排列组合典型题型

排列组合典型 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 型 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题;其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决 简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) m完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方n1 m法，在第2类办法中有种不同的方法，„，在第类办n2 m法中有种不同的方法，那么完成这件事共有: n Nmmm,，，， 12n 种不同的方法( 2.分步计数原理(乘法原理) m完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方n1 mm法，做第2步有种不同的方法，„，做第步有种不同n2n的方法，那么完成这件事共有: Nmmm,，，， 12n 种不同的方法( 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一 1 个阶段，不能完成整个事件( 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是 分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 1C 先排末位共有 3 1311C 然后排首位共有 CAC4443 3A 最后排其它位置共有 4 113CCA,288 由分步计数原理得 434 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需 先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位 置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花 不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不 同的种法, 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同 时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列， 2 同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共 522AAA,480有种不同的排法 522 丙丁甲乙 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并 为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列. 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈 节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种, 5A种，第解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有5 二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾 4A两个空位共有种不同的方法,由分步计数原理,节目的6 54AA不同顺序共有 种 56 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两 端 练习题:某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开 演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原 节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数 为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排 法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把 这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用 总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则 73AA/共有不同排法种数是: 73 3 (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共 4A有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种7 4A坐法，则共有种方法。 7 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? (插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4 四人依次插入共有 方法 定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插 空模型处理 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从 左至右身高逐渐增加，共有多少排法, 5C 10 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种 分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推, 6由分步计数原理共有种不同的排法 7 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素 n的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为种 m 练习题: 1( 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演 前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单 中，那么不同插法的种数为 42 2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层 8下电梯,下电梯的方法 7 六.环排问题线排策略 例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法? 解:围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾 4 4A之分，所以固定一人并从此位置把圆形展成直线其余4 7人共有(8-1)～种排法即～ 7 C DB EA CABDEAFGH FHG 一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆 1m 形排列共有 Ann 练习题:6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120 七.多排问题直排策略 例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子 2A排成一排.个特殊元素有种,再排后4个位置上的特4 1A殊元素丙有种,其余的5人在5个位置上任意排列4 5215AAAA有种,则共有种 5445 后 排前 排 一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研 究. 练习题:有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现 安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并 且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346 八.排列组合混合问题先选后排策略 例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法. 5 2C解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有种方法.5 再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒 4A内有种方法，根据分步计数原理装球的方法共有4 24CA 54 解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗? 练习题:一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选 4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正 副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种 九.小集团问题先整体后局部策略 例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两 个偶数夹1,,在两个奇数之间,这样的五位数有多少 个, 2A解:把,,,,,,,当作一个小集团与,排队共有种排2 22AA法，再排小集团内部共有种排法，由分步计数原22 222AAA理共有种排法. 222 15243 小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。 练习题: ,.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,,幅油画,, 幅国画, 排成一行陈列,要求同一 品种的必须连 在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种 254AAA数为 254 2. 