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（曲线运动与万有引力）知识点总结+经典题型
四、曲线运动 (轨迹是一条曲线的运动)
1( 曲线运动速度特点:质点在某一点(或某一时刻)的速度的方向是在轨迹曲线的这一点
的切线方向。所以曲线运动中速度的方向是时刻改变的。因此任何一个曲线运动都是变
速运动。
2( 质点在曲线运动中都具有加速度，质点一定受到合外力的作用。
物体做曲线运动的条件:速度方向与合力的方向不在同一直线上;加速度的方向跟速度方向也不在同一直线上。
3(运动的合成与分解:运动的合成和分解是指位移的合成与分解及速度、加速度的合成与分解。都遵循平行四边形法则。
***一般说来，两个直线运动的合成运动，并不一定都是直线的。
几点说明:
? 掌握运动的合成和分解的目的在于为我们提供了一个研究复杂运动的简单
方法
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。
? 物体只有同时参加了几个分运动时，合成才有意义，如果不是同时发生的分运动，则合成也就失去了意义。
? 当把一个客观存在的运动进行分解时，其目的是在于研究这个运动在某个方向的
表
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现。
? 处理合成、分解的方法主要有作图法和计算法。计算法中有余弦定理计算、正弦定理计算、勾股定理计算及运用三角函数等。
4(平抛运动: ? 物体只在重力作用下，初速度沿水平方向的抛体运动叫平抛运动。? 平抛运动可以看作是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动。 5(平抛运动的特点:(1)加速度a=g恒定，方向竖直向下。所以平抛运动是匀变速运动。(2)运动轨迹是抛物线。
(轨迹方程)
这是一个抛物线方程。
(3)平抛物体在t秒末时的水平分速度v和竖直分速度v分别为v=v，v=gt xyx0y
vy22(v，v) v= tanθ= a.求出合速度的大小和方向 θ角xyvx
b.求出合位移的大小和方向 φ角
12 位移公式:x=vt y=gt02
tanθ=2 tanφ 2y2 s= tanφ= ，yxx
c.平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于
水平位移的一半(中点)。
证明:设时间t内物体的水平位移为s，竖直位移为h，则末速度的水平分量v=v=s/t，而x0
hsv2hy,竖直分量=2， ， 所以有 vh/tys,,tan,,,tan,2vsx
6.斜抛运动处理方法类似于平抛运动，即将斜抛运动分解成水平和竖直两个方向上的分运动来研究。特别提示:斜抛运动到最高点的过程可反过来看着平抛运动～ 7(圆周运动:质点运动轨迹为一个圆，即质点做圆周运动。
线速度:物体在某时间内通过的弧长与所用时间的比值，其方向在圆周的切线方向上。
l 表达式: v,t
角速度:物体在某段时间内通过的角度与所用时间的比值。
, 表达式:，其单位为弧度每秒，。 ,rad/s,t
周期:匀速运动的物体运动一周所用的时间。
1f,频率:，单位:赫兹(H) ZT
线速度、角速度、周期间的关系:v,2,.r/T,,,2,/T,v,r,。
,2,2,srω===2πn v===2πrn (其中n为转速)TtTt
224r,2v向心加速度: a=ωr===ωv方向总与运动方向垂直。 2rT
224r,2v向心力:F=ma=mωr=m=m=mωv 方向总与运动方向垂直。 n2rT
8(匀速圆周运动:(1)质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的圆弧长度都相等，这种运动就叫做匀速圆周运动。
注意:a.匀速圆周运动不是匀速运动, 是变速运动，是曲线运动,因为速度方向不断变化，大小不;b.不是匀加速运动，而是变加速运动，因为线速度方向时刻在变化，向心加速度方向时刻沿半径指向圆心，时刻变化。
速圆周运动中，角速度ω、周期T、转速n、速率、动能是不变的物理量。
线速度v、加速度a、合外力F、动量P是不断变化的物理量。 (2)做匀速圆周运动的物体，加速度方向指向圆心，这个加速度叫向心加速度。
2v2,,,22a,,r,.r大小:, ,,nrT,,
方向:指向圆心。
向心加速度是描述匀速圆周运动中物体线速度变化快慢的物理量
向心力即产生向心加速度的力。
(3)向心力的方向:指向圆心，与线速度的方向垂直。
22向心力的大小:做匀速圆周运动所需的向心力的大小为F,m,r,mv/r
向心力的作用:只改变速度的方向，不改变速度的大小。
向心力是效果力。在对物体进行受力分析时，不能认为物体多受了个向心力。向心力是物体受到的某一个力或某一个力的分力或某几个力的合力.
