【doc】用改进的摄动理论研究各向异性弱粘弹性介质中的非均匀平面波

【doc】用改进的摄动理论研究各向异性弱粘弹性介质中的非均匀平面波 用改进的摄动理论研究各向异性弱粘弹性 介质中的非均匀平面波 第4O卷第1期 2010年1月 林大学(地球科学版) ofJilinUniversity(EarthScienceEdition) Vo1.40No.1 Jan.2O10 用改进的摄动理论研究各向异性 弱粘弹性介质中的非均匀平面波 郝 吉林大学 奇,何樵登,王德利 地球探测科学与技术学院,长春130026 摘要:提出了慢度和偏振的摄动完全是由平面波非均匀性参数D引起的观点,改进了Cerveny和 Psencik提出的计算各向异性弱粘弹性介质中非均匀平面波慢度和偏振的摄动公式,给出了在形式上更为 简单的摄动公式.与原有的公式相比,新的摄动公式对均匀平面玻是精确的,并且在形式上更加简洁.对 一 个二维横向各向同性弱粘弹性介质模型,根据新的摄动公式与原有的摄动公式及精确公式,用数值方法 分别模拟了平面波(qP,qSV,qSH)沿传播向量方向的慢度虚部Im(a)和质点振动.比较发现,用新的摄动 公式得到的qP和qsV波的慢度虚部Im(a)和质点振动比原有的摄动公式更精确,而对qSH波两种方法 近似效果相差无几.经过综合比较,可以断定新的公式要优于原有的公式. 关键词:各向异性;弱粘弹性介质;非均匀平面波;摄动 中图分类号:P63l_4文献标识码:A文章编号:1671—5888(2010)01—0195一O8 InhomogeneousPlaneWaveinAnisotropic WeaklyViscoelasticMediabyImprovedPerturbationTheory HA0Qi,HEQiao—deng,WANGDe—li CollegeofGP0Eora ,0nScienceandTechnology,JilinUniversity,Changchun130026,China Abstract:Afterproposingaviewpointthattheperturbationofslownessandpolarizationisfullydue totheinhomogeneousparameterDofinhomogeneousplanewave,theauthorshaveimprovedthe originalperturbationformulasusedbyCervenyandPsencikfortheslownessandpolarizationofthe inhomogeneousplanewavepropagatinginanisotropicweaklyviscoelasticmedia,withnewperturbation formulaeforslownessandpolarization,whicharemoreconcisethanthepreviousandareexactfor homogeneouswave.NumericalmodelingforimaginarypartofslownessIm(a)andparticlemotionshows thatthenewperturbationformulaearebetterthantheoriginalonesforqPandqSVwaveandhave almostthesameaccuracyastheoriginalforqSHwave. Keywords:anisotropy;weaklyviscoelasticmedia;inhomogeneousplanewave;perturbation 0引言 理想弹性介质是对实际介质的近似.实践 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明,实际介质对地震波的能量具有一定的吸收作用, 使波的能量在实际介质中传播时很快衰减….岩石 由于受到某些地质作用经常会呈现各向异性,主要 体现在地震波的传播速度及衰减与方向有关.各向 异性粘弹性介质是一种常见的描述岩石各向异性和 收稿日期:2009,05—25 基金项目:国家"863" 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 项目(20o60109A1002--010301);国家自然科学基金项目 (40604013) 作者简介:郝奇(1982--),男,辽宁阜新人,博士研究生,主要从事地震各向异性正演 和反演方法的研究,E—mail: haoqi07@mails.jlu.edu.cn. 