拟微分算子在偏微分方程中的应用（可编辑）

拟微分算子在偏微分方程中的应用（可编辑） 拟微分算子在偏微分方程中的应用 中圈绅孽艘求大誊 硕士学位 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 拟微分算子在偏微分方程 中的应用 郑云瑞 作者姓名: 基础数学 学科专业: 赵立丰副教授 导师姓名: 蒸互丰 二一三年五月 完成时间: : : . : : ,中国科学技术大学学位论文原创性 声明 无利益冲突声明中华医学会杂志社职业健康检查不够规范教育部留学服务中心亲友住房声明 本人声明所呈交的学位论文,是本人在导师指导下进行研究工作所取得的成 果。除已特别加以标注和致谢的地方外,论文中不包含任何他人已经发表或撰 写过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均己在论文中作了 明确的说明。 作者签名: 中国科学技术大学学位论文授权使用声明 作为申请学位的条件之一,学位论文著作权拥有者授权中国科学技术大学 拥有学位论文的部分使用权,即:学校有权按有关规定向国家有关部门或机构 送交论文的复印件和电子版,允许论文被查阅和借阅,可以将学位论文编入 《中国学位论文全文数据库》等有关数据库进行检索,可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。本人提交的电子文档的内容和纸质论文的 内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名: 导师签名: 兰圭叠摘要 摘要 本文首先介绍了拟微分算子的积分形式的定义,以及对应的象征 的概念。接着简单描述了光滑拟微分算子在线性偏微分方程的应用。这部分主 要解释了用拟微分算子来解决线性椭圆方程中的拟局部性质和正则性以及线性 双曲方程解的存在唯一性。这些都是拟微分算子的经典理论。最后通过具体的 计算说明了将具有局部光滑性的拟微分算子应用于非线性椭圆方程和非线性双 曲方程及方程组所得到的结果。这部分是本文的重点内容,几乎涵盖了一般非 线性椭圆方程和双曲方程的所有类型,并且详细叙述了拟微分算子在列举的各 个类型的方程的研究中所起的作用。 关键词:拟微分算子,椭圆方程,双曲方程 . .. . : , , 目录 工贸企业有限空间作业目录特种设备作业人员作业种类与目录特种设备作业人员目录1类医疗器械目录高值医用耗材参考目录 目 录 摘要??.??.??....目录?.....?..?.....第一章绪论 第二章拟微分算子? .光滑象征的算子?..非光滑象征的算子??.. 第三章线性偏微分方程??.. .椭圆算子方程? .线性椭圆方程??.?.. .双曲进化方程? 第四章非线性椭圆方程??.. .拟线性椭圆方程. .完全非线性椭圆方程.?.. 第五章非线性双曲方程??.. .拟线性对称双曲方程组?. .可对称化双曲方程组.高阶双曲方程?.......??.?. .完全非线性双曲方程组?. 目录 第六章总结 参考文献?一.??.. 致 谢?.. 第一章 绪论 第一章绪论 拟微分算子理论是从奇异积分算子理论中发展而来,世纪中叶初步形成. 目前,拟微分算子已成为现代分析理论的重要组成部分,在偏微分方程和微 分几 何等领域的许多问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的研究中有着广泛的应用. 从世纪年代开始,在线性偏微分方程的许多有趣而深入的研究中,拟 微分算子理论就起着非常重要的作用【.从年代开始,用拟微分算子对非线 性偏微分方程的研究也取得了许多重要成果阱 我们首先对拟微分算子理论给出一个综述.