必须强调指出:
使物体做匀速圆周运动的向心力，不是什么特殊的力，任何一种力或几种力的合力，只要它能使物体产生向心的加速度，它就是物体所受的向心力。
8. 生活中的圆周运动
(1)凡是直接用皮带传动(包括链条传动、摩擦传动)的两个轮子，两轮边缘上各点的线速度大小相等;凡是同一个轮轴上(各个轮都绕同一根轴同步转动)的各点角速度相等(轴上的点除外)。
2(2)离心运动: F,(即实际提供的向心力小于需要的向心力，此时做离心运动) m,r
(3)竖直面内圆周运动最高点处的受力特点及分类
由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力;而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。
F ?弹力只可能向下，如绳拉球。这种情况下有 F 绳 G 2G mvF，mg,,mg R
即，否则不能通过最高点。 v,gR
v,gR***只能提供拉力，物体通过最高点的条件:
2mvmg,F,,mg,？v,gR?弹力只可能向上，如车过桥。在这种情况下有:，否R
则车将离开桥面，做平抛运动。
***只能提供支持力，物体通过最高点的条件: 0,v,gR
?弹力既可能向上又可能向下，如管内转(或杆连球、环穿珠)。这种情况下，速度大小v可以取任意值。但可以进一步讨论:?当时物体受到的弹力必然是向下的;当v,gR
时物体受到的弹力必然是向上的;当时物体受到的弹力恰好为零。?当v,gRv,gR
弹力大小F
mg时，向心力只有一解:F +mg;当弹力F=mg时，向心力等于零。
v,0***既能提供支持力，又能提供拉力的物体通过最高点的条件: 五、万有引力
1( 开普勒第一定律:所有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳是在这些椭圆的一个焦点上。
开普勒第二定律:对每个行星来说，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
开普勒第三定律:所有行星的椭圆轨道的长半轴的三次方跟公转周期的平方的比
3R ,常数(K)2T
值都相等。 即:
2.万有引力定律:
1、内容:任何两个物体都是互相吸引的，引力的大小跟两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。这就是万有引力定律。
mm12 2、公式 FG,2R
应注意:
,1122GNmKg,，66710./? (1)公式中G称作万有引力恒量，经测定。
(2)公式中的R为质点间的距离。对于质量分布均匀的球体，可把它看做是质量集中在球心的一个点上。
,1122GNmKg,，66710./? (3)从可以看出，万有引力是非常小的，平时很难觉察，所以它的发现经历了对天体(质量特别大)运动的研究过程。
3(万有引力恒量的测定:
自牛顿发表万有引力定律以来，人们试图在实验中测出引力的大小，其目的在于给“万有引力定律”进行鉴别和检验。因为没有被实验验证的理论
总是空洞的理论，更无实际意义。
英国物理学家卡文迪许承担了这样一项科学难题，他发
挥了精湛的实验才能，取得了极其精确的结果。
m 实验装置是用的扭秤(如右图所示)，秤杆长2.4，
两端各置一个铅质球，再用另外两个球靠近，研究它们
的引力规律。
实验原理是用力矩平衡的道理。
实验结果:首先验证了万有引力的正确性。另外测定了万有引力恒量为:
,1122GNmKg,，67510./?
目前万有引力恒量的公认值为:
,1122GNmKg,，6672010./?