吉_吾r 吉林大学(地球科学版)第4O卷 衰减 机制 综治信访维稳工作机制反恐怖工作机制企业员工晋升机制公司员工晋升机制员工晋升机制图 的模型,粘弹性与弹性相对,体现了介质对 能量的吸收作用. 在各向异性粘弹性介质中传播的平面波的慢度 总为复值,可以表示为:P—P+iA.传播向量P和 衰减向量A都是实值.如果P和A的方向是一致 的,称这种平面波是均匀的;否则,称平面波是非均 匀的.从P的表达式可以看出,在各向异性粘 弹性介质中,均匀的平面波只是一种特殊的情况. 近些年来,地球物理学家们对各向异性粘弹性 介质中的地震波传播理论做了大量的研究工作. Zhu和Tsvankin讨论了在粘弹性各向异性介质 中传播的均匀平面波,借用Thomsen[.提出的速度 各向异性Thomsen参数思想,建立了描述横向各向 同性介质和正交各向异性介质中品质因子Q的 Thomsen参数,并推导了用品质因子Thomsen参 数表示的均匀波的近似衰减公式.然而,在粘弹性 各向异性介质中均匀波和非均匀波的衰减差异是惊 人和出乎意料的j.因此,有必要研究非均匀波中 的相关物理量.Cerveny和Psencikl2介绍了计算 各向异性粘弹性介质中平面波慢度的方法,通过解 一 个六次的复系数代数方程,可以确定3种波(qP, qSV,qSH)沿传播向量方向的慢度;指出在各向异 性粘弹性介质中传播的均匀及非均匀平面波除了在 一 些特殊方向上是线性偏振以外,其质点运动轨迹 一 般是椭圆形的,并且P波的偏振椭圆方向一般接 近能量通量的方向,而S波的偏振椭圆一般垂直于 能量通量的方向].除了精确地计算各向异性粘弹 性介质中波的物理量外,利用摄动理论近似地计算 相关的物理量也有了很大的发展.Vavrycuklg提 出了一种计算在任意各向异性和衰减强度介质中高 频渐近射线的速度,衰减和品质因子的摄动方法. Cerveny和PsencikLl.提出使用差摄动哈密顿函数 推导和讨论了在非均匀各向异性弱耗散介质中传播 的射线的复值旅行时的一阶和二阶摄动公式以及复 值旅行时梯度的一阶摄动公式,并且介绍了一种计 算射线旅行时和衰减的算法.Cerveny和Klimes 等…利用Klimes介绍的摄动方法]研究了在弱耗 散各向同性或各向异性非均匀介质中传播的波的复 值旅行时摄动,进一步导出了关于一阶衰减向量A 的显表达式.Cerveny和PsencikH.用摄动理论 推导出了在各向异性弱耗散介质中传播的弱非均匀 平面波的品质因子的近似公式和复值慢度向量和偏 振向量的近似公式,进一步导出了衰减向量的近似 公式和固有衰减因子的表达式. 在Cerveny和PsencikL1的摄动理论中,认为 参考系是均匀平面波和完全弹性各向异性介质.本 文提出了一种简化形式的摄动公式,认为波的慢度 和偏振的摄动完全由波的非均匀参数引起,介质是 弱粘弹性各向异性并不摄动. 用.27表示笛卡尔坐标,对任意各向异性粘弹性 介质,i一1,2,3,分别对应,Y,轴.t表示时间. p表示介质的密度.表示各向异性粘弹性介质 的四阶刚度参数,a,表示各向异性粘弹性介质的密 度 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 化的四阶刚度系数张量(即a一一ijk1).需 lD 要指出的是,对于在下文1.2和2节出现的重复下 标,取爱因斯坦求和约定. 1各向异性粘弹性介质中的基本理论 1.1Thomsen参数和刚度系数之间的关系 Thomsen~给出了描述弱横向各向同性弹性介 质的速度各向异性Thomsen参数;Zhu和 Tsvankin?按照Thomsen定义速度各向异性 Thomsen参数的思想,提出了描述横向各向异性弱 粘弹性介质的品质因子各向异性Thomsen参数. 在各向异性介质中,四阶刚度系数张量用Voigt标 记法可以写成更简单的矩阵形式.在横向各向 同性粘弹性介质中,刚度系数矩阵的实部",可用 速度各向异性参数描述,对于品质因子矩阵Q(Q. 一‰R/&),可用Zhu和Tsvankin介绍的品质因子 各向异性Thomsen参数描述,因此有 u?一?d, 一 ,//", "一" __『-' (aR.3+口曼)一(&一?R). o一——=,' y-一.? A.一Q(?1+一1), A.