这一章简要介绍了拟微分算子的 定义和基本性质以及在空间和空间中的对正则性的影响.对应 的象征有光滑象征和有有限正则性的象征.第章给出了在线性椭圆方程和双 曲方程的研究中,拟微分算子对拟局部性质和正则性的影响以及证明方程适定性 的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 . 目前,拟微分算子最重要的应用是非线性偏微分方程.在第章非线性椭圆 方程的研究中,我们用第章中的线性椭圆方程的结论可直接推出拟微分算子 对拟线性椭圆方程的影响.然后,我们用线性椭圆方程的结论和迭代方法推出拟 微分算子对完全非线性椭圆方程的正则性的提升.在第章对非线性双曲方程 的研究中,我们主要采用逼近的方法,先将拟线性的对称双曲方程磨光,研究其 适定性,然后通过逼近研究原方程的适定性和正则性.然后通过相同的方法研究 可对称化的双曲方程组,并通过流体中的方程来加以示例.对于高价的双曲方程, 我们使用交换子估计.而完全非线性双曲方程组的解的存在性可通过可对称化的 方程组来研究.第二章 拟微分算子 第二章拟微分算子 弟一早于以似万畀丁 本章主要给出拟微分算子的基本定义和性质. .光滑象征的算子 设,?,则,的逆变换是 .. /骶珏咄 其中,,?一,,一协‘是函数.厂的变换. 对..进行微分,我们有 .. 明/.阿四‖‰ 其中口?船,功//. 下面用积分定义拟微分算子.首先引入象征空间的定义. 定义...设,石?【,】,?酞,我们定义是时础上包含的函数 ,?的函数空间,使得对任意的,?,,?满足 .. 星扫,??%?仇一纠剧, 其中,?盱/. ,其中口?。舻,且每一个口。及其任 例如,设,专?口? 意阶导数都是有界的,那么,荨?躅. 我们说,??,翟,或者,??‖,是指 ?,?一?仇一,? 即 蜀?一??,??蹄?, 对任意的成立.这里当矧?时,‰一,?关于?是一歹次齐次的. 定义...如果,??%,.厂?融,则定义算子 ?, .. ,.厂/,?,?缸 ‘, 称定义的算子类为墨,即,?尸蹄. 容易看出,如果,??,蹄,并且,?,】,那么,:?妒一 ??.事实上,有下面的命题成立. 命题...如果,??蹄,并且,?,】,那么 ,: 黔 .. 证明.用乘以..,并且汜一珏,我们有 ,,,?,?一 协‘越 ‘, 然后,分部积分 ? 印,,/雩?,?,?协 口 由于,??蹄,?,可得结论. 下面定义拟微分算子的核函数和伴随算子. 定义...设,?蹄,,??妒,我们有 ,?,?锄‘ ? ,。.厂/ 不一/,?缸《?/,可一匆《 ? ‘不一住/,可可/,?“一可. 第二章 拟微分算子 那么,我们定义算子,的核函数?‖?×础为 善 础矿/玳叫 如果算子,的伴随算子存在,记为,,我们有 ,,钆,,刨,帆,秒?时. 经计算可知 捌不/.账州可扩办曲? 根据命题..,,:斗.由此我们可以将拟微分算子的定义延拓到. 命题...如果,那么 .。 ,:时黔 证明.设?,?,形式上我们有 ,,‰, ?:不一卜,?《呔如 然后分部积分,可得 ?钏?矿/吲巾《‖氓 毗我们有 四愀删忡 口 因此,如果,就有”?.因此结论成立. 最后,介绍象征演算的两个基本结果. 定理...如果,?,??,那么 ,? 第二章 拟微分算子 二一?等曜职煳 口 证明.参见【】,】. 定理...给定殇,??《麓,歹,.假设 ?? 这里,,,.那么 ,,,?蹄棚 并且 如一一三等跏‰。嘞? 口 证明.参见】,】. 推论...如果鳓,专?哪,,,那么算子,和优,的交换 子 囟,,仇,,,?‖ 且其象征是 ,?扣,?,,?。‖~. 这里我们用到函数,,?和,?的括号 ,,夕?瓦瓦一瓦两. 口 证明.参见【】,. .非光滑象征的算子 这部分我们主要列举几个象征是具有有限光滑系数的算子的有界性.