姓名：
彭攀
年级：
初一
上课时 间
＿年 ＿月＿日
＿时＿分至＿时＿分
上 课
内 容
（1）
（2）
“数形结合”在
初中数学
初中数学教师发展规划初中数学教师年度考核初中数学的教学计划初中数学有理数计算题初中几何辅助线秘籍
中的运用
一、以数助形
“数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系的．体现在数学解题中， 包括“以数助形”和“以形助数”两个方面．“数”与“形”好比数学的“左右腿”．全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会．此外还应该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充．“数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非．”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要，“数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的地位．
要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等．
例1．已知平面直角坐标系中任意两点和之间的距离可以用公式计算．利用这个公式计算原点到直线的距离．
例2．已知的三边长分别为、和（m、n为正整数，且）．求的面积（用含m、n的代数式
表
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示）．
例3．直线与抛物线相交，两交点的横坐标分别为、，直线与x轴的交点的横坐标为．求证：．
二、以形助数
几何图形具有直观易懂的特点，所以在谈到“数形结合”时，更多的老师和学生更偏好于“以形助数”，利用几何图形解决代数问题，常常会产生“出奇制胜”的效果，使人愉悦．几何直观运用于代数主要有以下几个方面：
（1）利用几何图形帮助记忆代数公式，例如：
正方形的分割图可以用来记忆完全平方公式；
将两个全等的梯形拼成一个平行四边形可以用来记忆梯形面积公式；等等．
（2）利用数轴或坐标系将一些代数表达式赋予几何意义，通过构造几何图形，依靠直观帮助解决代数问题，或者简化代数运算．比如：
绝对值的几何意义就是数轴上两点之间的距离；
数的大小关系就是数轴上点的左右关系，可以用数轴上的线段表示实数的取值范围；
互为相反数在数轴上关于原点对称（更一般地：实数与在数轴上关于对称，换句话说，数轴上实数关于的对称点为）；
利用函数图像的特点把握函数的性质：一次函数的斜率（倾斜程度）、截距，二次函数的对称轴、开口、判别式、两根之间的距离，等等；
一元二次方程的根的几何意义是二次函数图像与轴的交点；
函数解析式中常数项的几何意义是函数图像与轴的交点（函数在时有意义）；
锐角三角函数的意义就是直角三角形中的线段比例．
例5．已知正实数，求的最小值．
例6．已知，，求证：．
例7．求函数的最小值．
例8．若关于x的方程的两根都在－1和3之间，求k的取值范围．
例9．若，且，求证：方程有两个相异实数根．
例10．已知：对于满足的所有实数p，不等式恒成立，求x的取值范围．
初三数学
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“数形结合”习题
1．设，则直线与抛物线的位置关系是（ ）．
A．有两个不重合的交点 B．有且只有一个公共点
C．没有公共点 D．无法确定
2．在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是（ ）．
A．3、3、 B．、、
C．8、15、17 D．3.5、4.5、5.5
3．文具店、
书
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店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20米处，玩具店位于书店东边100米处，小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了－60米，此时小明的位置在（ ）．
A．玩具店 B．文具店
C．文具店西边40米 D．玩具店东边－60米
4．已知实数a、b在数轴上的对应点依次在原点的右边和左边，那么（ ）．
A． B． C． D．
5．函数的最小值为（ ）．
A．8 B．5 C．3 D．2
6．已知函数和的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）．
A． B． C． D．
6题图 7题图
7．如图所示，在中，，点D在BC上，，，，则 ， ．
8．在数轴上数a和3的对应点分别为点A和点B，点A到原点的距离为1.5，则点A关于点B的对称点所对应的数是 ．
9．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面4米，桥下的水深为2米．为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米．问水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？
10．如图，已知内接于圆O，AD是圆O直径交BC于E．求证：．
11．如图所示，已知矩形AOBC中，以O为坐标原点，OB、OA分别在x轴、y轴上，A（0，4），，以AB为轴对称后，使C点落在D点处，求D点坐标．
12．已知两点A（x1，y1）和B（x2，y2），线段AB中点坐标可用公式（，）计算．现已知M（－1，2），N（5，14）．
（1）计算MN中点的坐标；
（2）试研究：怎样不画图计算出线段MN的两个三等分点的坐标？
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