一Qs(?1+壶一1), Q3—Ql E.—' 一 "十 aR 3(n一") 第1期郝奇,何樵登,王德利:用改进的摄动理论研究各向异性弱粘弹性介质中的非 均匀平面波197 2ai(aR13+口)Z——7,3十口55 aR 3 (aaR—aR5)' Q55一Q6,9, 加2Q66., 公式(1)表示速度各向异性Thomsen参数与横 向各向同性粘弹性介质刚度系数之间的关系.公式 (2)表示品质因子各向异性Thomsen参数与横向各 向同性粘弹性介质中刚度系数和品质因子矩阵之间 的关系.有关速度各向异性Thomsen参数的物理 意义的详细解释请见文献[6]和[16].在公式(2) 中,A表示沿垂直方向qP波的衰减系数;A表示 沿对称轴方向qSV波的衰减系数;eo被定义为沿 水平方向和垂直方向的qP波衰减系数的分数差; 控制着在垂直方向qP波的衰减系数的曲率; 被定义为沿水平方向和垂直方向的qSH波衰减系 数的分数差.关于对这些物理量的更详细的解释, 请见文献[4]. 相反地,根据公式(1)和(2),可以把横向各向同 性粘弹性介质中的刚度参数和品质因子用 Thomsen参数表示,即 口一?(v;o—;0L(1十z)v;o一g一, aR 3一u, aII 5一u, 口一(1+2r)V]o.(3) 一 2(1+eQ), 一 2(8Q+X+1)一2;[., 一, =, 一 2(1+),.)笮.(4) 其中: 蒜, 祟等.?z一.) 1.2各向异性粘弹性介质中的简谐-g面波 在均匀的无界各向异性粘弹性介质中传播的单 频简谐平面波可以表示为 ",(z,,t)一nUeXpF-如,(t一)](6) 其中:a表示振幅因子,与空间和时间无关;"表示 平面波位移向量"的笛卡尔分量;U表示平面波 的标准化的偏振向量u的笛卡尔分量(uU一1); P表示平面波慢度向量p的笛卡尔分量.在粘弹 性介质中,,U,P一般都为复数. 根据粘弹性介质中的本构关系和牛顿运动方 程,可得[1 (一)U女一0.(7) 从方程(7)可以确定平面波的的偏振向量u,这 里构成了广义的Christoffel矩阵,并且 (户)===aOklP.(8) 其中, af—n—ia.(9) 式中:%R表示密度归一化的粘弹性刚度系数张量 a珊f的实部;口神1表示虚部. 方程(7)有解的条件是 det(/-一)一0.(1O) 方程(10)确立了平面波的慢度p和密度标准化的 粘弹性参数a,之间的关系. 复值的慢度向量p也可以表示为.. P—on+iDm,且m?,l一0.(11) 式中:为一个复数,表示沿传播向量方向的慢度;D 为平面波的非均匀参数,是实数,单位为s/kin.如 果D一0s/km,平面波是均匀的,否则平面波是非 均匀的[2].方向,l确定了平面波的相速度方向. Cerveny和Psencik提出确定向量P的混合方 法口."],给定平面波的非均匀参数D以及传播方向珂 和衰减方向m,将式(11)代人式(10),得到一个关于 的六次复系数代数方程: det(a女(on,+iD,)(onz+iDm,)一)一0. (12) 方程(12)有6个根,分别对应着沿方向,l和一,l 的P,S,S.平面波.一般来说,的值是复数.一 旦从方程(12)计算出,根据公式(11),可确定平面 波的慢度向量p.对于在各向异性弱粘弹性介质对 称面内传播的平面波,方程(12)可以分解成一个关 于qP和qSV平面波的复系数四次方程和一个关于 qSH波的复系数二次方程.对于一般传播方向,需 要求解方程(12)才能确定出这3种波的精确解,但 是很复杂,并且此时很难得到解析解.对均匀的平 面波(D一0s/km),由方程(12)可以得到qP波和 qSV及qSH波慢度的解析表达式]. 198吉林大学(地球科学版)第4O卷 2非均匀平面波的慢度摄动和偏振摄动 从非均匀参数D的摄动出发,推导另外一种形 式的摄动公式. 从式(12)可以看出,对于给定方向,l和m的某 种类型的非均匀平面波,沿传播方向的慢度o-是非 均匀参数D的函数,可以写成 0--_(D).(13) 由式(13)可知,慢度的摄动完全是由平面波非均匀 参数D引起的.因此对式(13)应用Taylor展开并 只保留一阶近似,可得 一 .+.(14) 其中: Go—(0), 一 D'l.…) 式中:.表示均匀平面波的慢度,表示非均匀平面 波的慢度. 慢度的变化会引起Christoffel矩阵元素n和 偏振向量元素的摄动,因此有 r一+AF, U一U2+?U.(16) 其中: I1一aPl,(17) —aOklpop.