我们 这里考虑的算子的象征,专的系数在伊和中,即,?伊?躁和 ,?蹄,这里伊和分别是空间和空间. 我们首先引入空间的定义.当时,定义酞是满足 秒一可?川的有界函数也的集合.当七?时,定义七?妒是使得 第二苹 拟微分算子 当蚓?时,舻铭有界连续的有界连续函数链的集合.当, 时,定义竹是满足乱?南,并且当例时,卢乱?的函数 的集合. 下面我们需要?分解. ?奶? 奶的支集是?一.这里,奶专矽歹善,?.讥?昭,当七?时, 妒,当??时,妒.妒矽??一妒?. 定义空间是满足鼢妣钆三。的函数的集合. 。. : 空间日定义为 日?跫??砭:专也???酽 定义 ?;?. /?砬?缸’ ‘, 州人让怯 将换成,可类似定义鲫.对于这类算子,有以下的两个重要性质. 定理...设象征,??鼢,?,。,则 伊 ,:卧, .. ,:职. .. 其中,’是空间. 口 证明.参见【,】. 定理...设象征,??研由,万?,,对?, ?,有 ’,:卯 :. .. 口 证明.参见】,. 这两条性质在非线性偏微分方程中有重要应用. 第三章 线性偏微分方程 第三章线性偏微分方程 .椭圆算子方程 定义...我们称拟微分算子,?是椭圆的,如果对,当 蚓?时, .. ,专?专. 因此,如果取函数妒???时满足条件:当七?.时,妒?,当 善?时,矽,容易得到 妒?,?一,喜?。. 我们有面的定理. 定理...如果,?鼢是椭圆算子,则存在算子 ,?《?,满足 一。 口,, .. ?。. ,, .. . ,称为,的拟基本解。? 口 证明.参见】. 我们考虑椭圆算子方程 ,,. .. 其中,,,?舯,并且,?嚣是椭圆算子,??. 利用椭圆算子的拟基本解研究椭圆算子方程的解的局部正则性.构造口,? %?,我们有 ,一’,. .. ’,的象征,??一?. 第三章 线性偏微分方程 引理...如果算子,?一?,则,把,映到,把’映到 ?. 证明.如果?卵,则,?.由于曙关于’的稠密性,,把 映到?.设?,,?, .. ,,郇:乱,, 口 显然,上面定义有意义.,把,映到. 则由..可得, .. 下面我们证明椭圆正则性. 首先,介绍分布的奇异支集的概念.如果让是一个分布,那么的奇异支集 是那些具有某个邻域使在其中为点的全体构成的集合在黔中的补集 . 】.的奇异支集记作 命题...设,?蹄是椭圆算子,??,则对任意的?’, . .. ,.由..可得, ? 证明.显然, ,? . 口 ,.因此, , .线性椭圆方程 这部分中我们主要考虑系数是有限正则性的椭圆方程. 考虑方程 ,,, .. 其中,,是仇阶的椭圆微分算子 .. ,?%口 ? 系数是有限光滑性的,即象征,??.毋是椭圆的,?,?, ?,,对象征,?进行?单位分解 ,?孝,?,? .. 第三章 线性偏微分方程 其中 .. 社,??蹄,,??踮如. 我们假设?,则由定理.., ,:一如。?. .. 的条件 现在,设,??,是孝,的拟基本解,那么在 下, ,,,,. .. 从而在 ?的条件下 ,?,,. .. 由..式和定理..,对一’, ?’一如,,??兮珏?. .. 下面我们弱化的条件.对一盯,我们有 ?,?譬今?:. .. 则在和条件下只要关系式一?成立,那么..就可 以重新写成 ?叩一‘,,?令缸?. .. 如果我们让在,中变动,那..对任意的?一 , 都成立.如 果?【,,我们首先利用..的假设,对任意的,有“?却.然后经 过重复的迭代就有 ?一,.厂?专?’,一. .. 最后介绍一个很重要的正则性结果. 定理...设,??。跚是椭圆的,乱是方程:.的解,并且,, 第三章 线性偏微分方程 则有 铭?叩一‘,,?今?.. .. 口 证日月.参见【】. .双曲进化方程 在讨论双曲方程的过程中,需要将方程进行磨光.