案例：抛物线的定义
1案例:抛物线的定义
(一)从已有概念出发
F教师出示问题1:平面内，与一个定点和一条定直线的距离的比是常数l
()的点的轨迹是什么曲线,(投影片打出)教师先让学生独立思考，然e,0
后师生一起归纳结论:
(1)时轨迹是椭圆; 01,,e
(2)时轨迹是双曲线( e,1
教师:是否有补充意见,或者说除了以上两种曲线外，还有其他可能性吗, 这时，学生才意识到的情形遗漏了～教师强调，对问题的讨论要全面，并要e,1
求学生对该问题当时重新
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
述，然后板书在黑板上( e,1
F板书:平面内，与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是什么曲l
线,
教师:这样的轨迹是否存在,轨迹的形状是什么,它的方程是什么,(板书)这就是我们所要研究的问题(
(二)探求轨迹的存在性
问题2:轨迹是否存在,你通过什么方法加以验证,
这时教师并不急于引导，而是要求学生先独立思考，然后分组讨论(很快就有六个小组认为找到了验证存在性的方法，教师与他们分别进行了交流，并要求其中两个小组的代表发言(
FKFK小组1:过作，垂足为，取线段FKl,
的中点为，则就是轨迹上的一点，因此轨迹OO
是存在的(图1).
'F小组2:以为中点作线段MMFK,，使
''M||||||MFMFFK,,，则，都为轨迹上的点M
(图2).
''OMM,,MM,教师:这样我们已经发现了轨迹上的三个特殊点:，并且是
FK关于的对称点(
1 石生民(
高中数学
高中数学选修全套教案浅谈高中数学教学策略高中数学解析几何题型高中数学10种解题方法高中数学必修4知识点
课例点评[M](西安:陕西师范大学出版社，2008年，第77-81页
这时，一个小组认为该轨迹不但存在，而且一定是轴对称图形，对称轴为直FK线(教师对这一发现非常赞赏，学生们的脸上显露出成功的喜悦，教师把这些特征做了板书((10分钟)
(三)描绘出轨迹的图形，给出定义
问题3:既然轨迹是存在的，那么它是什么形状,我们能否像椭圆、双曲线一样也用工具描绘出来呢,
教师让学生用课前就准备好的纸板、图钉、拉线、直尺以及三角板等工具，寻求画轨迹的方法，并在小组内协作进行(学生显然遇
到了很大的困难，5分钟过去了，没有一个小组找到办
法(教师只好让学生停下来，并用较快的速度介绍画法
(显然是有点焦急了，因为后面还有许多教学任务等待
完成)，然后让学生按要求进行操作，多数小组画出了轨
迹的图形(图3)(
P教师:请大家考虑，点在运动过程中是否满足了轨迹的条件，并加以说明(
学生:符合条件，由于绳长等于，即，所||||||||||ACAPPFAPPC,，,，AC
PPFP以，即点到直尺的距离，因此点到定点的距离等于点||||PCPF,||PCl
到定直线的距离，符合轨迹的条件. l
接着，教师又用几何画板演示轨迹的描绘过程(图4):
M用鼠标拖动点在直线上滑动，则点描绘出轨迹，并Nl
让学生留意与的长度始终保持相等( ||MN||MF
教师:至此，我们不仅明确了轨迹的存在性，还描绘
出了轨迹的完整图形，这条轨迹在以前的学习中我们已经
学过了，如果将图板旋转90?像什么,
学生:抛物线(
教师:对，是抛物线，这样我们建立了抛物线的定义(
F板书:平面内，与一个定点和定直线距离相等的点的轨迹叫做抛物线，l
F点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线((20分钟) l
2yx,(四)的图象与抛物线定义
2yx,问题4:初中学习的函数的图象符合抛物线定义吗?
是否能加教师:以前学习时我们是默认的, 现在已经对抛物线进行了定义, 以证明?
