初中物理
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目：在坐标
表
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象中处理一维线性谐振子问题
作者单位：响水滩乡中心学校
作者姓名： 宁 国 强
2012年9月28日
在坐标表象中处理一维线性谐振子问题
响水滩中心学校 宁国强
摘 要：本文阐述了在坐标表象中处理一维线性谐振子问题的
方法
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和思路，阐述了一般表象的概念。
关键词：一维线性谐振子；坐标表象；
一、 能量本征值、本征
函数
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的求解
取自然平衡位置为坐标原点,并选原点为势能零点,则一维线性谐振子的势能为
（1）
其中
是谐振子的质量，
是经典谐振子的自然频率。一维谐振子的哈密顿函数为
（2）
体系的能量本征方程（亦即不含时Schr?dinger方程）为
（3）
严格的谐振子势是一个无限深势阱（如图1所示），粒子只存在束缚态，即起波函数应满足以下条件：
（4）
将方程（3）无量纲化，为此，令
，
，
=
（5）
（3）式可改写为
（6）
这是一个变系数二阶常微分方程。为了求解它，我们先看
在
时的渐进行为。当
很大时,
与
相比可以略去，因而在
时，方程(6)可近似表示为
（7）
时，它的渐近解为
。因为波函数的
标准
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条件要求当
时
应为有限，所以
不满足边界条件(4)式，应弃之。波函数指数上只能取负号，即
。方程(6)在
为有限处的
根据以上讨论，可令方程(6)在
为有限处的解有如下形式：
（8）
式中A为归一化系数，（8）代入(6)式，得
（9）
用级数解法，即把H展开成
的幂级数来求这个方程的解。这个级数必须只含有有限项，才能在
时使
为有限，而级数只含有限项的条件是
为奇数：
，
。代入(5)中的第三式，可得一维线性谐振子的能级为
，
（10）
因此，线性谐振子的能量只取分立值(如图2所示)，两相邻能级间的间隔为
，这与普朗克关于能量是量子化的假设相符合。
当
时，方程（6）的级数解退化为下述厄密多项式：
（11）
可以证明，厄密多项式满足正交性公式：
（12）
归一化的谐振子能量本征函数为
，
（13）
归一化常数
（14）
线性谐振子的能量本征函数满足以下正交归一关系：
（15）
二、 能量本征态下力学量平均值的计算
利用厄密特多项式的递推公式及（13）（14）式可以导出下列非常有用的公式：
（16）
（17）
（18）
（19）
利用（16）之（19）及
的正交归一关系（15）式，可方便地计算出在
态下以下各力学量的平均值：
（20）
（21）
（22）
（23）
在上述结果基础上，容易求出
态下谐振子的平均势能和平均动能为
（24）
（25）
浙公网安备 33021202002483