【doc】基于Box-Jenkins预报的Kalman滤波算法研究
基于Box-Jenkins预报的Kalman滤波算法
研究
第28卷第2期
V01.28No.2
文章编号:1007—1180(2011)02—0029—04
基于BoX—Jenkins预报的Kalman
滤波算法研究
李
(92941部队96分队,
鹏
辽宁葫芦岛125001)
摘要:提出了一种基于Box—Jenkins预报的自适应Kalman滤波算法,该方法具有数值稳定性好,存储量小
的优点,克服了发散的缺点,具有较强的自适应性.理论分析和仿真结果均证明,该方法是可行有效的.
关键词:实时数据处理;Box-Jenkins预报;Kalman滤波
中图分类号:TP391文献标识码:A
DOI:10.3788/OMEI20l12802.0029
ResearchofKalmanFilteringAlgorithmbasedonBox-JenkinsPrediction
LIPeng
(Army92941Brigade96,Huludao125001,China) Abstract:ThispaperputsforwardanadaptiveKalmanfilteringalgorithmbasedonBox—Jenkinsprediction,which
hastheadvantageofhighnumericalstabilityandlessstorage.Itovercomesthedisadvantageo
femanation,andhas
theadaptability.Thismethodisprovedbythetheoreticalanalysisandsimulationresult.
Keywords:reahimedataprocess;Box-Jenkinsprediction;Kalmanfiltering
1引言
Kalman突破经典Wiener滤波理论和方法的局限
性,提出了时域上的状态空间方法,即Kalman滤波,
适合处理多变量系统和信号估计问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
.而且理论体
系比较完善,许多理论被相继提出,如动态自适应
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第28卷第2期 V0l_28No.2
Kalman滤波[1--3],扩展Kalman滤波等等.Kalman滤 波技术是一组以递推关系给出的随机系统状态最优 线性滤波算法,在目标跟踪,随机控制,过程监控 和故障诊断等诸多领域中有着十分广泛的应用. Kalman最优预报是基于现在和过去观测历史预报未 来的线性最小方差预报.但在实际应用中,在多步 预报和滤波同时计算的情况下,多步预报将花费比 滤波多倍的时间,在大多数情况下不能实时实现. 为解决这个问题.本文提出采用Kalman一步最优预 报来构造预报误差方程,用Box—Jenkins递推预报进 行多步位置预报,并力求得到与Kalman最优预报同 样精确的线性最小方差预报.
2自适应kalman滤波
Kalman滤波是一个不断地预测,修正的递推过 程,由于其在求解时不需要贮存大量的测量数据, 并且当得到新的测量数据时.可随时算得新的参数 滤波值,便于实时地处理测量结果.Kalman滤波常 用离散化模型来描述系统状态.
设n维线性动态系统与m维线性观测系统由下 列差分方程组描述:
f硼)=,k-1)X(k一1)+w一1)…
【y()=日@(k)+V(k)k=l,2,…
其中?为n维向量,
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示系统在第时刻的
状态.(,k一1)是一个nxn阶矩阵,称为系统状态 转移矩阵,它反映了系统从第一个一1个采样时刻 的状态到第k个采样时刻的状态的变换. W1是一个n维向量,表示在第k时刻作用于 系统的随机干扰,称为模型噪声.一般假设W)为 高斯白噪声序列,具有已知的零均值和协方差阵.
y()为m维的观测向量.
日(为nxm阶的观测矩阵,表示从状态量x(k) 到观测量y(1的转换.:
()为m维的观测噪声.同样假设()为高斯 白噪声序列,具有已知的零均值和协方差阵R(). 经推导得到如下的滤波递推公式:
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G()=P()日()[日(()日()_r+R()](2) ^^^
X(k)--~(k,k-1)X一1)+G()[y()-H((后,k-1)X(k-1)]
(3)
C():[1—G()H(()(4)
P(+1)=(+1,)c()P()(+l,k)T+O(后)rr(5) 其中,Q()为nXrt阶的模型噪声W()的协方差阵; ()为mxm阶的观测噪声()的协方差阵;C()为 R,Xn阶的估计误差协方差阵;()为凡维向量第k时 刻经滤波后的估值;G()为nxm阶的增益矩阵. 根据上述公式,可以从(砂】,eo(给定)
出发,利用已知矩阵Q(后),R(),.,(),,一1)及 时刻的观测值y(1,递推地算出每个时刻的状态 估计.