因此我们首先引入一个非 常重要的光滑子概念. 定义...【】设是一个紧流形,上的一个光滑子是一族拟 微分算子五,?,满足 .正?一?,任意的 ?,】. 上:?是观的有界子集. 当 时,在三中,上,任意的乱?. 定义...】设是一个紧流形,算子:铲和: .取,?三.那么,函数让?叫做方程,的一 个弱解,如果在分布的意义下,作用于,使方程成立. 这里我们考虑形如 .. 窑,,仇心夕亡,,也, 的~阶方程组.我们假定,,??研.,关于光滑,因此 硝磁宇三亡,,?筇?哆 .. 这里,,亭是×阶的矩阵值函数,并且假设具有对称双曲性: ,,亡,,??.。. .. 并且,.厂??,?,?,佩一. 为了寻求方程组..的适定性,我们首先考虑方程组 .. 篑五巩刚, 其中对某些妒??,妒,有 五妒玩. .. 第三苹 线性偏微分方程 算子五称为光滑子.注意到,对任意的,五?一?,并且对 ?,】,正在醒。中是有界的. 对任意的,五五在日上是有界线性算子,..的解是存在的.利 用范数.?。,我们知道 .. 羔。艺至人五己上乱。,让。人夕,毗. 把等号后侧的第一项写为 五。,以饥人,】以。,以。 .. ..式可知,,,窖?,因..式中的第一项等于 ,,优五。,五。?出。备。. .. 同时,【,】?尸研.因此,..式中的第二项有和..式右侧相同的估计. 对,他利用不等式,得到下式 .. 夏。.?、?。?乱酬至:备。. 利用不等式有以下估计 .. 帆驯备。??苔,】,?, 与?,】无关.取【,卅,则有界函数族。?, ,,当 ?时,有弱极限满足?蕊假,?辩,且是..拘解. 下面证明方程..解的唯一性.设‰仇是方程..的解,则 一%备。?。一仇 .. 方程..的解是唯一的,则方程..的解唯一. 第四章 非线性椭圆方程 第四章非线性椭圆方程 .拟线性椭圆方程 考虑方程 .. ?。口。,一口,. 假设此方程是阶椭圆方程,系数%,是光滑的.下面的定理的证明需要线 性椭圆方程的结果. 定理...假设对,?方程式..成立,并且?一使得%,一? ,,则有?. 口 证明.参见】. 由此定理,我们可以得到下面的正则性结果. 推论...如果?卧一是方程..的解,,??,那么锃??. 证明.对任意的,则,?.由定理..,?.由的任意性, ?。. 口 .完全非线性椭圆方程 考虑完全非线性椭圆方程 ,,. .. 其中,是光滑的,白:川?仇. 定理...假设?外是方程..的解,‘厂?,’,那么,?四十. 证明.记%,对方程..应用..: .. 墓瓦,。~。%一%,让考办?第四章 非线性椭圆方程 设心?伊 ,则系数/口,?.如果/?,那么 办? ~.如果让?一卧‘,我们对呦厍..和..可以得到 ?四?.只要,这个过程可以一直迭代,直到获得?四十. 这个论断有一个缺点,就是要求/的正则性太高,不但要求珏?伊卜‘,而且 乱?.下面我们用差商代替导数岛,因此,对?融,川的值很小,我们记 %【一】. .. %满足 .. ?圣?%『, 其中, .. 吲加/蓑五叫砒咖鹏, ?是..右侧合适的类似项.如果?沪,那么西口?当 时是一致的,而这个假设也给出了%关于沪范数的一致有界性.现在, 对每一个,对%应用..和..,则我们得到当?时,, 口 ,一的一个一致估计. 第五章 非线性双曲方程 第五章非线性双曲方程 .拟线性对称双曲方程组 在这部分中,我们讨论形如 .. 窑己锄仇亡,刚,,. 的方程组的解的存在性,唯一性和正则性. 我们假设 .. 亡,,,?如,,岛, 每个如是一个×的矩阵,它的每个元素都是光滑的,并且满足对称性: .. 如群. 是光滑的向量值函数,和乱钆友都在中取值.这样的方程组.., 我们称为对称双曲方程组.为简单起见,我们不考虑?郧的情况,代替讨论 ?札,这里是一个维的环面.,?.?.,/. 