5男生和,女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的 255AAA排法有种 255 十.元素相同问题隔板策略 例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 , 6 解:因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名 额之间形成,个空隙。在,个空档中选,个位置插 个隔板，可把名额分成,份，对应地分给,个班级， 6C每一种插板方法对应一种分法共有种分法。 9 一二三四五六七 班班班班班班班 将n个相同的元素分成m份(n，m为正整数),每份至少一个元素,可以用m-1块隔板， m,1 C插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为 n,1 练习题: 1( 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法, 4C 9 3C2 .求这个方程组的自然数解的组数 xyzw，，，,100103十一.正难则反总体淘汰策略 例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的 取法有多少种, 解:这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用 总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的 3C三个数含有3个偶数的取法有,只含有1个偶数的取法5 12123CCCCC，有,和为偶数的取法共有。再淘汰和小于10的55555 123CCC，,9偶数共9种，符合条件的取法共有 555 有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出 它的反面,再从整体中淘汰. 练习题:我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、 7 团支部书记至少有一人在内的 抽法有多少种? 十二.平均分组问题除法策略 例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法, 222CCC 解: 分三步取书得种方法,但这里出现重复计数的642 现象,不妨记6本书为ABCDEF，若第一步取AB,第二 步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则 222CCC中还有642 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(E 3AF,AB,CD)共有种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)3 2223CCCA/一种分法,故共有种分法。 6423 n A平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以(为均分的nn 组数)避免重复计数。 练习题: 1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有 5442CCCA/多少分法,() 13842 2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的 分组方法 (1540) 3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安 2222CCAA/90,排2名，则不同的安排方案种数为______() 4262十三. 合理分类与分步策略 例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5 人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目, 有多少选派方法 解:10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全 能演员。选上唱歌人员为 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 进行研究 8 22CC 只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有种,只33 112CCC会唱的5人中只有1人选上唱歌人员种,只会唱534 22CC的5人中只有2人选上唱歌人员有种，由分类计55 数原理共有 2211222CCCCCCC，， 种。 3353455 解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做 到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。 练习题: 1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会， 若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 34 2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多 乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但 小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法. (27) 本题还有如下分类标准: *以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果 十四.构造模型策略 例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现 要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏, 也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有 多少种, 解:把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插 3C入3个不亮的灯有 种 5 9 一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒 模型等，可使问题直观解决 练习题:某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种,(120) 十五.实际操作穷举策略 例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五 个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放 一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同, 有多少投法 2C解:从5个球中取出2个与盒子对号有种还剩下3球35 盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5 号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有 只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有 22C也只有1种装法,由分步计数原理有种 5 534 3号盒 4号盒 5号盒 对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果 练习题: 1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各 拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多 少种, (9) 2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有 72种 10 1 432 5 十六. 分解与合成策略 例16. 30030能被多少个不同的偶数整除 分析:先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13 依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积， 12345CCCCC，，，，所有的偶因数为: 55555 练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线 解:我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有 4C,,1258体共,每个四面体有 8 3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成 分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题358174，,对异面直线 逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到 问题的答案 ,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略 十七.化归策略 例17. 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种, 解:将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3 人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法. 这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这 人所在的行列都划掉，如此继续下去.