(18) 式中:和【,2分别表示均匀波的Christoffel矩阵 元素和偏振向量元素;和分别表示非均匀波 的Christoffel矩阵和偏振向量元素;?和?L,分 别表示Christoffel矩阵元素和偏振向量元素的一 阶摄动量. 对于非均匀和均匀平面波,式(7)都成立,因此 有 (n一)U一0,(19) (一)U:一0.(2O) 将式(16)代人式(19)并考虑式(2O),仅保留一 阶摄动量得 ?nU+(一如)AU女一0.(21) 式(21)两边乘以,并考虑式(20)及和的对 称性,得 ?UU一0.(22) 另外,根据式(11)和式(14),可得 P—P.+Ap.(23) 其中:P.和P分别表示均匀和非均匀平面波的慢 度,Ap表示慢度摄动量,并且 P.一n, Ap—Aan+iDm.(24) 将式(23)代入式(17),只保留一阶摄动量,并 考虑式(18),可得 — +aljklPAp+nP?Ap,.(25) 因此, ?—aoktPApf+aoktPAp,.(26) 将式(26)代人式(22),并考虑式(24),整理得 a(AanJ+iDmJ)ofuoU一0.(27) 另外根据均匀平面波群速度和相慢度的表达 式: 一aijklp,0u0u, "一(),,(28) 式(27)可以简化成 Aa一一./>o~m.(29) 将式(29)代入式(14),可得非均匀平面波沿传 播方向的慢度公式: — .(1一iDvTm).(30) 进一步地,根据式(3O)和式(11),还可以得到非 均匀平面波的慢度摄动公式: P—.(1一iDv~m)n+iDm.(31) 同样地,采用类似于Cerveny和Psencik的推导过 程",还可以推导出非均匀平面波偏振向量的表达 式: L,一.+兰u.+ .(32)1一 [盯?/?].… 其中: ?'一2a(?+iDm);"..(33) .. , "加 ,,i一1,2,3分别表示3种类型的均 匀平面波(qP,qSV,qSH)的偏振分量,沿传播方向 的慢度,慢度分量;并且上标i一1,2,3对应的波类 型的顺序是任意的. Cerveny和Psencik取参考系为均匀平面波和 完全弹性各向异性介质一r给出了各向异性粘弹性介 质中非均匀平面波慢度和偏振向量的摄动公式『】: 一O.o+Aa,(34) Aa—(C.)(1"1 J o pououo—DvOm), (35) 【,===u.+丁全L,:2).+ 第1期郝奇,何樵登,王德利:用改进的摄动理论研究各向异性弱粘弹性介质中的非 均匀平面波199 臻如,(36)1一[C/Cn]'… . ?"一一女fpop+2aRkf(Aon+iDm). (37) 在式(34—37)中,所有上标带"0"的量对应的都 是完全弹性各向异性介质中的均匀平面波;C"表 示的是均匀平面波的相速度;i一1,2,3表示均匀平 面波的类型,并且顺序是任意的. 将新的摄动公式(29—33)与原有的公式(34, 37)比较会发现,新的摄动公式对于均匀平面波(D 一0)得到的是精确解,而原有的公式得到的是近似 解,并且新的摄动公式在形式上更加简洁. 3数值模拟 根据文献[4],[16-]和[17],给出了一个均匀的 横向各向同性弱粘弹性介质模型,速度各向异性和 品质各向异性Thomsen参数分别为:u叩一3.OO 1.50km/s,,一0.195,一一0.12,7 km/S,us0— 0.1,AD0—0.0l6,A..一0.05,eQ一一0.92,一 一 1.84,yo===0.4.根据公式(3—5)可计算该介质 的刚度系数矩阵.为与Cerveny和Psencik的近似 公式(34—35)比较,对于在此介质模型对称面内传 播的平面波,分别用精确公式(12)和Cerveny和 Psencik的近似公式(34—35)以及新的近似公式 (30)模拟了非均匀程度不同的qP波,qSV波及 qSH波的沿传播向量方向的慢度虚部Im(),见图 1—3.另外,分别用精确偏振公式(7)和Cerveny 和Psencik的近似公式(36—37)以及新公式(32, 33)计算了对D一0s/km和D一0.05s/km时qP 波和qSV波的质点振动,见图4和5.至于qSH 波,它的偏振垂直于纸面,为单位向量,故未给出. 由图1—3可以看出,无论是对均匀还是非均 匀的qP和qsV波,新公式对精确解的近似程度都 要远好于原有的摄动公式.