ising模型和平均场理论

ising模型和平均场理论 Ising模型和平均场理论 Ising模型是描述相变的基本模型，是由物理学家Wilhelm Lenz在1920年提 [7]出，并以他的学生Ernst Ising命名。自然界的许多现象可以通过Ising模型来理解，如合金中的有序-无序转变、液氦到超流态的转变、液体的冻结和蒸发、晶格气体、玻璃物质的性质、森林火灾、城市交通、蛋白质分子进入它们的活性 [8]形式的折叠等。Ising模型的哈密顿量是 (0.1) HJsshs,,,.,,ijiji,,,iji s,1i这里，是自旋和自旋直接的耦合强度，自旋可以取自旋向上或者J,0jsij s,,1h自旋向下，是外场大小。式(0.1)右边的第一项是对所有近邻的自旋对求和。现在来简单考察随温度变化体系的行为将怎样改变。达到平衡时，体系的自由能总是处于最小。在低温时，能量占主导地位，因此体系期待维持在大多数自旋平行的状态，体系是有序的;在高温时，熵占主导地位，体系要维持在高熵的状态，因此期待自旋方向处于随机的状态，体系是无序的。由于能量和熵的竞争， def随着温度的降低，体系将期待发生从顺磁相(磁矩)到铁磁相Ms,,,,0,ii M,0()的转变。已经表明，一维Ising模型没有相变，二维Ising模型有相变 [9]T,，2ln122.269 发生，其严格解由Onsager在1944年给出:。图1.1，，c 给出了二维Ising模型在无外场时单个自旋磁矩随温度变化曲线的示意图，TT,c T时，自旋方向随机取向，且向上和向下的概率相等，所以磁矩为0。当温度从c TT,降低时，自旋取向不再随机，磁矩连续增加。因此，在时体系发生了连续c 相变。到目前为止，三维Ising模型还没有严格解，其临界温度需要通过蒙特卡 [10]T 4.51152罗模拟得到(后面将介绍Ising模型的蒙特卡罗模拟方法)。四维c Td,2以及四维以上的Ising模型的行为具有平均场行为，其临界温度为，其中cd为体系维数。 图1.1: 二维Ising模型在无外场时单个自旋磁矩随温度T变化曲线的示意图。在时TT,mc m,0m,0体系发生了从顺磁相到铁磁相的连续相变。 [11]下面我们将讨论Ising模型的平均场解，得到平均场Ising模型的相图。平均场理论很好地描述了四维及四维以上Ising模型的行为。哈密顿量写成 HJsshs,,,,,iji,,iji ,,,，,，,Jsssssshs(0.2) ，，，，,,iiijjji,,iji ，，,,,，,，，,,,Jsssssssssssshs，，，，，，，，,,iijjjiijiijji，，,,iji 平均场理论认为每个自旋磁矩的涨落比较小，因此我们可以忽略式(0.2)的二阶项ssss,,mss,,，并且我们引入记号，这样，式(0.2)写成 ，，，，iijjij 2，，HJssmmhs ,，,,，，,,iji，，,,iji 2,,，,2JmsJmhs,,,ii,,,,ijiji (0.3) NNzNz2,,，,2JmsJmhs,,ii22ii,,11 JNz2,,,mhNm2 N式(0.3)中，为平均每个自旋的近邻数目，为体系总自旋数目。对平均磁矩为z 12，m12,mm的体系，每个自旋向上的概率为，自旋向下的概率为，这样，，，， 熵可以表达成 ，，，,,，1111mmmm,,,,,,,, (0.4) SmNk,,，lnln，，B,,,,,,,,,,2222,,,,,,,,，， GHTS,,这样，Gibbs自由能写成，平均每个自旋的自由能可以写成 GJzmmmm，，，,,，1111,,,,,,,,2 (0.5) gmmhmk,,,,，，lnln，，B,,,,,,,,,,N22222,,,,,,,,，， 在给定温度和外场，体系达到平衡时Gibbs自由能最小，因此得到平均场方程 (0.6) mJzmh,，tanh,,，， h,0m 0对无外场的情况，在临界温度附近，(0.6)式的右边可以做泰勒展开tanhxx ，这样可以得到临界温度 Jz (0.7) T,ckB 图1.2给出了(0.6)式的图解，从图中可以看出，时，磁矩有三个解:一TT,mc 个大于零的解，一个小于零的解和一个等于零的解，但仅前两个解是稳定解。 