从3×3方队 111CCC中选3人的方法有种。再从5×5方阵选出3×321 11 3方阵便可解决问题.从5×5方队中选取3行3列有 33CC选法所以从5×5方阵选不在同一行也不在同一55 33111CCCCC列的3人有选法。 55321 处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简 要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法， 从而进下一步解决原来的问题 练习题:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线 表示马路，从A走到B的最短路径有多少种, 3C,35() 7 B A 十八.数字排序问题查字典策略 例18(由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数, 54321N,2A，2A，A，A，A,297解: 54321 数字排序问题可用查字典法,查字典的法 应从高位向低位查,依次求出其符合要求 的个数,根据分类计数原理求出其总数。 练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数, 将这些数字从小到大排列起来,第71个数是 3140 十九.树图策略 例19(人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经3 过次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方5 N,10式有______ 对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用 公式进行运算，树图会收到意想不到的结果 12 练习: 分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中i号人 N,44i不坐号椅()的不同坐法有多少种, i,1,2,3,4,5 二十.复杂分类问题表格策略 例20(有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、 E五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐 备,则共有多少种不同的取法 红 1 1 1 2 2 3 解: 黄 1 2 3 1 2 1 兰 3 2 1 2 1 1 111213212231CCCCCCCCCCCC取法 545454535253 一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多, 无从入手,经常出现重复遗 漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好的效 果. 二十一:住店法策略 解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素:一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解. 例21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有 . 分析:因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”， 5每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得7种. 13 小结 本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。 排列组合题型 一( 直接法 1( 特殊元素法 例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位 数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 (1)数字1不排在个位和千位 (2)数字1不在个位，数字6不在千位。 2A分析:(1)个位和千位有5个数字可供选择，其余25 222AAA位有四个可供选择，由乘法原理:=240 544 2(特殊位置法 3A(2)当1在千位时余下三位有=60，1不在千位时，5 112AAA千位有种选法，个位有种，余下的有，共有444 112AAA=192所以总共有192+60=252 444 14 二( 间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。 432A,2A，A如上例中(2)可用间接法=252 654 例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4 与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组 成三位数，共可组成多少个不同的三维书, 分析:此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且 用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因而 可使用间接计算:任取三张卡片可以组成不同的三 333222C，2，AAC，2位数个，其中0在百位的有个，这，5324 是不合题意的。故共可组成不同的三位数 333222C，2，AAC，2-=432(个) ，5324 三( 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插 空法。 例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入 两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入 方法, 分析:原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节 11A，A目后，空档变为10个，故有=100中插入方法。 910 四( 捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆 绑法。 例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种, 分析:先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列 15 44有A种排法，而男生之间又有A种排法，又乘法原理满足条44 44件的排法有:A×A=576 44 练习1(四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若 23CA 种() 使每个盒子不空，则不同的放法有43 2( 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同 119C,A的安排方法有()(注意连续参观2天，即需把30天2928 1C种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有其余的29就是19所学校选28天进行排列) 五( 阁板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁 板用法 例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种 。 分析:此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的11个空当中插入7块闸板， 7C一种插法对应一种名额的分配方式，故有种 11 15练习1.(a+b+c+d)有多少项, 1C 当项中只有一个字母时，有种(即a.b.c.d而指数4 10C,C只有15故。 414 2C当项中有2个字母时，有而指数和为15，即将15分4 121CCC配给2个字母时，如何分，闸板法一分为2，即 41414 16 3当项中有3个字母时C指数15分给3个字母分三组即4 32可 CC414 43当项种4个字母都在时 四者都相加即可( C,C414 练习2(有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多 2C少种不同的方法,() 16 49C3(不定方程X+X+X+„+X=100中不同的整数解有() 1235099六( 平均分堆问题 例6 6本不同的书平均分成三堆， 有多少种不同的方法, 分析:分出三堆书(a,a),(a,a)，(a,a)由顺序不123456 3A同可以有=6种，而这6种分法只算一种分堆方式，故63 222CCC642本不同的书平均分成三堆方式有=15种 3A3 练习:1(6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法, 2(某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法的种数。 七( 合并单元格解决染色问题 例7 (全国卷(文、理))如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不 得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种(以数字作答)。 分析:颜色相同的区域可能是2、3、4、5( 17 下面分情况讨论: (?)当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并 2,4 成一个单元格，此时不同的着色方法相当于4个元素 4???的全排列数 A4 (?)当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形(?) 4类似同理可得 种着色法( A4 (?)当2、4与3、5分别同色时，将2、4;3、5分别2,4 3,5 合并，这样仅有三个单元格 ? 