[精华]高考数学-平面几何常识点与例题讲解-题型、方法技能 师长教师用

[精华]高考数学-平面几何常识点与例题讲解-题型、方法技能师长教师用立体几何知识点and例题讲解一、知识点<一>常用结论1(证明直线与直线的平行的思考途径:(1)转化为判定共面二直线无交点;(2)转化为二直线同与第三条直线平行;(3)转化为线面平行;(4)转化为线面垂直;(5)转化为面面平行.2(证明直线与平面的平行的思考途径:(1)转化为直线与平面无公共点;(2)转化为线线平行;(3)转化为面面平行.3(证明平面与平面平行的思考途径:(1)转化为判定二平面无公共点;(2)转化为线面平行;(3)转化为线面垂直.4(证明直线与直线的垂直的思考途径:(1)转化为相交垂直;(2)转化为线面垂直;(3)转化为线与另一线的射影垂直;(4)转化为线与形成射影的斜线垂直.5(证明直线与平面垂直的思考途径:(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直;(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直;(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行;(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面;(5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.6(证明平面与平面的垂直的思考途径:(1)转化为判断二面角是直二面角;(2)转化为线面垂直.ababab，，1122337.夹角公式:设a,，b,，则cos〈a，b〉=.(,,)aaa(,,)bbb123123222222aaabbb，，，，123123rrrr||ab,||xxyyzz，，121212cos|cos,|,ab,8(异面直线所成角:rr,=222222||||ab,xyzxyz，，,，，111222rrooab,ab,,(其中(090,,,)为异面直线所成角，分别 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示异面直线的方向向量)ab,,,,,,,,,ABm,m与平面所成角:(为平面的法向量).9.直线,,,,,,,,arcsin,AB||||ABm10、空间四点A、B、C、P共面，且x+y+z=1,OP,xOA，yOB，zOC11.二面角的平面角,,,,l,,,,,,,,,mnmn,,mn,,,,,,或(，为平面，的法向量).,,,arccos,arccos,,||||mn||||mn,12.三余弦定理:设AC是α内的任一条直线，且BC?AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为，AB与AC所1,,成的角为，AO与AC所成的角为(则coscoscos,,,,.21213.空间两点间的距离公式若A(,,)xyz，B(,,)xyz，则111222,,,,,,,,,,,,222,,，,，,()()()xxyyzz||ABABAB,,d=.212121AB,,,,,,,,,||CDn,CD、,nll,ll,14.异面直线间的距离:(是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，d,1212||ndll,为间的距离).12,,,,,,,,||ABn,A,,,n,,,15.点到平面的距离:(为平面的法向量，是经过面的一条斜线，).d,BAB||n,,,,,,,,,,,,222216.三个向量和的平方公式:()222abcabcabbcca，，,，，，,，,，,,,,,,,,,,,,,,,,222,，，，,，,，,abcababbcbccaca2||||cos,2||||cos,2||||cos,llll、、,,,、、17.长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为,则有1231232222222222llll,，，,，，,coscoscos1,,,,，，,sinsinsin2,,,.123123123(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例).'S'S,SS,18.面积射影定理.(平面多边形及其射影的面积分别是、，它们所在平面所成锐二面角的).cos,19.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3)球与正四面体的组合体:棱长为的正四面体的内切球的半径a66为,外接球的半径为.aa12420.求点到面的距离的常规方法是什么,(直接法、体积法)〈二〉温馨提示:1.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及义,?异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次.?直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是(?反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是(〈三〉解题思路:1、平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:P,线?线线?面面?面,,,,,,Oa判定性质线面垂直:,,,,,,线?线线?面面?面,,,,,,,,线面平行的判定:abacbcbcOa?，?，，，?,,,,,:线?线线?面面?面,,,,,,abbaa?，面，?面,,,,,,aaObαbc,线面平行的性质:面面垂直:,,,,,,?面，面，?,,,:babaa?面，面?,,,,,,三垂线定理(及逆定理):面?面，，，??,,,,,,:,,,llaaaαaPAAOPO?面，为在内射影，面，则,,,a,laOAaPOaPOaAO??;??,,βabab?面，?面?,,,oo面?