m,0m,0时，前两个解在处合并，时，磁矩只有一个的解。 因TT,TT,mcc 此，在平均场框架下图1.1中相变图像可以得到进一步的验证。 图1.2:零场下Ising模型平均场方程(0.6)式的图解。 模拟方法 计算机模拟可以作为探索自然规律的一个很好的工具，已经在统计物理、材料科学、生物学、气象学、 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 技术等其它学科领域取得了巨大的成功。计算机模拟一个独特性就是可以把研究对象的任何复杂层次统统包含进来，而不必像理论物理中那样经常要作近似和简化模型。计算机模拟的发展不单纯是依靠计算机技术的进步和数值计算方法的发展，其中，研究对象日趋复杂也是驱动计算物理进步的一个重要因素。统计物理是计算物理最早涉足的领域，统计物理研究的体系中包含的粒子总数是非常巨大的，而用传统的解析方法研究时只能处理一些极为简单的问题，绝大多数问题都无法解决。如统计物理学中最简单而且应用最广的Ising 模型，只能找到一维和二维的解析解，对于自旋玻璃问题，即使给定自旋间两两相互作用，但大量相互竞争的随机自旋对系统的集团行为仍然难以断定。目前统计物理学中最为成熟的计算机模拟方法是蒙特卡罗方法，它使用计算机产生的伪随机数以随机的方式决定系统演变的动力学过程，使用这种模拟方法能够解决大量的统计力学问题。下面我们将介绍蒙特卡罗模拟方法。 1.2.1 蒙特卡罗(Monte Carlo:MC) MC方法是指使用随机数(或更常见的伪随机数)来解决很多计算问题的方[19,20]法。MC方法的名字来源于摩纳哥的赌城蒙地卡罗。MC方法在凝聚态物理(表面物理、临界现象、非晶态)、应用物理(金属学、扩散和偏析)、理论物理(量子场论、统计理论、基本粒子、核物理)、化学(化学反应、高分子物理)以及非线性现象(分形、逾渗)等研究领域中起作非常重要的作用，成为科学研究的一种 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 手段。 对主方程描述的体系 ,Pt()n (0.8) ,,PWPW.，，,,,mmnnnm,t,mn Pt()Wnnm这里，是时刻体系处于态的概率，是体系从态到态的转移速率。tnnm, 蒙特卡罗方法的关键是要求出转移速率的表达式。在体系达到平衡时，要求,,,Ptt()0，这导致细致平衡条件，即 n (0.9) PWPW,mmnnnm,, 平衡时态出现的概率由波尔兹曼分布给出 n ,EkTeqnB (0.10) PeZ,.n 这里，是配分函数，由于配分函数一般不能精确求解，所以(0.10)式一般不能Z 精确得到。为了解决这个困难，人们可以产生体系状态的马尔科夫链，也就是说，直接从旧的状态产生新的状态。如果体系从态跃迁到态，相对跃迁概率是 mn eqWP,,EkT,mnnB (0.11) ,,,,,e,.EEEnmeqWP,nmm 可以看出，相对跃迁概率与配分函数无关，是跃迁前后能量差和温度的函数。跃迁概率的选择必须要满足细致平衡条件，一种常用的选择是Meteropolis形式: ,exp,0,,,,EkTE，，,B (0.12) W,,,mn1,0,,E,, 对Ising模型，Meteropolis算法总结如下: (i) 产生初始构型; (ii) 随机选择一个自旋; si ,E(iii) 计算自旋翻转后的能量差; ss,,ii (iv) 产生一个0,1之间均匀分布的随机数; r rEkT,,,exp(v) 如果，翻转自旋s; ，，Bi (vi) 回到步骤(ii)。 根据Metropolis算法，可以得到二维Ising模型三个典型的自旋构象，如图1.7所示，从左到右分别对应着临界温度以下、临界温度和临界温度以上时的情况。 TT,图1.7: 二维Ising模型的典型自旋构象，白色和黑色分别表示上自旋和下自旋。左:，c 中:，右:。 TT,TT,cc