33从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有种方,CA34 法( 343 由加法原理知:不同着色方法共有2=48+24=72，CAA434 (种) 练习1(天津卷(文))将3种作物种植 1 2 3 4 5 在如图的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田 不 能 种 植 同 18 一 作 物 ， 不同的种植方法共 种(以数字作答) (72) 2((江苏、辽宁、天津卷(理))某城市中心广场建造一 个花圃，花圃6分为个部分(如图3)，现要栽种4种颜色 的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的 话，不同的栽种方法有 种(以数字作答)((120) 5 B164 DA 3C2 E 图3 图4 3(如图4，用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色， 相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可 以不用，则符合这种要求的不同着色种数((540) 4(如图5:四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜 A 色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻 EB 两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色DC 19 相同与否不受限制，那么不同的着色方法是 种(84) 4 31 2 图5 图6 5(将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共 种(420) 八( 递推法 例八 一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法, 分析:设上n级楼梯的走法为a种，易知a=1,a=2,当nn12?2时，上n级楼梯的走法可分两类:第一类:是最后一步跨一级，有a种走法，第二类是最后一步跨两级，有an-1n-2种走法，由加法原理知:a=a+ a,据此，nn-1n-2a=a+a=3,a=a+a=5,a=a+a=8,a=13,a=21,a=34a=55,a3124#2543678,9=89.故走上10级楼梯共有89种不同的方法。 10 九.几何问题 1(四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有 种 3C(3+3=33) 5 2.四面体的棱中点和顶点共10个点(1)从中任取3个点确 20 定一个平面，共能确定多少个平面, 3333CC(-4+4-3C+3-6C+6+2×6=29) 61044 (2)以这10个点为顶点，共能确定多少格凸棱锥, 三棱锥 4444C-4C-6C-3C=141 四棱锥 6×4×4=96 3×6=18 共有10644 114 十( 先选后排法 例9 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选派方法有( ) A.1260种 B.2025种 C.2520种 D.5054种 分析:先从10人中选出2人 十一(用转换法解排列组合问题 例10(某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种( 解 把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中 2A只有三个黑球相邻的排列问题(=20种 5 例11( 个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共 有多少钟不同的带法( 解 把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好 5C的10个相同的黑球之间的9个空隙种的排列问题(=1269种 例12 从1，2，3，„，1000个自然数中任取10个不连 21 续的自然数，有多少种不同的去法( 解 把稳体转化为10个相同的黑球与990个相同白球，其 10C其中黑球不相邻的排列问题。 991 例13 某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大 街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法 有多少种( 解 无论怎样走必须经过三横四纵，因此，把问题转化为 3C3个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题(=35(种) 7例14 一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶 也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法( 解 根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6个相同的黑球 6C与6个相同的白球的排列问题(=924(种)( 12 10例15 求(a+b+c)的展开式的项数( αβγ解 展开使的项为abc,且α+β+γ=10，因此，把问题转化为2个相同的黑球与10个相同的白球的排列问 2C题(=66(种) 12 例16 亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先 排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者 淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰 为止，另一方获胜，形成一种比赛过程(那么所有可能 出现的比赛过程有多少种, 解 设亚洲队队员为a,a，„,a,欧洲队队员为b，b，„，12512 22 b，下标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘汰的队员5 为顺序(比赛过程转化为这10个字母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为5个相同的白球和5个相同黑球排列问 6C=252(种) 题，比赛过程的总数为10 十二(转化命题法 例17 圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦， 这些弦在圆内的交点最多有多少各, 分析:因两弦在圆内若有一交点，则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边形，则问题化为圆周上的15个不同的点能构成多少个圆内接四边形，因此这些现 4C在圆内的交点最多有=1365(个) 15 十三(概率法 例18 一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、 体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的 课程表有多少种排法, 分析:在六节课的排列总数中，体育课排在数学之前与数 1学课排在体育之前的概率相等，均为，故本例所求的排法2 11种数就是所有排法的，即A=360种 22 十四(除序法 例19 用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中， (1)若偶数2，4，6次序一定，有多少个, (2)若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序 23 也一定的有多少个, 77AA77解(1)(2) 343AAA343 十五(错位排列 例20 同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的卡片，则不同的分配方法有 种(9) a,(n,1)(a，a)公式 1) n=4时a=3(a+a)=9种 即三个432nn,1n,2 人有两种错排，两个人有一种错排( 1111n，，,1a2)=n!(1-+-+„+n2!3!n!1! 练习 有五位客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了一顶帽子回家，回家后，他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子，问5位客人都不戴自己帽子的戴法有多少种,(44) 24 排列与组合的区别 排列与组合的共同点是从n个不同的元素中，任取m(m?n)个元素，而不同点是排列是按照一定的顺序排成一列，组合是无论怎样的顺序并成一组，因此“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志(下面通过实例来体会排列与组合的区别( 【例题】 判断下列问题是排列问题还是组合问题,并计算出种数( (1) 高二年级学生会有11人:?每两人互通一封信，共通了多少封信,?每两人互握了一次手，共握了多少次手, (2) 高二数学课外活动小组共10人:?从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法,?从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法, (3) 有2、3、5、7、11、13、17、19八个质数:?从中任取两个数求它们的商，可以有多少个不同的商,?从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积, (4) 有8盆花:?从中选出2盆分别给甲、乙两人每人一盆，有多少种不同的选法,?从中选出2盆放在教室有 25 多少种不同的选法, 【思考与分析】 (1) ?由于每两人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关，是排列;?