直线方程与直线的位置关系

一. 教学内容： 直线方程与直线的位置关系   二. 本周教学目标： 1、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握由一点和斜率导出直线方程的方法；掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程． 2、掌握两条直线相交、平行、垂直、重合等位置关系的判别方法，点到直线的距离公式及两条平行线间的距离公式．   ［教学过程］ 一、直线方程 1. 数轴上两点间距离公式：． 2. 直角坐标平面内的两点间距离公式： 3. 直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角． 当直线和x轴平行或重合时，我们 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 直线的倾斜角为0° 可见，直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°． 4. 直线的斜率：倾斜角α不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k＝tanα（α≠90°）． 倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，其取值范围是（－∞，＋∞）． 5. 直线的方向向量：设F1（x1，y1）、F2（x2，y2）是直线上不同的两点，则向量＝（x2－x1，y2－y1）称为直线的方向向量． 向量＝（1，）＝（1，k）也是该直线的方向向量，k是直线的斜率．特别地，垂直于轴的直线的一个方向向量为＝（0，1）． 6. 求直线斜率的方法 ①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k＝tanα． ②公式法：已知直线过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且x1≠x2，则斜率k＝． ③方向向量法：若＝（m，n）为直线的方向向量，则直线的斜率k＝． 平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率． 对于直线上任意两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），当x1＝x2时，直线斜率k不存在，倾斜角α＝90°；当x1≠x2时，直线斜率存在，是一实数． 7. 直线方程的五种形式 点斜式：，斜截式： 两点式：，截距式： 一般式：   二、两条直线的位置关系 1. 特殊情况下的两直线的平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时： （1）当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行； （2）当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直． 2. 斜率存在时两直线的平行与垂直： （1）两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即＝且． 已知直线、的方程为：， ： ∥的充要条件是． ⑵两条直线垂直的情形：如果两条直线的斜率分别是和，则这两条直线垂直的充要条件是． 已知直线和的一般式方程为：， ：，则 3. 两条直线是否相交的判断 两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组： 是否有惟一解． 4. 点到直线距离公式： 点到直线的距离为： 5. 两平行线间的距离公式 已知两条平行线直线和的一般式方程为：， ：，则与的距离为． 6. 直线系方程：若两条直线：，：有交点，则过与交点的直线系方程为＋或＋（λ为常数）．   【典型例题】 例1. 已知两直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交点为P（2，3），求过两点Q1（a1，b1）、Q2（a2，b2）（a1≠a2）的直线方程 分析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答． 解：∵P（2，3）在已知直线上，     ∴  2a1＋3b1＋1＝0，2a2＋3b2＋1＝0． ∴2（a1－a2）＋3（b1－b2）＝0，即＝－． ∴所求直线方程为y－b1＝－（x－a1）． ∴2x＋3y－（2a1＋3b1）＝0，即2x＋3y＋1＝0． 点评：此解法运用了整体代入的思想，方法巧妙．   例2. 一条直线经过点P（3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程： （1）倾斜角是直线x－4y＋3＝0的倾斜角的2倍； （2）与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且△AOB的面积最小（O为坐标原点）． 分析：（2）将面积看作截距a、b的函数，求函数的最小值即可． 解：（1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则θ＝2α，且tanα＝，tanθ＝tan2α＝， 从而方程为8x－15y＋6＝0． （2）设直线方程为＋＝1，（a＞0，b＞0）， 代入P（3，2），得＋＝1≥2，得ab≥24， 从而S△AOB＝ab≥12， 此时＝，∴k＝－＝－． ∴方程为2x＋3y－12＝0． 点评：此题（2）也可以转化成关于a或b的一元函数后再求其最小值．   例3. 过点（2，1）作直线分别交x，y轴正半轴于A，B两点． （1）当ΔAOB面积最小时，求直线的方程； （2）当|PA|⨯|PB|取最小值时，求直线的方程． 解：（1）设所求的直线方程为（a>0，b>0）， 由已知． 于是＝，∴SΔ AOB＝≥4， 当且仅当，即a＝4，b＝2时取等号， 此时直线的方程为，即x＋2y─4＝0． （2）解法一：设直线：y─1＝k（x─2），分别令y＝0，x＝0，得A（2─，0）， B（0，1─2k）． 则|PA|⨯|PB|＝＝≥4，当且仅当k2＝1，即k＝±1时，取最小值， 又k<0，∴k＝─1，此时直线的方程为x＋y─3＝0． 解法二：如图，设∠PAO＝θ，则|PA|＝1/sinθ，|PB|＝2/cosθ（0<θ<π/2）， ∴|PA|⨯|PB|＝2/（sinθcosθ）＝4/sin2θ≥4， ∴当且仅当sin2θ＝─1即θ＝3π/4时，|PA|⨯|PB|取最小值4，此时直线的斜率为─1，方程为x＋y─3＝0． 