小结:
a、万有引力定律的发现，绝不是牛顿一人的成果。它是人类长期研究奋斗的结果，甚至有人献出了宝贵的生命。
b、万有引力定律的确立，并不是在1687年牛顿发表之时，而应是1798年卡文迪许完成实验之时。
mm12 c、万有引力定律的公式: 只适用于质点间的相互作用。这里的“质点”FG,2r
，这两种要求是质量分布均匀的球体，或是物体间的距离r远远大于物体的大小drd(),,情况。
d、运用万有引力定律解决具体问题时，要特别注意指数运算。
20,1122 e、在计算过程中，如果要求精度不高，可取来运算，这GNmKg,，?/103
样可使计算简化。
mm,112212，G,6.67，10N,m/kg 4(万有引力定律F,G2r
适用于两个质点、一个质点和一个均匀球、两个均匀球。
224rGMGMMmM,2vG= ma=mωr=m=m ==》 a=G v= ω= 2322rrTrrr
3
rT=2π GM
(1)用万有引力定律求中心星球的质量和密度
当一个星球绕另一个星球做匀速圆周运动时，设中心星球质量为M，半径为R，环绕星
球质量为m，线速度为v，公转周期为T，两星球相距r，由万有引力定律有:
22223GMmmv2,vr4,r,,，可得出 ,,M,,mr,,22GGTrTr,,
(2) 万有引力和重力的关系: 一般的星球都在不停地自转，星球表面的物体随星球自转需要向心力，因此星球表面上的物体所受的万有引力有两个作用效果:一个是重力，一个是向心力。星球表面的物体所受的万有引力的一个分力是重力，另一个分力是使该物体随星球自转所需的向心力。即 F,G，fn
5. 人造卫星(只讨论绕地球做匀速圆周运动的人造卫星)和星球表面上的物体不同，人造卫星所受的万有引力只有一个作用效果，就是使它绕星球做匀速圆周运动，因此万有引力等于向心力。
?人造卫星的线速度和周期。人造卫星的向心力是由地球对它的万有引力提供的，因此有:
22GM1GMmmv2,,,，由此可得到两个重要的结论:和v,,,,mr,,2rrTrr,,
3r3。可以看出，人造卫星的轨道半径r、线速度大小v和周期T是一一对T,2,,rGM
应的，其中一个量确定后，另外两个量也就唯一确定了。离地面越高的人造卫星，线速度越小而周期越大。
?近地卫星。近地卫星的轨道半径r可以近似地认为等于地球半径R，又因为地面附近
RGM33，所以有。它们分别是绕v,gR,7.9，10m/s,T,2,,5.1，10s,85ming,2Rg
地球做匀速圆周运动的人造卫星的最大线速度和最小周期。
?同步卫星。“同步”的含义就是和地球保持相对静止(又叫静止轨道卫星)，所以其周期等于地球自转周期，既T=24h，根据?可知其轨道半径是唯一确定的，经过计算可求得同步
7卫星离地面的高度为h=3.6×10m?5.6R(三万六千千米)，而且该轨道必须在地球赤道地
的正上方，卫星的运转方向必须是由西向东。
6. 第一宇宙速度(环绕速度): ; v,7.9km/s
是指物体紧贴地球表面作圆周运动的速度(也是人造地球卫星的最小发射速度)。
第二宇宙速度(脱离速度):; v,11.2km/s
是指物体完全摆脱地球引力束缚，飞离地球的所需要的最小初始速度。
第三宇宙速度(逃逸速度):。 v,16.7km/s
是指在地球上发射的物体摆脱太阳引力束缚，飞出太阳系所需的最小初始速度。 脱离速度是指物体达到11.2千米/秒的运动速度
时能摆脱地球引力束缚的一种速度。在摆脱地球
束缚的过程中，在地球引力的作用下它并不是直
线飞离地球，而是按抛物线飞行。脱离地球引力
后在太阳引力作用下绕太阳运行。若要摆脱太阳
引力的束缚飞出太阳系，物体的运动速度必须达
到16.7千米/秒。那时将按双曲线轨迹飞离地球，
而相对太阳来说它将沿抛物线飞离太阳。
会求第一宇宙速度:
2MmvG,m卫星贴近地球表面飞行 2RR
Mm地球表面近似有 G,mg2R
则有 v,gR,7.9Km/s
7(经典力学的局限性
牛顿运动定律只适用于解决宏观、低速问题，不适用于高速运动问题，不适用于微观世界。
第四章 圆周运动错题集
错解分析
在本章知识应用的过程中，初学者常犯的错误主要表现在:对物体做圆周运动时的受力情况不能做出正确的分析，特别是物体在水平面内做圆周运动，静摩擦力参与提供向心力的情况;对牛顿运动定律、圆周运动的规律及机械能守恒定律等知识内容不能综合地灵活应用，如对于被绳(或杆、轨道)束缚的物体在竖直面的圆周运动问题，由于涉及到多方面知识的综合，表现出解答问题时顾此失彼。
例1 假如一做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍做圆周运动，则( ) (C，D)
A(根据公式v=ωr，可知卫星运动的线速度增大到原来的2倍。
D(根据上述选项B和C给出的公式，可知卫星运动的线速度将减
解析:卫星绕地球运动近似看成圆周运动，万有引力提供向心力，由此将
根据以上式子得出
例2 一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R(比细管的半径大得多)，圆管中有两个直径与细管内径相同的小球(可视为质点)。A球的质量为m， B球的1质量为m。它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v。设A球运动到最低点20
时，球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m，m，R与v应满120足关系式?