由于每两人互握一次手，甲与乙握手、乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题(其他类似分析( 解: (1) ?是排列问题，共通了=110(封);?是组合问题，共需握手==55(次) (2) ?是排列问题，共有=10×9=90(种)不同的选法;?是组合问题，共=45(种)不同的选法; (3) ?是排列问题，共有=8×7=56(个)不同的商;?是组合问题，共有=28(个)不同的积; (4) ?是排列问题，共有=56(种)不同的选法;?是组合问题，共有=28(种)不同的选法( ( 【反思】 区分排列与组合的关键是“有序”与“无序”。 ) 10.1.4学习过程: (1)知识梳理 1(分类计数原理(加法原理):完成一件事，有几类办法， 26 在第一类中有种有不同的方法，在第2类中有种不同的mm12 m方法„„在第n类型有种不同的方法，那么完成这件事共n 有N,m，m，,,,,,,，m种不同的方法。 12n 2(分步计数原理(乘法原理):完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有m种12不同的方法„„，做第n步有m种不同的方法;那么完成n N,m，m，,,,，m这件事共有种不同的方法。 12n 特别提醒:分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性;分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏。 3(排列:从n个不同的元素中任取m(m?n)个元素，按照一(((定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的((( 一个排列. 4(排列数:从n个不同元素中取出m(m?n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不 m同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号A表示. n n!mA,n(n,1)？(n,m，1),(m,n,n,m,N)5(排列数公式: (n,m)! 特别提醒: (1)规定0! = 1 27 (2)含有可重元素的排列问题. (((((( 对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集S有k个不同元素a，a,…...a其中限重复数为n、n……n，且n = 12n12k n!n+n+……n, 则S的排列个数等于. 12k n,n!n!...n!12k 3!例如:已知数字3、2、2，求其排列个数又例如:数n,,31!2! 3!字5、5、5、求其排列个数,其排列个数. n,,13! 6(组合:从n个不同的元素中任取m(m?n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. mAn(n,1)？(n,m，1)n!mmn7(组合数公式: C,,C,nnmm!m!(n,m)!Am ,1mn,mmmm8(两个公式:?_ ? C,C;C，C,C，1nnnnn 特别提醒:排列与组合的联系与区别. 联系:都是从n个不同元素中取出m个元素. 区别:前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. (2)典型例题 考点一:排列问题 例1,六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法, (1)甲不站两端; (2)甲、乙必须相邻; 28 (3)甲、乙不相邻; (4)甲、乙之间间隔两人; (5)甲、乙站在两端; (6)甲不站左端，乙不站右端. 考点二:组合问题 例2, 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法, (1)男运动员3名，女运动员2名; (2)至少有1名女运动员; (3)队长中至少有1人参加; (4)既要有队长，又要有女运动员. 考点三:综合问题 例3, 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内. (1)恰有1个盒不放球，共有几种放法, (2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法, (3)恰有2个盒不放球，共有几种放法, 10.1.5当堂测试 1，从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 ( ) A，70 种 B，80种 C，100 种 D，140 种 29 2，2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 ( ) A, 48 种 B，12种 C，18种 D36种 3，从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为 ( ) A,48 B, 12 C，180 D，162 . 4，甲组有5名男同学，3名女同学;乙组有6名男同学，2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( ) A，150种 B，180种 C，300种 D，345种 5，甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 ( ) 30 A，6 B，12 C 30 D36 6，用0 到9 这10 个 数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 ( ) A(324 B，328 C，360 D，648 7，从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙 至少有1人入选，而丙 没有入选的不同选法的总数为 ( ) A，85 B，56 C，49 D，28 8，将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的总数为 ( ) A，18 B，24 C，30 D，30 9，3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 ( ) A，360 B，288 C，216 D，96 31 10.1.6 参考答案 例1,解 (1)方法一 要使甲不站在两端，可先让甲在 1中间4个位置上任选1个，有A种站法，然后其余5人在4 5另外5个位置上作全排列有A种站法，根据分步乘法计数5 15原理，共有站法:A?A=480(种). 45 方法二 由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人 24中选2个人站，有A种站法，然后中间4人有A种站法，54 24根据分步乘法计数原理，共有站法:A?A=480(种). 54 6方法三 若对甲没有限制条件共有A种站法，甲在两端共6 5有2A种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即5 共有站 65法:A-2A=480(种). 65 (2)方法一 先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人， 5和其余4人进行全排列有A种站法，再把甲、乙进行全排5 225列，有A种站法，根据分步乘法计数原理，共有A?A=240225(种)站法. 4方法二 先把甲、乙以外的4个人作全排列，有A种站法，4 1再在5个空档中选出一个供甲、乙放入，有A种方法，最5 2421后让甲、乙全排列，有A种方法，共有A?A?A=240(种). 2425 (3)因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”， 4第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有A种站法;第二4 步再将甲、乙排在4人形成的5个空档(含两端)中，有242A种站法，故共有站法为A?A=480(种). 545 32 6也可用“间接法”，6个人全排列有A种站法，由(2)知6 25甲、乙相邻有A?A=240种站法，所以不相邻的站法有25 265A-A?A=720-240=480(种). 265 4(4)方法一 先将甲、乙以外的4个人作全排列，有A种，4 242然后将甲、乙按条件插入站队，有3A种，故共有A?(3A)242=144(种)站法. 方法二 先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙 2之间的两个位置上，有A种，然后把甲、乙及中间2人看4 3作一个“大”元素与余下2人作全排列有A种方法，最后3 2223对甲、乙进行排列，有A种方法，故共有A?A?A=1442423(种)站法. (5)方法一 首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有 24A种，再让其他4人在中间位置作全排列，有A种，根据24 24分步乘法计数原理，共有A?A=48(种)站法. 24 2方法二 首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有A种2 4站法，然后考虑中间4个位置，由剩下的4人去站，有A4 24种站法，由分步乘法计数原理共有A?A=48(种)站法. 24 5(6)方法一 甲在左端的站法有A种，乙在右端的站法有5 45A种，且甲在左端而乙在右端的站法有A种，共有45 465A-2A+A=504(种)站法. 465 5方法二 以元素甲分类可分为两类:?甲站右端有A种站5 114法，?甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有A?A?A 444 1145种，故共有A+A?A?A=504(种)站法. 4445 33 3例2, 解 (1)第一步:选3名男运动员，有C种选法. 6 2第二步:选2名女运动员，有C种选法. 4 23共有C?C=120种选法. 46 3分 (2)方法一 至少1名女运动员包括以下几种情况: 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男. 