在
工程
路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理
实际中,状态方程和观测方程都可近似 认为是线性的并都已知,但动态噪声和观测噪声的
统计特性却是未知的.为此,可采用Sage自适应滤波(又称为极大后验估计器).根据每次测'出的更新
信息,推算出动态噪声和观测噪声的统计特性,并 使滤波器成为最优,这就是Sage自适应滤波的思路. Sage自适应滤波是当噪声的均值Q(),,()和协 方差Q(),R()未知时,利用预测残差和观测残差 求每一时刻估计动态噪声和观测噪声的均值及其协 方差.Sage自适应滤波就是基于观测值求得状态估 值,并由极大后验估计原理,得到极大后验估值分 别为:
(1)=1/(1)((K+l/K+1)--O:~(K/K)](6)-
Q1)=1/1)嘶(11)s11)+
P(K+I/K+i)--O(K)P(K/K)OT(K)](7)
r(1)=1/(1)(+l,(1)?日X()](8)
(K+I)=I/(K+I)[KR(帕(+l(K+I)-HP(K+I/K)Ha]
(9)
(9)式与Kalman滤波基本公式可交替估计噪 声和状态,但在滤波公式中,需要前一时刻的噪声 估值替代.,
由上述滤波方法可见,若对动态噪声和观测噪 第28卷第2期
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声的统计特性有比较好的了解,即初始值g.,r0, Q0,风的给定比较接近于真实情况,则该滤波方法 不易发散,效率高.
3自校正Box—Jenkins递推预报
Kalman最优预报是基于现在和过去观测历史预 报未来的线性最小方差预报.但在实际应用中,在 多步预报和滤波同时计算的情况下,多步预报将花 费比滤波多倍的时间.为解决这个问题,我们拟采 用Kalman一步最优预报来构造预报误差方程.用
Box-Jenkins递推预报进行多步位置预报.并力求得到 与Kalman最优预报同样精确的线性最小方差预报. 3.1预报误差模型的建立
由Kalman最优预报理论可知,状态+1)的最 优预报递推公式为:
(l=(,_1)+Gg(K)+K(K)[Y(K)-HX(K/K-1)]
K(K)---~P(K/K-1)ttr[HP(K/K+I)Hr+R(K)](10)
P(l=[K(^:)『]P(1)—QGT
定义新消息为:
^
(=y(-HX(K/K-1)(11) 因此,有:
',(:y(-HX(K/K+1)=e(K)(12) 于是原系统可等价为:
X(K+I/K)l=(1)(((13) 解此新系统,可得:
(=(,_(+J『y](=(痧(固(14)
其中,日(z)=H(zK(为有理脉冲传递函数矩阵, 对于一维观测情况来说,y(为单变量ARMA序列, 其模型为:
()y(((
~k'(Z-1)=1---a1…?(15)
0(Z-)=l+blZ-一?
(15)式即构成了单变量ARMA(P,q)的预报 误差模型.用此模型作为Box-Jenkins递推预报器, 便可以得到可观测状态的多步最优预报. 3.2自校正的Box-denkins递推预报器
预报误差模型中的未知参数都与系统的模型参 数及最优预报的增益有关,因此可在线辩识最优预
报增益,在线校正预报模型的参数.同时,进行递 推预报的自校正的Box—Jenkins递推预报器适用于变 增益或动态模型不准确的情况.
由概率论可知,当过程噪声和量测噪声都服从 正态分布时,新消息(也服从正态高斯分布.可以 证明基于观测数据{l,一1),…)时,则((f_1),…} 也是已知的.一步预报器为:
y(1ly(一1)+…y(坤)+6(卜1)-6Y(t-p)(16) 当l??口时,最优递推预报器为:
g
/,^
Y(t+I(dt)=--二((+K一啪+2_一b(+K一0(17) i=1i=k
当K>q时,最优递推预报器为:
^
Y(t+K/t)=c~Y(t删(18)
i=1
这种预报器的每步预报都可以使用前一时刻的预报 值和新消息值,计算非常简单,方便,且得到了关于 观测值的线性最小方差预报.
4仿真计算
根据以上分析讨论,结合实际工程特点,我们 利用MATLAB进行了仿真计算.模拟了空间目标的 匀加速飞行轨迹,采样间隔0.05S,连续仿真5000个 点的数据.反算得到测站的测量值并加入了一定均 值的随机误差,通过空间定位处理得到定位处理结 果,进行仿真试验,并对结果进行对比,如图1, 图2所示.
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120.4120.8121.2121.6
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传统滤波器仿真结果曲线 —
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图2本文滤波器仿真结果曲线
由仿真结果可以看出,采用Box—Jenkins递推
预报器的滤波算法明显优于传统滤波算法;能准确
判断出野值点并将其剔除,将预报值作为本周期的
参考文献
滤波值输出,保证了数据处理结果的连续,准确.
说明采用该方法可以很好地克服野值的不利影响,
提高处理精度.
5结论
本文结合实际工程特点,针对实时数据处理中
存在的主要问题,讨论了基于Box—Jenkins递推预报
器的Kalman滤波算法.仿真结果表明,该方法可在
线辩识最优预报增益,在线校正预报模型的参数,
并能得到比Kalman最优预报更加精确的线性最小
方差预报.方法简单易行,适用于实时数据处理.
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21—1429.
作者简介:李鹏(1977一),男,满族,辽宁葫芦岛人,硕士,工程师,2009年于哈尔滨工程大学获得硕士学位,主要从
事实时数据处理等方面的研究.E-mail:7055047@qq.com 321www.
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