电子内部状态的表征，是一个新的自由度。 3( 电子自旋值是 ， 而不是 的整数倍。 4( ， 而 两者在差一倍。 自旋角动量也具有其它角动量的共性，即满足同样的对易关系 ?6.2 电子的自旋算符和自旋函数 一(自旋角动量算符 2 在空间任意方向上的投影只能取值 (由实验所得假设) 本征值都是 , 叫自旋量子数 引入一新算符 , 由 相加 定义反对易 3 重要关系式 二( 自旋函数与泡利矩阵 考虑到电子具有一新的自由度:自旋角动量，电子的波函数 是 (自旋向上 )， 位置在r处的几率密度. 是 (自旋向下 ), 位置在r处的几率密度. 自旋向上的几率, 自旋向下的几率. 归一化条件 自旋算符应是 矩阵 4 , , 是厄密算符 设 为实数, , 由 5 取 泡利矩阵 这是 在 表象中的表示，在 表象中，本征函数 , 当自旋和轨道运动之间无相互作用，即电子的自旋不影响轨道运动。 和 对 的依赖关系是一样的。 6 叫自旋函数， 自旋算符仅对波函数中的 有作用。 自旋与轨道运动无相互作用 自旋算符 为 矩阵， 自旋算符任一函数 也是 矩阵 算符 在态 中对自旋平均为: 对坐标的自旋同时平均 ?6.3 简单塞曼效应 氢原子或类氢原子处于均匀的磁场中，设外磁场足够大，(自旋与轨道相互作用忽略)由于自旋的存在而产生 的能级分裂现象。 7 取 沿 方向 体系定态薛定谔方程 或 无磁场时， 对氢 对碱金属 有外磁场时: 取 即 仍是两方程的解。 8 时 同样 时 原来不同而能量相同的简并现象被外磁场消除，能级与 有关。当原子处于 态， ，原来 的能级 分裂为两个，正如斯特恩,革拉赫实验中所观测到的。 由选择定则 简单塞曼效应:在强磁场作用下，原来没有外磁场时的一条谱线分裂为三条。 复杂塞曼效应:外磁场弱时，需考虑电子自能与轨道相互作用，能级分裂更复杂。 ?6.4 两个角动量的耦合 一( 角动量的对易关系 粒子既有轨道角动量又有自旋角动量，他们之间会存在耦合。 设 为体系的的两个角动量算符 9 相互独立. 分量都对易 体系的总角动量 [证明]: 即 同样有 10 还有 注意: 二( 无耦合表象和耦合表象 相互对易,它们有共同的本征矢组成正交归一的完全系， 以这些本征矢作基矢的表象称为无耦合表象。 另一方面, { } 也相互对易,他们有共同本征矢 以 为基矢的表象称为耦合表象， 两表象之间的关系 :克来布希,高登(Clebsch-Gordon)系数 11 三( 总角动量的取值范围 1( 的最大值 : 最大值为 最大值为 最大值为 又 2( 的最小值 对 , 给定. : 个取值 对 , 给定 : 个取值 , 固定有 个 是各种 的线性叠加 确定时， 的数目也是 ，对应不同的 对一个 ， 有 个值: 。 的数目可以表示为 12 利用等差级数求和公式 又 代入方程 ?6.5 光谱的精细结构 由于自旋与轨道角动量的耦合，使原来简并的能级分裂成几条差别很小的能级，这就产生了光谱线精细结构。 1( 不考虑自旋时，无外场 本征函数 ， 本征值 度简并 2( 考虑自旋的存在，但不考虑轨道角动量 与自旋角动量 耦合 13 相互对易，它们有共同的本征函数， 即考虑自旋后，电子的波函数由 四个量子数确定。 只与 有关， 有两个取值， 这时能级 是 度简并 引入总角动量算符: 相互对易，它们的共同本征函数 3( 考虑自旋和轨道运动之间的耦合 14 相互作用量: . 无共同本征函数，即 的本征函数，不再是 的本征函数，这时: 如何描述 由于存在耦合项 , 电子态不能用量子数 描写，或者设 现在不是好量子数，不是守恒量。 