由分类加法计数原理可得总选法数为 14232431CC+CC+CC+CC=246种. 6分46446466 方法二 “至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解. 5从10人中任选5人有C种选法，其中全是男运动员的选10 5法有C种. 6 55所以“至少有1名女运动员”的选法为C-C=246种. 106 6分 (3)方法一 可分类求解: 4“只有男队长”的选法为C; 8 4“只有女队长”的选法为C; 8 3“男、女队长都入选”的选法为C; 8 43所以共有2C+C=196种选法. 988 分 方法二 间接法: 5从10人中任选5人有C种选法. 10 34 5其中不选队长的方法有C种.所以“至少1名队长”的选8 55法为C-C=196种. 9分 108 4(4)当有女队长时，其他人任意选，共有C种选法.不选9 4女队长时，必选男队长，共有C种选法.其中不含女运动8 444员的选法有C种，所以不选女队长时的选法共有C-C种585选法. 所以既有队长又有女运动员的选法共有 444C+C-C=191种. 985 例3,解 (1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法,”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另 外2个盒子内，由分步乘法计数原理， 1221共有CCC×A=144种. 4423 (2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法. 2(3)确定2个空盒有C种方法. 4 4个球放进2个盒子可分成(3，1)、(2，2)两类，第一 321类有序不均匀分组有CCA种方法;第二类有序均匀分组421 22CC242有?A种方法. 22A2 22CC2322142故共有C( CCA+?A)=84种. 442212A2 35 当堂检测答案 1，从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 ( ) A，70 种 B，80种 C，100 种 D，140 种 2112CCCC,，,解析:分为2男1女，和1男2女两大类，共有=705454种， 解题策略:合理分类与准确分步的策略。 2，2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 ( ) A, 48 种 B，12种 C，18种 D36种 解析:合理分类，通过分析分为(1)小张和小王恰有1人入选，先从两人中选1人，然后把这个人在前两项工作中安 113CCA,,排一个，最后剩余的三人进行全排列有种选法。(2)223 小张和小赵都入选，首先安排这两个人，然后再剩余的3 22AA,人中选2人排列有种方法。 32 共有24+12=36种选法。 解题策略::1，特殊元素优先安排的策略。 2，合理分类与准确分步的策略。 36 3，排列、组合混合问题先选后排的策略。 3，从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为 ( ) A,48 B, 12 C，180 D，162 解析:分为两大类:(1)含有0，分步1，从另外两个偶数 12CC中选一个，种方法，2，从3个奇数中选两个，有种方32 1C法;3，给0安排一个位置，只能在个、十、百位上选，有3 3A种方法;4，其他的3个数字进行全排列，有种排法，根3 1213CCCA,,,据乘法原理共种方法。(2)不含0，分步，偶数必2333 2C然是2，4 ;奇数有种不同的选法，然后把4个元素全排3 424ACA列，共种排法，不含0 的排法有种。根据加法原理把434 241213CCCA,,,CA两部分加一块得+=180. 342333 解题策略:1，特殊元素优先安排的策略。 2，合理分类与准确分步的策略。 3，排列、组合混合问题先选后排的策略。 4，甲组有5名男同学，3名女同学;乙组有6名男同学，2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( ) A，150种 B，180种 C，300种 D，345种 解析:4人中恰有1名女同学的情况分为两种，即这1名女同学或来自甲组，或来自乙组，则所有不同的选法共有 37 112211CCCCCC， 种选法。 536562 解题策略:合理分类与准确分步的策略。 5，甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 ( ) A，6 B，12 C 30 D36 22CC,解析:可以先让甲、乙任意选择两门，有种选择方法，44 然后再把两个人全不相同的情况去掉，两个人全不相同，可 22CC以让甲选两门有 种选法，然后乙从剩余的两门选，有种42 22CC不同的选法，全不相同的选法是种方法，所以至少有一42 22CC,门不相同的选法为— 44 22CC=30种不同的选法。 42 解题策略:正难则反，等价转化的策略。 6，用0 到9 这10 个 数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 ( ) A(324 B，328 C，360 D，648 2A解析: 第一类个位是零，共种不同的排法。 9 8 1 9 111CCC,,488 1118 8 4 CCC,, 第二类个位不是零，共种不同的解488 38 法。 解题策略:合理分类与准确分步的策略. 7，从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙 至少有1人入选，而丙 没有入选的不同选法的总数为 ( ) A，85 B，56 C，49 D，28 21CC,解析:合理分类，甲乙全被选中，有 种 选 法，甲乙27 122112CC,CC,CC,有一个被选中，有种不同的选法，共+=49种272727不同的选法。 解题策略: (1)特殊元素优先安排的策略， (2)合理分类与准确分步的策略. 8，将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的总数为 ( ) A，18 B，24 C，30 D，30 2C将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组，则共有种不同的分4 法，然后三组进行全排列共 3A种不同的方法;然后再把甲、乙分到一个班的情况排除掉，3 3233ACAA共种不同的排法。所以总的排法为—=30种不同的4333 排法。 注意: 这里有一个分组的问题，即四个元素分成三组有几种不同的分法的问题。 39 这里分为有序分组和无序分组，有兴趣的同学可以继续研究 ，这里不再详述。 解题策略: 1正难则反、等价转化的策略 2相邻问题捆绑处理的策略 3排列、组合混合问题先选后排的策略; 9，3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 ( ) A，360 B，288 C，216 D，96 解析:分析排列组合的问题第一要遵循特殊元素优先考虑的 2C原则，先考虑女生的问题，先从3个女生中选两位，有种3 2A方法，然后再考虑顺序，即先选后排，有种方法;这样选2 出两名女生后，再考虑男生的问题，先把三个男生任意排列， 2A有中不同的排法， 3 然后把两个女生看成一个整体，和另一个女生看成两个元素 22232AACAA插入4个位置中。有种不同的排法，共有种不同42343的排法。然后再考虑把男生甲站两端的情况排除掉。 40 1甲可能站左端，也可能是右端，有C种不同的方法，然后其2 2他两个男生排列有A种排法，最后把女生在剩余的三个位置2 222122中排列，有A种不同的排法。共ACCAA种不同的排法， 故323232 223222122总的排法为ACAA----ACCAA=288种不同的方法。 234232332 本题难度大，体现的排列组合的解题策略多: (1)特殊元素优先安排的策略: (2)合理分类与准确分步的策略; (3)排列、组合混合问题先选后排的策略; (4)正难则反、等价转化的策略; (5)相邻问题捆绑处理的策略; (6)不相邻问题插空处理的策略。 解排列组合的应用题要注意以下几点: (1) 仔细审题，判断是排列还是组合问题，要按元素的性 质分类，按事件发生的过程进行分步。 (2) 深入分析，严密周详，注意分清是乘还是加，要防止 重复和遗漏，辩证思维，多角度分析，全面考虑。 (3) 对限制条件较复杂的排列组合问题，要周密分析，设 计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问 题后用两个计数原理来解决。 (4) 由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验 证，因此在检查结果时，应着重检查所 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 的解决方案 是否完备，有无重复和遗漏，也可采用不同的方法求解。 看看结果是否相同，在对排列组合问题分类时，分类标 41 准应统一，否则易出现遗漏和重复。 排列组合易错题正误解析 排列组合问题类型繁多、方法丰富、富于变化，稍不注意，极易出错.本文选择一些在教学中学生常见的错误进行正误解析，以飨读者. 1没有理解两个基本原理出错 排列组合问题基于两个基本计数原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提. 例1,1995年上海高考题,从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有 种. 误解:因为可以取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机，所以只有2种取法. 错因分析:误解的原因在于没有意识到“选取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机”是完成任务的两“类”办法，每类办法中都还有不同的取法. 