，面??,,,,aa,()二面角:二面角的平面角，30180,,,,,,,,lab,2、三类角的定义及求法1)异面直线所成的角θ，0?,θ?90?((三垂线定理法:A?α作或证AB?β于B，作BO?棱于O，连AO，则AO?棱l，??AOB为所求。)(2)直线与平面所成的角θ，0??θ?90?三类角的求法:?找出或作出有关的角。?证明其符合定义，并指出所求作的角。o,,,,时，?或0bb,?计算大小(解直角三角形，或用余弦定理(四)(棱柱和棱锥(1).棱柱.S,Cha.?直棱柱侧面积:(为底面周长，是高)该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.ChS,ClC?斜棱住侧面积:(是斜棱柱直截面周长，是斜棱柱的侧棱长)该公式是利用斜棱柱的侧面展l11开图为平行四边形得出的.b.{四棱柱}{平行六面体}{直平行六面体}{长方体}{正四棱柱}{正方体}.,,,,,:{直四棱柱}{平行六面体}={直平行六面体}.侧面与底面是侧棱垂直底面是底面是正方体正四棱柱四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正方形底面矩形底面边长相等平行四边形c.棱柱具有的性质:?棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等;直棱柱的各个侧面都是矩形;正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.?棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.?过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注:?棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱.(×)(直棱柱不能保证底面是矩形,可如图)?(直棱柱定义)棱柱有一条侧棱和底面垂直.d.平行六面体:定理一:平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分.[注]:四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二:长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.222推论一:长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为,,,,,，则.cos,，cos,，cos,,1222,,,,,推论二:长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为，则.cos,，cos,，cos,,2[注]:?有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.(×)(斜四棱柱的两个平行的平面可以为矩形)?各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.(×)(应是各侧面都是正方形的直棱柱才行)?对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.(×)(只能推出对角线相等，推不出底面为矩形)?棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直.(两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件)(2).棱锥:棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.[注]:?一个三棱锥四个面可以都为直角三角形.V,Sh,3V?一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥;所以.棱柱棱柱a.?正棱锥定义:底面是正多边形;顶点在底面的射影为底面正多边形的中心.[注]:i.正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.(不是等边三角形)ii.正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正三角形，侧棱与底棱不一定相等iii.正棱锥定义的推论:若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形(即侧棱相等);底面为正多边形.1''?正棱锥的侧面积:(底面周长为，斜高为)hS,ChC2S底?棱锥的侧面积与底面积的射影公式:(侧面与底面成的二面角为),S,侧cos,calcos,,a,b附:以知?，，为二面角.c,a,l,blbS11底S,a,lS,l,bcos,,a,b则?，?，????得.S,,12侧22cos,注:S为任意多边形的面积(可分别求多个三角形面积和的方法).b.棱锥具有的性质:?正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等(它叫做正棱锥的斜高).?正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.c.特殊棱锥的顶点在底面的射影位置:?棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.?棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.?棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.?棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.?三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.?三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.?