又: 即 15 有共同的本征函数 是守恒的好量子数， 的能量本征函数 怎么表示 将 看成微扰， 用简并情况下的微扰理论求 求出 为 的本征值 在耦合表象中是对角化的 上式 16 即 ，在耦合表象中是对角化的，对角元 即为能量一级修正 自旋轨道间的耦合使原来简并的能级分裂开 只与 有关， 度简并 考虑一级修正后 ，与 有关， 度简并 给定后， 即具有相同的量子数 的能级有两个，它们之间的差别很小。 ?6.6 全同粒子的特性 一( 全同粒子 质量，电子，自旋等固有性质完全的微观粒子为全同粒子。所以电子都是全同粒子，所以质子都是全同粒子。 在经典力学中，全同粒子是可以区分的，因为粒子在运动过程中，都有自己确定的位置和轨道，经典粒子有不可入性。 在量子力学中，和每个粒子相联系的总有一个波，波在传播中总会出现重叠，在重叠部分，无法区分哪是第一个粒子，哪是第二个粒子。 二( 全同性原理:量子力学的一个基本假设 两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。即全同粒子的不可区分性。 三( 全同粒子系统的特性 1( 全同粒子体系的哈密顿算符具有交换对称性。 17 设一由 个全同粒子组成的体系， 表示第 个粒子的坐标和自旋 。体系的哈密顿量为 则: 2( 全同粒子的波函数有确定的交换对称性 交换算符 表示将第 个粒子和第 个粒子相互交换 由薛定谔方程: 将交换算符 作用于薛定谔方程 即: 即若 是薛定谔方程的解，则 也是薛定谔方程解。 由全同性原理， 与 应描写同一状态，因而它们之间只相差一常数因子 18 , 是守恒量，本征值为 对称函数 反对称函数 描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，它们的对称性不随时间改变。 [ 证] 设 时刻体系波函数 是对称的，因为 对称 在 时刻也对称;由 , 在 时刻也对称,在下一时刻波函数为 ，也是对称函数。以此类推，在以后任何时刻波函数都是对称的。同样如果在某一时刻波函数是反对称的，以后任何时刻波函数都是反对称的。 3( 玻色子和费米子 实验证明，由电子，质子，中子这些自旋为 的粒子以及自旋为 的奇数倍的粒子组成的全同粒子体系的波函数是反对称的，这类粒子服从费米(Fermi) ,狄拉克 (Dirac) 统计，称为费米子，由光子(自旋为 ) 以及其它自旋为零，或 整数倍的粒子所组成的全同粒子体系的波函数是对称的，这类粒子服从玻色(Bose),爱因斯坦统计，称为玻色子。 ?6.7 全同粒子体系的波函数 一( 两个全同粒子体系的波函数 无相互作用时 与 形式是相同的 设 分别表示 的本征值和本征函数 19 设 ， 为 的本征函数 即 同样 也是能量本征值为 的本征函数，这叫交换简并。 是不是全同粒子的波函数, 如 对称函数 如 不对称 为此我们构成对称的或反对称的函数，它应是 的组合 对称函数: 反对称函数: 都是 的本征函数，本征值为 如 是归一化的波函数 即 20 同样 因此归一化的对称，反对称的波函数为 二( N个全同粒子的体系 粒子间无相互作用， 设本征值为 的 的本征函数为 , 则 设 21 无相互作用的全同粒子所组成的体系的哈密顿算符，其本征函数等于各单粒子哈密顿算符的本征函数之积，本征能量等于各粒子本征能量之和。这样，解多粒子体系薛定谔方程的问题，就归结为解单粒子薛定谔方程: 对玻色子组成的全同粒子体系，体系波函数是对称的 P表示N 个粒子在波函数中的某一种排列 是处于 态的粒子数， 对费米子组成的全同粒子体系，体系的波函数是反对称的 三( 泡利不相容原理 对费米子组成的全同粒子体系，如有两个单粒子态相同，比如第i个粒子和第 j个粒子处于同一态。 