例3 从地球上发射的两颗人造地球卫星A和B，绕地球做匀速圆周运动的半径之比为R?R=4?1，求它们的线速度之比和运动周期之比。(1:2 8:1) AB
【评析】我们在研究地球上的物体的运动时，地面附近物体的重力加速度近似看做是恒量。但研究天体运动时，应注意不能将其认为是常量，随高度变化，g值是改变的。
例4 使一小球沿半径为R的圆形轨道从最低点上升，那么需给它最小速度为多大时，才能使它达到轨道的最高点,
例5 用长L=1.6m的细绳，一端系着质量M=1kg的木块，另一端挂在固定点上。现有一颗质量m=20g的子弹以v=500m,s的水平速度向木块中心射击，结果子弹穿出木块后以12v=100m,s的速度前进。问木块能运动到多高,(取g=10m,s，空气阻力不计) 2
【错解】在水平方向动量守恒，有
mv=Mv+mv (1) 12
式?中v为木块被子弹击中后的速度。木块被子弹击中后便以速度v开始摆动。由于绳子对木块的拉力跟木块的位移垂直，对木块不做功，所以木块的机械能守恒，即
h为木块所摆动的高度。解?，?联立方程组得到
v=8(v/s)
h=3.2(m)
【错解原因】这个解法是错误的。h=3.2m，就是木块摆动到了B点。如图4-3所示。则它在B点时的速度v。应满足方程 B
这时木块的重力提供了木块在B点做圆周运动所需要的向心力。解
如果v,4 m/s，则木块不能升到B点，在到达B点之前的某一位置以某一速度开始做B
斜向上抛运动。而木块在B点时的速度v=4m/s，是不符合机械能守恒定律的，木块在 B点B
时的能量为(选A点为零势能点)
两者不相等。可见木块升不到B点，一定是h,3.2 m。
实际上，在木块向上运动的过程中，速度逐渐减小。当木块运动到某一临界位置C时，如图4,4所示，木块所受的重力在绳子方向的分力恰好等于木块做圆周运动所需要的向心力。此时绳子的拉力为零，绳子便开始松弛了。木块就从这个位置开始，以此刻所具有的速度v作斜上抛运动。木块所能到达的高度就是C点的高度和从C点开始的斜上抛运动的最c
大高度之和。
【分析解答】 如上分析，从式?求得v=v=8m/s。木块在临界位置C时的速度为v，Ac高度为
h′=l(1+cosθ)
如图所示，根据机船能守恒定律有
木块从C点开始以速度v做斜上抛运动所能达到的最大高度h″为 c
【评析】 物体能否做圆运动，不是我们想象它怎样就怎样这里有一个需要的向心力和提供向心力能否吻合的问题，当需要能从实际提供中找到时，就可以做圆运动。所谓需要就是符合牛顿第二定律F=ma的力，而提供则是实际中的力若两者不相等，则物体将做向向向
心运动或者离心运动。
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