北师大数学初一上 绝对值问题 专题分类整理
含绝对值的一次方程
1(含绝对值的一次方程的解法
axbca，,,(0) (1)形如型的绝对值方程的解法:
c,0 ?当时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解;
baxb，,0c,0axb，,0x,, ?当时，原方程变为，即，解得; a
cb,,,cbc,0axbc，,axbc，,,x,x, ?当时，原方程变为或，解得或( aa
axbcxdac，,，,(0) (2)形如型的绝对值方程的解法:
xcxd，,0 ?根据绝对值的非负性可知，求出的取值范围;
axbcxd，,,，()axbcxd，,， ?根据绝对值的定义将原方程化为两个方程和;
axbcxd，,,，()axbcxd，,， ?分别解方程和;
cxd，,0 ?将求得的解代入检验，舍去不合条件的解(
axbcxdac，,，,(0) (3)形如型的绝对值方程的解法:
axbcxd，,，axbcxd，,,，() ?根据绝对值的定义将原方程化为两个方程或;
axbcxd，,，axbcxd，,,，() ?分别解方程和(
xaxbcab,，,,,() (4)形如型的绝对值方程的解法:
?根据绝对值的几何意义可知; xaxbab,，,,,
axb,, ?当时，此时方程无解;当时，此时方程的解为;当cab,,cab,,
时，分两 cab,,
abc，,xb, 种情况:?当时，原方程的解为;?当时，原方程的解为x,xa,2
abc，，( x,2
axbcxdexfac，,，,，,(0) (5)形如型的绝对值方程的解法:
?xx,找绝对值零点:令，得，令得xx,; axb，,0cxd，,012
xx,xx,xxx,, ?零点分段讨论:不妨设，将数轴分为三个区段，即?;?;12112?; xx,2
?分段求解方程:在每一个区段内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段内的解(
axbcxdexfa，，，,，,(0) (6)形如型的绝对值方程的解法:
解法一:由内而外去绝对值符号:
按照零点分段讨论的方式，由内而外逐层去掉绝对值符号，解方程并检验，舍去不符合条件的解(
解法二:由外而内去绝对值符号:
exf，,0 ?根据绝对值的非负性可知，求出的取值范围; x
?根据绝对值的定义将原方程化为两个绝对值方程axbexfcxd，,，,，()和
; axbexfcxd，,,，,，()()
?解?中的两个绝对值方程(
直接求解
1、方程?5x+6?=6x-5的解是_______.(2000年重庆市竞赛题)
思路点拨 设法去掉绝对值符号,将原方程化为一般的一元一次方程来求解. 解:x=11
提示:原方程5x+6=?(6x-5)或从5x+6?0、5x+6<0讨论.
2、解方程:
?x-?3x+1??=4; (天津市竞赛题)
思路点拨 从内向外,根据绝对值定义性质简化方程.
53 解:x=-或x= 提示:原方程化为x-?3x+1=4或x-?3x+1?=-4 42
3、解下列方程:
(1)?x+3?-?x-1?=x+1; (北京市“迎春杯”竞赛题)
(2)?x-1?+?x-5?=4. (“祖冲之杯”邀请赛试题)
思路点拨 解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论,采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论;有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解.
解:(1)提示:当x<-3时,原方程化为x+3+(x-1)=x+1,得x=-5;
当-3?x<1时,原方程化为x+3+x-1=x+1,得x=-1;
当x?1时,原方程化为x+3-(x-1)=x+1,得x=3.
综上知原方程的解为x=-5,-1,3.
(2)提示:方程的几何意义是,数轴上
表
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示数x的点到表示数1及5的距离和等于4,画出数轴易得满足条件的数为1?x?5,此即为原方程的解.
||x4、方程3(?x?-1)= +1的解是_______;方程?3x-1?=?2x+1?的解是____. 5
104、?、2或0 7
5、已知?3990x+1995?=1995,那么x=______.
5、0或-1
996、已知?x?=x+2,那么19x+3x+27的值为________. 6、.5
7、若?2000x+2000?=20×2000,则x等于( ).
A.20或-21 B.-20或21
C.-19或21 D.19或-21 (2001年重庆市竞赛题) 7、D
8、解下列方程:
(1)??3x-5?+4?=8; (2)?4x-3?-2=3x+4;
(3)?x-?2x+1??=3; (4)?2x-1?+?x-2?=?x+1?.