又 应是反对称函数 22 必有 从行列式看，两个单粒子态相同，就是行列式中两行相同，行列式为零。这表示不能有两个或两个以上费米子处于同一状态，这就是泡利不相容原理。 注意:泡利不相容原理不是什么新的原理。它实质上是全同性原理的体现，是全同费米子体系具有交换反对称性的必然推论，全同性原理比泡利原理广泛得多，它不仅适用费米子，而且适用于玻色子。 四( 自旋的影响 考虑到粒子的自旋，体系波函数可写成坐标与自旋函数之积， 对费米子， 例:设有三个全同粒子，可以用指标 表示三个不同单粒子态，写出全同粒子对应的对称态波函数和反对称态函数。 [解] ? ? ? 反对称 23 ?6.8 两个电子的自旋函数 如无自旋时相互作用， 对称函数 不能构成其它独立的对称或反对称自旋函数， 定义总的自旋角动量 下面求 的本征值 24 同理 同样 两个粒子的自旋平行，分量沿正Z方向。 两个粒子的自旋平行，分量沿反Z方向。 两个粒子的自旋Z分量相互反平行, 垂直Z轴分量平行。 两个粒子的自旋反平行，总自旋为零。 第六章 小结 25 一( 自旋 1(自旋的引入 电子的自旋是在实验事实的基础上以假设方式提出的。 实验事实: ? 原子的精细结构 ? 塞曼效应 ? 斯特恩,盖拉赫实验 假设:? (任意方向)? 2(自旋特性 ? 内禀属性 ? 量子特性，不能表示为 ?满足角动量的一般对易关系， 3(自旋算符与泡利算符 自旋算符的对易关系 ， 泡利算符对易关系 4(电子自旋态矢量与泡利矩阵 共同本征函数, 在表象中(泡利表象) 可表示为 矩阵: 26 在泡利表象，任一自旋态为 既有自旋运动又有电子空间运动， 自旋与轨道无相互作用 5(两个电子体系的自旋函数 , , , 二(两个角动量的耦合 两独立角动量: 总角动量: 总角动量的基本关系: 即它们可构成共同本征矢 27 以为基矢的表象叫耦合表象 也相互对易,构成完备基 以为基矢的表象叫无耦合表象 二种表象的关系 --克来布希,高登系数 三( 碱金属原子光谱的精细结构，塞曼效应 碱金属原子光谱的精细结构:由于自旋与轨道角动量的存在，而产生耦合，在无外场的情况下，原来一个能级分裂成一组不同j值的能级。 不考虑自旋与动量耦合 度 度 (考虑自旋) 简单塞曼效应:在强磁场中(不考虑自旋与轨道角动量耦合)，由于自旋的存在而产生的能级分裂现象。若在弱磁场中，需考虑自旋与角动量的耦合，分裂比较复杂,称为复杂塞曼效应。 28 四( 全同粒子 1( 什么是全同粒子,(质量，电荷，自旋等)相同的微观粒子 两大类: 费米子 ，玻色子 2( 全同性原理:两个粒子的相互代换不引起物理状态的改变全,同粒子在重叠区的不可分性。 3( 由全同性原理推出的一些基本结果: ?全同粒子体系的哈密顿量对任意两个粒子的互换不变。 ?全同粒子体系的物理状态对于两个粒子互换不变，即:全同粒子体系的状态波函数不因二粒子互换而变。 , 全同粒子体系的状态波函数只能是对称波函数或反对称波函数，费米子组成的全同粒子体系由反对称波函数描述，玻色子组成的体系由对称波函数描述。 全同性原理是一个假设，但它得出的结果与实验相符，从而作为量子力学的一条基本原理而保留。它说明，全同粒子的状态波函数不仅要满足薛定谔方程，而且要满足一定对称性。 4( 全同粒子体系状态波函数的构成 对称波函数: 反对称波函数: 5( 泡利不相容原理 不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态，它是全同性原理的自然推论。 29 30