另外对qSH波,新的摄 Im(a)J(s?km)Im()/(skm) 图1qP波虚部Im{~r)极坐标图 Fig.1PolardiagramsofIm(盯)fortheqPwave (a)D一0s/km~(b)D=0.O1s/km~(c)D一0.02s/km~(d)D=0.05s/km~实线.精确解;点划 线.Cerveny等的近似解;点线.新近似解 2OO吉林大学(地球科学版)第4O卷 lm(a)J(s?km1lm(a)J(skm) 图2qSV波虚部Im(盯)极坐标图 Fig.2PolardiagramsofIm(盯)fortheqSVwave (a)D0s/km;(b)D=0.01s/kin;(c)D=0.02s/kin;(d)D=0.05s/km;实线.精确解;点划 线.Cerveny等的近似解;点线.新近似解 竺望篓因此总的来说,新4结论的慢度近似公式要比原有的精确. .一, 从图4可以看出,对均匀平面波(D一0s/km), 尽管原有的近似公式得到的qP和qSV波的质点振 动的近似解非常地接近精确解,但新近似公式得到 的解与精确解完全重合,故比原有的公式更精确. 从图5可以发现,对非均匀qP波(D?0s/km),新 的偏振公式和原有的近似公式的近似效果相近,但 是对非均匀qgV波,新的偏振公式比Cerveny等的 近似公式的近似效果好. 值得一提的是,对于Cerveny和Psencik文中 数值实验部分给出的介质模型(文献[14]中公式 (50)),由于其为很弱的粘弹性介质,笔者得到了和 其相同的近似结果. 根据慢度和偏振的摄动完全是由平面波非均匀 性参数D引起的这一观点,改进了Cerveny和 Psencik提出的计算各向异性弱粘弹性介质中非均 匀平面波慢度和偏振的摄动公式,给出了在形式上 更为简单的关于慢度和偏振的摄动公式.与 Cerveny和Psencik提出的摄动公式相比,对于均匀 平面波(D一0s/kin)新的摄动公式是完全精确的并 且在形式上更为简单.通过数值模拟将精确解与两 种摄动方法得到的近似解综合比较,发现对在各向 异性弱粘弹性介质中的平面波,新的摄动公式可以 完全替代并且优于原有的摄动公式. 第1期郝奇,何樵登,王德利:用改进的摄动理论研究各向异性弱粘弹性介质中的非 均匀平面波201 g . b 暑 E b g lm(a)/(s'km..) lm(a)/(s'km) g . b g E b 妄 Im()/(skm) Im(a)/(s'km) 图3qSH波虚部lm(盯)极坐标图 Fig.3PolardiagramsofIm(盯)fortheqSHwave (a)D一0s/kin;(b)D一0.01s/km;(c)D一0.02s/km;(d)D=0.05s/kin;实线.精确解;点划 线.Cerveny等的近似解;点线.新近似解 0 5 U 图4均匀(D=Os/km)的qP和qSV波的质点运动 Fig.4Comparisonofexactandapproximatepolardiagramsoftheparticlemotioninaplaneofs ymmetryofthemediumfor homogeneouswavedfD----0s/km) (a)qP波;(b)qSV波;实线.精确解;点划线.Cerveny等的近似解;点线.新近似解 202吉林大学(地球科学版)第4O卷 图5非均匀(D----0.05s/km)的qP和qSV波的质点运动 Fig.5Comparisonofexactandapproximatepolardiagramsoftheparticlemotioninaplaneofs ymmetryofthemediumfor homogeneouswaved(D=0s/km) (a)qP波;(b)qSV波;实线.精确解;点划线.Cerveny等的近似解;点线.新近似解 参考文献(References):' [1]何樵登,熊维纲.应用地球物理教程——地震勘探 [M].