每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径;?每个四面体都有内切球，球心是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.I[注]:i.各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.(×)(各个侧面的等腰三角形不知是否全等)DAbFii.若一个三棱锥，两条相对棱互相垂直，则第三组相对棱必然垂直.EacAAB,a,AD,c,AC,b简证:AB?CD，AC?BD,BC?AD.令BCCO'HGDB，，，，a,c,b,0,b,a,c,0得，已知BC,AC,AB,b,a,AD,c,BC,AD,bc,ac,ac,bc,0则.BC,AD,0iii.空间四边形OABC且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.iv.若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.,,,oo,AC,BO,AC,AC,简证:取AC中点，则平面OOB,AC,BO,，FGH,90?易知EFGH为平行四O'边形EFGH为长方形.若对角线等，则,为正方形.EF,FG,EFGHOr(3).球:a.球的截面是一个圆面.423?球的表面积公式:S,4,R.?球的体积公式:.VR,,3b.纬度、经度:?纬度:地球上一点的纬度是指经过点的球半径与赤道面所成的角的度数.PPA,B?经度:地球上两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是点的经度.AB2hV,,rh附:?圆柱体积:(为半径，为高)r12h?圆锥体积:(为半径，为高)rV,,rh31h(为底面积，为高)?锥体体积:SV,Sh333622S,aS,ah,a(1).?内切球:当四面体为正四面体时，设边长为a，，，，得侧底.a,a,a,R，,a,R,R,a/3,a,3,a43434434411O注:球内切于四面体:。V,,S,R,3，S,R,S,hB,ACD侧底底R33?外接球:球外接于正四面体，可如图建立关系式.二、题型与方法【考点透视】不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成。求解空间距离和角的方法有两种:一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。【例题解析】考点1点到平面的距离求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用.例1如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点(2DCCABCABC,1111(?)求证:平面;AAB?ABDA111CC1D(?)求二面角的大小;AADB,,1(?)求点到平面的距离(CABD1考查目的:本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力(考点2异面直线的距离此类题目主要考查异面直线的距离的概念及其求法，考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离.SCS,ABCE、D42例2已知三棱锥，底面是边长为的正三角形，棱的长为2，且垂直于底面.分别为BC、AB的中点，求CD与SE间的距离.思路启迪:由于异面直线CD与SE的公垂线不易寻找，所以设法将所求异面直线的距离，转化成求直线与平面的距离，再进一步转化成求点到平面的距离.考点3直线到平面的距离此类题目再加上平行平面间的距离，主要考查点面、线面、面面距离间的转化.ACAAGBD例3(如图，在棱长为2的正方体中，G是的中点，求BD到平面的距离.1111思路启迪:把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解.D1C1O1A1B1HGDCOAB考点4异面直线所成的角此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形来求角.异面直线所成的角是高考考查的重点.πAO例4、如图，在中，，斜边(可以通过以直线为轴旋转得到，Rt?AOBRt?AOBRt?AOCAB,4，,OAB6BAOC,,且二面角的直二面角(是的中点(DABACOD,AOB(错误～未找到引用源。)求证:平面平面;DAOCD(错误～未找到引用源。)求异面直线与所成角的大小(E思路启迪:(错误～未找到引用源。)的关键是通过平移把异面直线转化到一个三角BOC形内.(考点5直线和平面所成的角此类题主要考查直线与平面所成的角的作法、证明以及计算.线面角在空间角中占有重要地位，是高考的常考内容.,例5.四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面(已知，，SABCD,ABCDSBC,ABCD?ABC,45AB,2，(SASB,,3BC,22S(?)证明;SABC,CB(?)求直线与平面所成角的大小(SDSABDA考查目的:本小题主要考查直线与直线,直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力(考点6二面角此类题主要是如何确定二面角的平面角，并将二面角的平面角转化为线线角放到一个合适的三角形中进行求解.二面角是高考的热点，应重视.,CAB,,CACB,，,BAP45例6(如图，已知直二面角，，，，，，直线和,,,,PQAPQ,C,,,30平面所成的角为(,C,APQB,(I)证明;BCPQ?BACP,,(II)求二面角的大小(考点7利用空间向量求空间距离和角众所周知，利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定.当掌握了用向量的方法解决立体几何问题这套强有力的工具时，不仅会降低题目的难度，而且使得作题具有很强的操作性.3AACCABCDABCD,AEFC,,1例7(如图，已知是棱长为的正方体，点在上，点在上，且(EF1111111(1)求证:四点共面;EBFD，，，12GBCGMBF?