点评：本题分别选用了截距式和点斜式，应根据条件灵活选用直线方程的形式．   例4. 点关于直线的对称点是           A. （－6，8）                                  B. （－8，－6） C. （6，8）                                    D. （－6，－8） 解：设点关于直线的对称点为，由轴对称概念的中点在对称轴上，且与对称轴垂直，则有   解得，故选D 点评：对称问题可化为点关于点对称，点关于直线对称的问题．   例5. 求与直线：5－12y＋6＝0平行且到的距离为2的直线的方程． 解：设所求直线的方程为5－12y＋c＝0.在直线5－12y＋6＝0上取一点P0（0，），点P0到直线5－12y＋c＝0的距离为 d＝，由题意得＝2．所以c＝32或c＝－20． 所以所求直线的方程为5－12y＋32＝0和5－12y－20＝0． 说明：求两条平行线之间的距离，可以在其中的一条直线上取一点，求这点到另一条直线的距离．即把两平行线之间的距离，转化为点到直线的距离．   例6. 求经过点（2，3）且经过以下两条直线的交点的直线的方程： ：＋3y－4＝0，：5＋2y＋6＝0． 解法一：解方程组 ，所以与的交点是（－2，2），由两点式得所求直线的方程为，即－4y＋10＝0． 解法二：可设所求直线方程为＋3y－4＋λ（5＋2y＋6）＝0（λ∈R）， ∵点（2，3）在直线上． ∴2＋3×3－4＋λ（5×2＋2×3＋６）＝0，λ＝－． ∴所求直线方程为＋3y－4＋（－）（5＋2y＋6）＝0．即－4y＋10＝0．   例7. 光线由点射出，遇到直线：后被反射，并经过B，求反射光线所在直线的方程． 解：设点A关于的对称点为，则 即 所求直线方程为，即． 点评：以上例题是点关于直线的对称点、直线关于点的对称直线的求解问题．   ［小结］   1. 数形结合是解析几何的突出特点，在解解析几何题时应予以足够重视，并注意利用平面几何知识加以简化； 2. 解析几何问题往往在解题时入手的地方较多，但不同的解法繁简程度则大有区别，故在平时训练中应注意采用一题多解的方法，这样做一可以训练基本技能，二有利于开拓思路，优化解题 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ． 3. 直线的各种形式均有它的优越性，应在不同的题设下灵活运用，要注意当直线斜率不存在时的特殊情况．   【模拟 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 】 1. 直线xtan＋y＝0的倾斜角是 A. －  B.      C.    D. 2. 过两点（－1，1）和（3，9）的直线在x轴上的截距是 A. －  B. －  C.      D. 2 3. 直线xcosα＋y＋2＝0的倾斜角范围是 A. ［，∪（，    B. ［0，］∪［，π C. ［0，］    D. ［，］ 4. 直线y＝1与直线y＝x＋3的夹角为___________． 5. 下列四个命题：①经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y－y0＝k（x－x0）表示；②经过任意两个不同的点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线都可以用方程（x2－x1）（x－x1）＝（y2－y1）（y－y1）表示；③不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示；④经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y＝kx＋b表示其中真命题的个数是 A. 0       B. 1        C. 2       D. 3 6. 过点（10，─4）且倾角的正弦为5/13的直线方程是      ． 7. 过点（1，2）且与圆x2＋y2＝1相切的直线方程为         ． 8. 若直线（m2─1）x─y─2m＋1＝0不经过第一象限，则实数m的取值范围是       9. 过点A（2，1），且在x，y轴上截距相等的直线方程是 ． 10. 如果直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是          ． 11. 三角形的三个顶点坐标分别是A（4，1）、B（7，5）、C（－4，7），求角A的平分线方程． 12. 已知一直线被两直线：3x＋4y－7＝0和：3x＋4y＋8＝0截得的线段长为且过点P（2，3），求直线的方程． 13. 两平行线、分别过点P1（1，0）与P2（0，5），（1）若与距离为5，求两直线方程；（2）设与之间距离是d，求d的取值范围． 14. 直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若A、B坐标分别为A（－4，2）、B（3，1），求点C的坐标，并判断△ABC的形状．   【试题答案】 1、解析：k＝－tan＝tan（π－）＝tan且∈［0，π］． 答案：D 2、解析：求出过（－1，1）、（3，9）两点的直线方程，令y＝0即得． 答案：A 3、解析：设直线的倾斜角为θ， 则tanθ＝－cosα．又－1≤cosα≤1， ∴－≤tanθ≤．∴θ∈［0，］∪［，π． 答案：B 4、解法一：l1：y＝1与l2：y＝x＋3的斜率分别为k1＝0，k2＝．由两直线的夹角公式得 tanα＝｜｜＝，所以两直线的夹角为60°． 解法二：l1与l2表示的图象为y＝1与x轴平行，y＝x＋3与x轴倾斜角为60°，所以y＝1与y＝x＋3的夹角为60°． 答案：60° 5、解析：对命题①④，方程不能表示倾斜角是90°的直线，对命题③，当直线平行于一条坐标轴时，则直线在该坐标轴上的截距不存在，故不能用截距式表示直线只有②正确． 答案：B 6、答案：（5x─12y─98＝0或5x＋12y─2＝0）；注意两种情况． 7、答案：（x＝1或3x─4y＋5＝0）；注意点斜式的使用范围． 8、答案：（1/2≤m≤1）；从直线的斜率或截距去观察． 9、答案：（x＋y＝3或y＝x/2）．强调：截距式的使用范围． 10、答案： 解：由于将直线平移不影响其斜率的值，故可设点O（0，0）在直线上，则依题意O点经平移后的坐标为P（─3，1），故直线l过两点P，O，求出斜率即可． 11、答案：7x＋y－29＝0 12、答案：x＝2或7x－24y＋58＝0． 13、答案：（1）的方程为y＝0或5x－12y－5＝0．的方程为y＝5或5x－12y＋60＝0． （2）（0， 14、答案：C（2，4）；直角三角形