北京:地质出版社,1991. HEQiao—deng,XIONGWei—gang.Applied geophysicaltutorial—seismicexploration[M]. Beijing:GeologicalPublishingHouse,1991. [2]CervenyV,PseneikI.Planewavesinviscoelastic anisotropicmediaItheory[J].GeophysicalJournal International,2005,161(1):197—212. [3]CervenyV,PsencikI.Planewavesinviscoelastic anisotropicmedia1Inumericalexamples[J]. GeophysicalJournalInternational,2005,161(1):213 — 229. [4]ZhuY,TsvankinI.Plane-wavepropagationinatte— nuationtransverselyisotropiemedia[J].Geophysics, 2006,71(2):T17一T3O. [5]ZhuY,Tsvankin1.Plane-waveattenuationanisotropy inorthorhombiemedia[J].Geophysics,2007,72(1): D9一D19. [6]ThomsenL.Weakelasticanisotropy[J].Ge-ophysics, 1986.51(10):661—672. [7]VavrycukV.Rayvelocityandrayattenuationin homogeneousanisotropicviscoelasticmedia[J]. Geophysics,2007,72(6):D119一D127. [8]CervenyV,PsencikI.Particlemotionofplanewaves inviscoelasticanisotropicmedia[J].RussGeol Geophys,2006,47(5):551—562. [9]VavrycukV.Velocity,attenuation,andqualityfactor inanisotropicviscoelasticmedia:aperturbation method[J].Geophysics,2008,73(5):D63一D73. [1O]CervenyV,PsencikI.Perturbationhamiltoniansin heterogeneousanisotropicweaklydissipativemedia [c]//Seismicwaveincomplex3一Dstructures. Prague:CharlesUniversity,2008:223—244. [11]CervenyV.KlimesI,PsencikI.Attenuationvector inheterogeneous.weaklydissipativeanisotropic media[J].GeophysicalJournalInternational,2008, 175(1):346—355. [12]KlimesI.Second—orderandhigher—orderpertur- bationsoftraveltimeinisotropicandanisotropic media[J].StudiaGeophysicaetGeodaetiea,2002, 46(2):213—248. [13]CervenyV,PsencikI.QualityfactorQindissipative anisotropicmedia[J].Geophysics,2008,73(4):T63 一 T75. [142CervenyV,PsencikI.Weaklyinhomogeneousplane wavesinanisotropic,weaklydissipativemedia[J]. GeophysicalJournalInternational?2008,172(2): 663—673. [15]CervenyV.Seismicraytheory[M].Cambridge: CambridgeUniversityPress,2001. [16]TsvankinI.Seismicsignaturesandanalysisof reflectiondatainanisotropicmedia[M].NewYork: ElsevierSciencePublicationCorporation,2001. [17]ZhuY,TsvankinI,DewanganP,eta1.Physical modelingandanalysisofP—waveattenuation anisotropyintransverselyisotropiemedia[J]. Geophysics,2007,72(1):D1一D7.