18、(1)x=3或x=; 3
3(2)x=9或x=-; 7
4(3)x=-或x=2; 3
11(4)提示:分x<-1、-1?x< 、 •?x?2、x?2四种情况分别去掉绝对值符号解方程,22
1当考虑到?x?2时,•原方程化为(2x-1)-(x-2)=x+1,即1=1,这是一个恒等式,说明凡2
1是满足?x?2的x值都是方程的解. 2
9、方程的解是 ( 5x，6,6x,5
(重庆市竞赛题)
思路点拨 没法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解(
讨论解的个数情况
1、适合?2a+7?+?2a-1?=8的整数a的值的个数有( ).
A.5 B.4 C.3 D.2 (第11届“希望杯”邀请赛试题)
思路点拨 用分类讨论法解过程繁琐,仔细观察数据特征,借助数轴也许能找到简捷的解题途径.
解:选B
提示:由已知即在数轴上表示2a的点到-7与+1的距离和等于8,•所以2a表示-7到1之间的偶数.
cx，d,0 注:形如的绝对值方程可变形为且， ax，b,,(cx，d)ax，b,cx，d
才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验(
2、方程?x-5?+x-5=0的解的个数为( ).
A.不确定 B.无数个 C.2个 D.3个 (“祖冲之杯”邀请赛试题) 2、B
讨论解是否存在的情况
1、已知关于x的方程?x-2?+?x-3?=a,研究a存在的条件,对这个方程的解进行讨论.
思路点拨 方程解的情况取决于a的情况,a与方程中常数2、3有依存关系,这种关系决定了方程解的情况,因此,探求这种关系是解本例的关键,•运用分类讨论法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具,读者可从两个思路去解.
解:提示:数轴上表示数x的点到数轴上表示数2,3的点的距离和的最小值为1,由此可得方程解的情况是:
5,a (1)当a>1时,原方程解为x=; 2
(2)当a=1时,原方程解为2?x?3;
(3)当a<1时,原方程无解.
2、使方程3?x+2?+2=0成立的未知数x的值是( ).
2 A.-2 B.0 C. D.不存在 3
2、D
13、已知关于x的方程mx+2=2(m-x)的解满足?x-|-1=0,则m的值是( ). 2
22 A.10或 B.10或- 55
22 C.-10或 D.-10或- (2000年山东省竞赛题) 55
3、A
4、讨论方程??x+3?-2?=k的解的情况.
4、当k<0时,原方程无解;
当k=0时,原方程有两解:x=-1或x=-5;
当0
2时,原方程有两解:x+3=?2(•2+k).
5、当a满足什么条件时,关于x的方程?x-2?-?x-5?=a有一解?有无数多个解?无解? 5、提示:由绝对值几何意义知:
当-33或a<-3时,方程无解.
6、已知关于x的方程，研究a存在的条件，对这个方程的解进行讨论( x,2，x,3,a
思路点拨 方程解的情况取决于a的情况，a与方程中常数2、3有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键(运用分类讨它法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解(
注 本例给出了条件，但没有明确的结论，这是一种探索性数学问题，它给我们留有自由思考的余地和充分展示思维的广阔空间，我们应从问题的
要求
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出发，进行分析、收集和挖掘题目提供的各种信息，进行全面研究(
创新拓展题
1、已知?x+2?+?1-x?=9-?y-5?-?1+y?,求x+y的最大值与最小值.
(第15届江苏省竞赛题) 1、提示:已知等式可化为:?x+2?+?x-1?+?y+1?+?y-5?=9,• 由绝对值的几何意义知,当-2?x?1且-1?y?5时,上式成立, 故当x=-2,y=-1时,x+y有最小值为-3;
当x=1,y=5时,x+y的最大值为6.
2、(1)数轴上两点表示的有理数是a、b,求这两点之间的距离;
(2)是否存在有理数x,使?x+1?+?x-3?=x?
(3)是否存在整数x,使?x-4?+?x-3?+?x+3?+?x+4?=14?如果存在,•求出所有的整数x;如果不存在,说明理由.
2、(1)?a-b?;(2)不存在;(3)x=?3,?2,?1,0.
浙公网安备 33021202002483