2yx,学生:只要证明函数图象上的任意一点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离相等即可.
教师: 很好～到一个定点的距离与它到一条定直线的距离相等是定义的本质属性，也是判断一条曲线是否为抛物线的
标准
excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载
. 请大家按照这一想法进行证明.
但是, 学生却无从入手. 教师做出提示:应先设出图象上的任意一点、定点的坐标及定直线的方程，才能进行数学证明. 这时，一部分学生已经开始证明了. 很快，有的学生表示已经完成了证明，教师要求各小组进行交流后，将一种典型方法用实物投影显示.
22yx,Pxx(,)证明:设为图象上的任意一点，为定点，为Fm(0,)lym:,,定直线.
22222(41)0mx,,令xxmxm，,,，()||，两边平方并整理，得.
1?，?，?. xR,410m,,m,4
112yx,因此函数图象上任意点与和定直线的距离相等，显然是抛F(0,)ly:,,44
物线.
2yaxx,,(0)教师:类似地，可以证明函数的图象也一定是抛物线，随着学习的深入，我们将能证明任何二次函数的图象都是抛物线.
(五)巩固定义
教师投影
F(1)如图5，已知定直线及定点，定直线上有一动l
点，过垂直于的直线与线段的垂直平分线相交于NNlNF
MM点，则点的轨迹是什么形状的曲线,
M(2)点与F(4,0)的距离比它到直线的距lx:50，,
M离小1，点的轨迹是什么形状的曲线,
22MCxy:(3)1,，,(3)已知圆，动圆与圆外切且与轴相切(图6)，yC
M的轨迹是什么形状的曲线,
对于第(1)题，大部分学生没有遇到太大的困难(这时教师指出，刚才利用几何画板描绘抛物线，其制作原理就是利用了本题的条件(紧接着，教师打开了文件的所有隐藏，向学生加以说明，这时学生表现出了浓厚的兴趣(
对于第(2)题，学生很快认识到，若将向右平移一个单位得到直x，,50
MF线，那么点与的距离与它到直线的距离相等，符合抛物线x，,40x，,40
M的定义，的轨迹是抛物线.
对于第(3)题，相当一部分学生产生了困难，教师不急于提示，而是坚持让他们在小组内互相交流，探讨问题的思路，几分钟后基本解决了.
教师进一步强调:轨迹的形状判断，要紧扣定义，并充分运用平面图形的几何性质，有时还要对条件进行必要的转化，使之符合抛物线的定义((35分钟) (六)抛物线与椭圆、双曲线的比较
教师:现在我们回到问题1上来，通过以上的研究我们得到了较为完美的结果:
(1)当时，轨迹为椭圆; 01,,e
(2)当时，轨迹为双曲线; e,1
(3)当时，轨迹为抛物线. e,1
这恰恰表现出数学的和谐美，我们可以想象:如果
把他们放在一起会是什么情景呢,请看投影(图7).由
||MFC于，根据以上三种不同取值，容易发现为椭e,1d
C圆，为抛物线，为双曲线的右支. 由此看来，这三C2
种曲线有着其内在的必然联系.
教师让学生翻到教材第90页的章首图，指出:垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，得到的截面是一个圆.如果改变平面与圆锥轴线的夹角，会得到一些不同的图形，本图所示的分别是椭圆、双曲线、抛物线等，其中当截面平行于轴时，所得的图形就是抛物线. 因此，通常把椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线.这时已经是45分钟了，看来最后小结只好拖堂了. 但是，学生的表情仍然表现得
全神贯注～尽管如此，教师也要做课堂小结了(
(七)课堂小结
教师:我们今天学习了抛物线的定义，主要经历了下列过程:(投影)
但是，所有这些仅仅是定性研究，这还远远不够，根据解析几何的基本思想，还需要建立抛物线的方程，并通过方程研究它的性质，这就是我们下一节课的任务.
浙公网安备 33021202002483