(2)若点在上，，点在上，，垂足为，求证:平面;BG,BBBCCBMHEM?1113,tan,(3)用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小，求(EBFDBCCB111命题意图:本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力(D1A1B1C1NFEMADHCBG考点8.简单多面体的侧面积及体积和球的计算棱柱侧面积转化成求矩形或平行四边形面积，棱柱侧面积转化成求三角形的面积.直棱柱体积V等于底面积与高的乘积.1棱锥体积V等于Sh其中S是底面积，h是棱锥的高.3典型例题2例8.已知圆O是半径为R的球O的一个小圆，且圆O的面积与球O的表面积的比值为，则线段OO与1119R的比值为.命题目的:?球截面的性质;?球表面积公式.r过程指引:依面积之比可求得，再在Rt?OOA中即得1RORO1rA<二>选择题辨析[注]:?两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.(×)(可能两条直线平行，也可能是点和直线等)?直线在平面外，指的位置关系:平行或相交,,,?若直线a、b异面，a平行于平面，b与的关系是相交、平行、在平面内.?两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.?在平面内射影是直线的图形一定是直线.(×)(射影不一定只有直线，也可以是其他图形)?在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.(×)(并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段)a,ba,b?是夹在两平行平面间的线段，若，则的位置关系为相交或平行或异面.a,b[注]:?直线与平面内一条直线平行，则?.(×)(平面外一条直线)a,a,?直线与平面内一条直线相交，则与平面相交.(×)(平面外一条直线)a,a,?若直线与平面平行，则内必存在无数条直线与平行.(?)(不是任意一条直线，可利用平行的传递aa,,性证之)?两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面.(×)(可能在此平面内)?平行于同一直线的两个平面平行.(×)(两个平面可能相交)?平行于同一个平面的两直线平行.(×)(两直线可能相交或者异面)?直线与平面、所成角相等，则?.(×)(、可能相交),,,,,,l[注]:?垂直于同一平面的两个平面平行.(×)(可能相交，垂直于同一条直线的两个平面平行)?垂直于同一直线的两个平面平行.(?)(一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面)?垂直于同一平面的两条直线平行.(?)[注]:垂线在平面的射影为一个点.[一条直线在平面内的射影是一条直线.(×)]?射影定理推论:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上[注]:?有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.(×)(斜四面体的两个平行的平面可以为矩形)?各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.(×)(应是各侧面都是正方形的直棱柱才行)?对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.(×)(只能推出对角线相等，推不出底面为矩形)?棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直.(两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件)[注]:?一个棱锥可以四各面都为直角三角形.V,Sh,3V?一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥;所以棱柱棱柱[注]:i.正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.(不是等边三角形)ii.正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正?侧棱与底棱不一定相等iii.正棱锥定义的推论:若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形(即侧棱相等);底面为正多边形.[注]:i.各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.(×)(各个侧面的等腰三角形不知是否A全等)baii.若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直.cBCDAB,a,AD,c,AC,b,简证:AB?CD，AC?BDBC?AD.令DFE，，，，a,c,b,0,b,a,c,0得，已知BC,AC,AB,b,a,AD,c,BC,AD,bc,acACO'HG,ac,bc,0则.BC,AD,0Biii.空间四边形OABC且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.iv.若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.,,,oo,AC,BO,AC,AC,OOB,AC,BO,，FGH,简证:取AC中点，则平面90?易知EFGH为平行四O',边形EFGH为长方形.若对角线等，则EF,FG,EFGH为正方形.注:?若与共线，与共线，则与共线.(×)[当时，不成立]abbcacb,0?向量共面即它们所在直线共面.(×)[可能异面]a,b,c?若?，则存在小任一实数，使.(×)[与不成立]aba,,bb,0,?若为非零向量，则.(?)[这里用到之积仍为向量]0,a,0a,b(b,0)