正解:由分析，完成第一类办法还可以分成两步:第 2一步在原装计算机中任意选取2台，有C种方法;第二步是6 3在组装计算机任意选取3台，有C种方法，据乘法原理共有5 2332C,C种方法.同理，完成第二类办法中有C,C种方法.据加法6565 2332原理完成全部的选取过程共有C,C，C,C,350种方法. 6565 42 例2 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有( )种. 33344(A) (B) (C) (D) AC344 误解:把四个冠军，排在甲、乙、丙三个位置上，选A. 错因分析:误解是没有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式. 正解:四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取， 4每项冠军都有3种选取方法，由乘法原理共有种. 3，3，3，3,3 说明:本题还有同学这样误解，甲乙丙夺冠均有四种情 34况，由乘法原理得.这是由于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得后，其他人就不再有4种夺冠可能. 2判断不出是排列还是组合出错 在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合. 例3 有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法, 8误解:因为是8个小球的全排列，所以共有A种方法. 8 错因分析:误解中没有考虑3个红色小球是完全相同的，5个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法. 正解:8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球， 43 由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题.这 3样共有:排法. C,568 3重复计算出错 在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意避免重复计数，产生错误。 例4,2002年北京文科高考题,5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为( ) (A)480 种 (B)240种 (C)120种 (D)96种 4误解:先从5本书中取4本分给4个人，有种方法，A5 4剩下的1本书可以给任意一个人有4种分法，共有种4，A,4805不同的分法，选A. bd错因分析:设5本书为、、、、，四个人为甲、ace 乙 丁 乙 丁 甲 丙 丙 甲 乙、丙、丁.按照上述分法可能如下的表1和表2: bb add cec e a 表1 表2 bd表1是甲首先分得、乙分得、丙分得、丁分得，最后ac b一本书给甲的情况;表2是甲首先分得、乙分得、丙分ee d得、丁分得，最后一本书给甲的情况.这两种情况是完全ca 相同的，而在误解中计算成了不同的情况。正好重复了一次. 正解:首先把5本书转化成4本书，然后分给4个人. 2第一步:从5本书中任意取出2本捆绑成一本书，有C种方5 44 4法;第二步:再把4本书分给4个学生，有种方法.由乘A4 24法原理，共有种方法，故选B. C,A,24054 例5 某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有( )种. (A)5040 (B)1260 (C)210 (D)630 误解:第一个人先挑选2天，第二个人再挑选2天，剩下的3天给第三个人，这三个人再进行全排列.共有:223，选B. CCA,1260753 错因分析:这里是均匀分组问题.比如:第一人挑选的是周一、周二，第二人挑选的是周三、周四;也可能是第一个人挑选的是周三、周四，第二人挑选的是周一、周二，所以在全排列的过程中就重复计算了. 223CCA753正解:,630种. 2 4遗漏计算出错 在排列组合问题中还可能由于考虑问题不够全面，因为遗漏某些情况，而出错。 例6 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的比1000大的奇数共有( ) (A)36个 (B)48个 (C)66个 (D)72个 误解:如右图，最后一位只能是1或3有两种取法， 0 1，3 又因为第1位不能是0，在最后一位取定后只有3种取 22法，剩下3个数排中间两个位置有A种排法，共有2，3，A,36个. 33 45 错因分析:误解只考虑了四位数的情况，而比1000大的奇数还可能是五位数. 3正解:任一个五位的奇数都符合要求，共有个，2，3，A,363再由前面分析四位数个数和五位数个数之和共有72个，选D. 5忽视题设条件出错 在解决排列组合问题时一定要注意题目中的每一句话 2 5 甚至每一个字和符号，不然就可能多解或者漏解. 1 3 4 例7 (2003全国高考题)如图，一个 地区分为5个行政区域，现给地图着色， 要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种(以.数字作答) 误解:先着色第一区域，有4种方法，剩下3种颜色涂 12四个区域，即有一种颜色涂相对的两块区域，有种，C,2,A,1232由乘法原理共有:种. 4，12,48 错因分析:据报导，在高考中有很多考生填了48种.这主要是没有看清题设“有4种颜色可供选择”，不一定需(( 要4种颜色全部使用，用3种也可以完成任务. 正解:当使用四种颜色时，由前面的误解知有48种着 3色方法;当仅使用三种颜色时:从4种颜色中选取3种有C4种方法，先着色第一区域，有3种方法，剩下2种颜色涂四个区域，只能是一种颜色涂第2、4区域，另一种颜色涂第 46 33、5区域，有2种着色方法，由乘法原理有种.综上C，3，2,244 共有:种. 48，24,72 2例8 已知是关于的一元二次方程，其中、ax,b,0xa ，求解集不同的一元二次方程的个数. b,{1,2,3,4} 误解:从集合中任意取两个元素作为、b，方程有{1,2,3,4}a 22b个，当、取同一个数时方程有1个，共有个. AA，1,13a44 错因分析:误解中没有注意到题设中:“求解集不同(((( a,1a,2,,和的„„”所以在上述解法中要去掉同解情况，由于,,b,2b,4,, a,2a,4,,和同解、同解，故要减去2个。 ,,b,1b,2,, 正解:由分析，共有个解集不同的一元二次方程. 13,2,11 6未考虑特殊情况出错 在排列组合中要特别注意一些特殊情况，一有疏漏就会出错. 例9 现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是( ) (A)1024种 (B)1023种 (C)1536种 (D)1535种 误解:因为共有人民币10张，每张人民币都有取和不 10取2种情况，减去全不取的1种情况，共有种. 2,1,1023 错因分析:这里100元面值比较特殊有两张，在误解中被计算成 4 种情况，实际上只有不取、取一张和取二张3种情况. 正解:除100元人民币以外每张均有取和不取2种情况， 47 100元人民币的取法有3种情况，再减去全不取的1种情况， 9所以共有种. 2，3,1,1535 7题意的理解偏差出错 例10 现有8个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有( )种. 358633384(A)A,A (B)A,A,A (C)A,A (D)A,A 655386386 5误解:除了甲、乙、丙三人以外的5人先排，有种排A5 3法，5人排好后产生6个空档，插入甲、乙、丙三人有种A6 35方法，这样共有A,A种排法，选A. 65 错因分析:误解中没有理解“甲、乙、丙三人不能相邻”的含义，得到的结果是“甲、乙、丙三人互不相邻”的情况.((((“甲、乙、丙三人不能相邻”是指甲、乙、丙三人不能同时相邻，但允许其中有两人相邻. 正解:在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数，就得到甲、乙、丙三人不相邻的方法数，即863A,A,A，故选B. 863 8解题策略的选择不当出错 有些排列组合问题用直接法或分类讨论比较困难，要采取适当的解决策略，如间接法、插入法、捆绑法、概率法等，有助于问题的解决. 例10 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有( ). 48 (A)16种 (B)18种 (C)37种 (D)48种 误解:甲工厂先派一个班去，有3种选派方法，剩下的2个班均有4种选择，这样共有种方案. 3，4，4,48 错因分析:显然这里有重复计算.如:班先派去了甲工厂，a bb班选择时也去了甲工厂，这与班先派去了甲工厂，班选a择时也去了甲工厂是同一种情况，而在上述解法中当作了不一样的情况，并且这种重复很难排除. 正解:用间接法.先计算3个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即:种方案. 4，4，4,3，3，3,37 排列组合问题虽然种类繁多，但只要能把握住最常见的原理和方法，即:“分步用乘、分类用加、有序排列、无序组合”，留心容易出错的地方就能够以不变应万变，把排列组合学好. 江苏省各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编 第11部分:排列组合二项式定理、概率 一、填空题: 7((2011年3月苏、锡、常、镇四市高三数学教学情况调查一)某所学校有 小学 小学生如何制作手抄报课件柳垭小学关于三违自查自纠报告小学英语获奖优质说课课件小学足球课教案全集小学语文新课程标准测试题 部、初中部和高中部，在校小学生、 538002初中生和高中生人数之比为::，且已知初中生有人， 80现采用分层抽样的方法从这所学校抽取一个容量为的学生样本以了解学生对学校文体活动方面的评价，则每个高中 49 生被抽到的概率是 ; 1210801,？