利用导数研究函数单调性和求极值、最值
一、基础知识回顾:
1. 求函数的单调区间的方法: (1)求导数
; (2)解方程
;
(3)使不等式
成立的区间就是递增区间,使
成立的区间就是递减区间。
2. 求函数
的极值的方法:
(1)求导数
; (2)求方程________的根(临界点);
(3)如果在根
附近的左侧
____0,右侧
____0,那么
是
的极大值;
如果在根
附近的左侧
____0,右侧
____0,那么
是
的极小值
3.在区间
上求函数
的最大值与最小值 的步骤:
(1)求函数
在
内的导数 ; (2)求函数
在
内的极值 ;
(3)将函数
在
内的各极值与端点处的函数值
作比较,
其中最大的一个为最大值 ,最小的一个为最小值
二、例
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
分析:
(一)基础题型
例1.如果函数
的图像如右图,那么导函数
的图像可能是( )
例2. 曲线
的单调减区间是( )
A.
; B.
; C.
及
; D.
及
;
例3.若函数
在
处取极值,则
例4. 函数
的定义域为开区间
,导函数
在
内
的图象如图所示,则函数
在开区间
内有极小值点 _个
、
例5.若
有极值,则
的取值范围是 .
例6.已知函数
在区间
上的最大值与最小值分别为
,
则
.
(二)典型题型
例7.已知函数
是奇函数.
(Ⅰ)求
的值; (Ⅱ)求函数
的单调区间.
变式1.设函数
.
(Ⅰ)若曲线
在点
处与直线
相切,求
的值;
(Ⅱ)求函数
的单调区间与极值点.
(Ⅲ)若
且
在
处取得极值,直线y=m与
的图象有三个不同的交点,
求m的取值范围。思考:若是有1个不同的交点呢? 2个不同的交点呢?
例8.已知函数
(1) 求函数
,在区间
上的最大值和最小值.
(2) 若在区间
上,恒有
,求
的取值范围.
(3) 若在区间
上,恒有
,求
的取值范围.
变式1.已知
是实数,函数
.
(Ⅰ)若
,求
的值及曲线
在点
处的切线方程;
(Ⅱ)求
在区间[0,2]上的最大值。
(三)练习
1.设
,若
,则
( )
A.
B.
C.
D.
2.已知对任意实数
有
,
,且
时,
,
则
时( )
A.
,
B.
,
C.
,
D.
,
3.已知函数(x)的图象如右,则′(x)的图象(如下)可能为( )
(A) (B) (C) (D)
4.设
,若函数
,
有大于零的极值点,则( )
A.
B.
C.
D.
5.函数
在下面哪个区间内是增函数( )
(A)(
,
) (B)(
,2
) (C)(
,
) (D)(2
,3
)
6.函数
有极值的充要条件是( )
A.
; B.
; C.
; D.
7.函数
的单调递减区间是 .
8.已知函数
在点
处取得极大值
,其导函数
的图象经过点
,
,如图所示.求: (Ⅰ)
的值;(Ⅱ)
的值.
9.、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)=ex-e-x-2x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设g(x)=f(2x)-4bf(x),当x>0时,g(x)>0,求b的最大值;
0.(2013年高考课标Ⅰ卷))
已知函数
,曲线
在点
处切线方程为
.
(Ⅰ)求
的值;
(Ⅱ)讨论
的单调性,并求
的极
大值.