,,,xP4000,50800400050x7(【解析】由题知. A,2,5,,A5. (江苏省苏州市2011年1月高三调研)已知集合,在 abc,,abc,,中可重复的依次取出三个数，则“以为边恰好构成三角形”的概率是 ? . 5 abc,,8A5. 【解析】“在中可重复的依次取出三个数”的基本 3abc,,28,事件总数为，事件“以为边不能构成三角形”分别 35P,,,1.2,2,5,2,5,2,5,2,2,，，，，，，88为所以 A,2,3,,5. (江苏省南京市2011届高三第一次模拟考试)在集合 B,1,2,3,,mn中随机取一个元素，在集合中随机取一个元素，得 22Pmn(,)xy，,9到点，则点P在圆内部的概率为 . 1 Pmn,2,1,2,2,2,3,3,1,3,2,3,3，，，，，，，，，，，，，，35(【解析】由题意得到的有:， 222,1,2,2，，，，xy，,9共计6个，在圆的内部的点有，所以概率为21,63 [5,5],8((江苏省徐州市2011届高三第一次调研考试)在区间 221{|20},，,,xxaxaa内随机地取出一个数，使得的概率为 ? ( 2221|20,，,,xxaxa,,,,,,12a0.3aa,,,208(【解析】由，得，所 3 10以所求概率为 8. (江苏省苏北四市2011届高三第一次调研)一个质地均匀的正四面体(侧棱长与底面边长相等的正三棱锥)玩具的四 50 个面上分别标有1，2，3，4这四个数字.若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是 ? . 8(【解析】应用例举法共有16种等可能情况，(1，1)(1，2)，(1，3)(1，4)，(2，1)(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)(3，2)，(3，3)(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)。两次向下的面上的数字之积为偶数共有12种情况，所 3 4以所求概率为 6. (江苏省泰州市2011届高三年级第一次模拟)设 2，，，，fx,x,2x,3x,R,,，，,,,,fx,0x，则在区间上随机取一个数，使的概率为 。 2 ,6. 【解答】几何概型， 422,,,,,,,？,,,,,,xxxxP230,13,1,3，，,,2,,。 3. (江苏省南京市2011年3月高三第二次模拟考试)用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜 1 4色，则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是,,,,。 (第3题) 6((江苏省泰州中学2011年3月高三调研)某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用 51 1 4餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为 ? ( 4((江苏省南京外国语学校2011年3月高三调研)如图所示， a墙上挂有一边长为的正方形木板，它的四个角的 a 2空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴 ,,14影部分的概率是__ ___( 9((江苏省南京外国语学校2011年3月高三调研)将一枚骰 2b,cx，bx，c,0子抛掷两次，若先后出现的点数分别为，则方程 19 36有实根的概率为 ( 6((江苏省宿豫中学2011年3月高考第二次模拟考试)将一 b,c枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为，则方程 19 2x，bx，c,036有实根的概率为 ( 5((江苏省盐城市2011届高三年级第一次调研)从长度分别 2,3,4,5为的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 ? . 3 45. 【解析】从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出 3C,42,3,5.4三条这一事件共有种，而不能构成三角形的情形为 3P,.4所以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 52 二、解答题: 23((2011年3月苏、锡、常、镇四市高三数学教学情况调 kk*(13)(13)，，,kN,查一)(10分)?当时，求证:是正整数; 2nn，1(13)，nN,*2?试证明大于的最小整数能被整除(). 24kk，，24(13)(13)2133，，,,，，，CC，，，，kk,,，，23((1) kk(13)(13)，，,3？的偶数次幂均为正整数，是正整数. 2n22nn0131,,,，，(13)(13)，，,?因为由(1)知为正整数，所以 2n22nn(13)，(13)(13)，，,大于最小整数为， nn22nnn，，(13)(13)22323，，,,，，,，，，，,,，， nn2n2323，，,，，，，(13)，由二项式定理可知是一偶数，所以大于 n，1nN,*2的最小整数能被整除(). 22. (江苏省苏州市2011年1月高三调研)(本小题满分10分) 一个口袋装有5个红球，3个白球，这些球除颜色外完全相 X同，某人一次从中摸出3个球，其中白球的个数为. ?求摸出的三个球中既有红球又有白球的概率; XX?求的分布列及的数学期望. 22.【解析】(1)记“摸出的三球中既有红球又有白球”为事 A件，依题意知 1221CCCC，455353PA,,.，，3C568 53 45.56所以摸出的三个球中既有红球又有白球的概率为 0312CCCC1155353PXPX,,,,,,0,1,，，，，33CC565688(2) 2130CCCC30105353PXPX,,,,,,2,3,，，，，33CC565688 X所以的分布列为 03X12 1153010P 56565656 115301015EX,，，，，，，，,0123.，，565656568X所以的数学期望 23. (江苏省苏北四市2011届高三第一次调研)(本小题满分10分) 21*n,ABCn,，,(31)()Nnnn设二项展开式的整数部分为，小数部分为. CB,CB1122(1)计算的值; CBnn(2)求. 54 23. (江苏省徐州市2011届高三第一次调研考试)(本小题满分10分) 甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为1,,aa(01),,a,2，三人各射击一次，击中目标的次数记为. ,(1)求的分布列及数学期望; Pi(),,P(1),,i(2)在概率(=0，1，2，3)中, 若的值最大, 求实 a数的取值范围. 23.【解析】本题主要考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的数学特征，考查思维能力、运算能力、实践能力. 55 P(),,3,,,(1)是“个人命中,个人未命中”的概率.其中的可能取值为0，1，2，3. 11,,0022Paa(0)C1C(1)(1),,,,,,,12,,22,,, 111,,102012Paaaa(1)CC(1)C1C(1)(1),,,,,，,,,,1212,,222,,, 111,,110222Paaaaa(2)CC(1)C1C(2),,,,,，,,,1212,,222,,, 2a1122Pa(3)CC,,,,,1222. ,所以的分布列为 ,0321 12(1),a2211a22(1),a(2)aa,P 222 ,的数学期望为 241a，111a222,Eaaaa,，,，，,，，,，，,0(1)1(1)2(2)322222. ……………5分 122，，,,,,,,,,,,,PPaaaa(1)(0)1(1)(1)，，，，2(2), 112,a22，，,,PPaaa(1)(2)(1)(2),,,,,,,,，，22, 2112,a22，，,,PPaa(1)(3)(1),,,,,,,，，22. , ,aa(1)0,,,,12,a,,0,,2,2,112,a,，10,,00,,a,,,22,01,,aa2,，由和，得,即的取值范围是. …… 10分 56 22((江苏省盐城市2011届高三年级第一次调研)(本小题满分10分) mnfxxx()(12)(1),，，，mnN,,设,. 22011fxaaxaxax(),，，，,,,，mn,0122011(?)当=2011时,记，求aaaa,，,,,,,0122011; fx()mxn(?)若展开式中的系数是20，则当、变化时，试 2x求系数的最小值( 20112011aaaa,，,,,,,(12)(11)1,，,,,x,,1012211022.解:(?)令，得= …4分 1122220CCmn，,，,nm,,202mnx(?)因为，所以,则的系数为2222CC，mn mmnn(1)(1)1,,2,，，,,，,,422(202)(192)mmmm2441190mm,，222=, 2fx()mn,,5,10x所以当时，展开式中的系数最小，最小值为85 ……10分 23((江苏省盐城市2011届高三年级第一次调研)(本小题满分10分) 有一种闯三关游戏规则规定如下:用抛掷正四面体型骰子(各面上分别有1，2，3，4点数的质地均匀的正四面体) nn(1,2,3),n决定是否过关，在闯第关时，需要抛掷次骰子，当 2nn次骰子面朝下的点数之和大于时,则算闯此关成功,并且继续闯关，否则停止闯关. 每次抛掷骰子相互独立. (?)求仅闯过第一关的概率; 57 ,, (?)记成功闯过的关数为，求的分布列和期望( 23.解:(?)记“仅闯过第一关的概率”这一事件为A,则 339PA(),,,41664 ……4分 1,,,p(0),4 (?)由题意得, 的取值有0,1,2,3,且, 9p(1),,,64, 31356313827339,,,,,,p(2),,,p(3),,,4166441664512512, , ,即随机变量的概率分布列为: ,0 1 2 3 p91273 39 644512 512[ 来 ………8分 所 1927339735,，，，，，，，,,E0123464512512512以,………………………………10分 58 59