我们把方程组..光滑化,得到 .. 等旭 了纯吼,缸亡,, 其中, 。钉如,,五。岛?, .. 。。,,以。. 在..中,可能用五,来代替.这里五:?是光滑子. 对任意的,方程组..可以看做是关于。的空间的常微分方程, 利用常微分方程的知识我们知道当亡,方程组..有唯一解.我们下面证明 第五章 非线性双曲方程 解。关于在不依赖于?,的区间内是存在的,并且,当 时,。的极 限是方程组..解. 首先,我们估计方程组..利解的日的范数.用范数比。, 我们知道 』 .. 杀人。羔:以。正。,。人,。. 把等号右侧的第一项写为 。五钦,五。人,。】正嗷,五让。 。. 用下式 .. 丘一?,,以。 来估计..的第一项,因此 。人正。,人五。?五。亡,?五。羔。. .. 下面考虑 .. 【’厶。】”。岛郇一。吼, 歹 其中如。如亡,,五。.然后我们需要用?估计. ,,?? 定理...已知? ?巾,,? ,?,如果?研.则有下面的估计 一.厂凡口?州鲫,乜日一,,日锃. .. 是常数. 利用?估计,我们得到 .. ,。】口。??。俨岛移一匀。岛钐印一】. 然后我们利用下面的估计. 定理...。?一日。 第五章 非线性双曲方程 对,,五。和。。利用估计, 五‰蚤 .. 刻”删羔:?出 引理...已知,?,/,则,当在区间一,内,方 程..的解存在,不依赖于,并且满足 。。 亡,? .. 与无关. 证明.利用嵌入定理,我们可以用。圳备。来控制..不等号右 侧项,令。驯备。亡,则满足微分不等式 .. 出?可,备。. 不等式指出,存在一个在区间【上有限的函数对满足..式 的所有的给出了一个上界.而时间的反演又给出区间.,】上的一个上界. 口 则一,和满足的要求. 现在我们建立方程。.的解的存在性.取,如上面一样,则有界族 ‰?,日 』,有弱极限缸满足 ?。。,俨 ,俨. .. 由于 是紧包含关系,由定理,存在序列?满足 。?,‘俨 .. 而且由插值不等式,仳。:?在口,一仃?.,中是有界的,?.因 为对很小的盯,包含关系一盯 是紧的,当/时,我们有 钍白铭?,. .. 因此. ,,五。,。。以夕亡,,正。 。,。瑚刊?,×俨,.. 第五章 非线性双曲方程 同时,收敛舰/砒/是弱的.因此..是..的极限. 下面我们考虑解的唯一性,稳定性.考虑方程 ... 砒。,,正。,五。五夕亡,,五饥,仇九 设?。,用方程..减方程..,并且为方便起见,省略变量,,我 们有 。。 塞己乱,己珏,镟一五三上钦,五镟夕心一正。. 其中, ,。一五五。,。。 ,一。,】。 .. 一五。, 。。。,一正。 让。,一上让。,】以饥 和 仳一正五仇囟一。一。 .. 。一以‰】 现在,我们有 , .. 夕钆一伽乱,叫伽,仳,叫/夕.一下叫丁, 类似的, ,一,,叫,一叫. .. 则方程..等价于 .. 塞砌徘,钆润?见 其中 ,饥,。勘?乱,。,乱。,魄, .. 即为方程..和..的等号右侧的第一项之和,砬是方程..和..的 第五章 非线性双曲方程 等号右侧剩余各项之和. 对足有估计 .. 见亡嵫?恢瞄% 这里 .. ,一五日一,。?一以日?,,. 现在,通过和..相似的方法,我们有 .. 剖钞靴。?口眺:刚 其中 。 ,,?,鼠亡至。. .. 记詹,通过利用不等式, .. 丁一耳’叫. 移羔:?一九。羔。厂 因,,我们有 亡一。亡。 .. 一兵日?一,,. 如果上?,??曙酞,对?,?入,我们有下列算子范数估计 .. ,一五露。~,三。???. 至此,我们解决了唯一性. 下面我们改进..的结果. 命题...给定‘厂?,佗/,则..的解钆满足 ?,矿。 .. 证明.我们注意到对给定的弱拓扑,从..中可知 是的取值在丑 的连续函数.为说明..式成立,只需指出范数?是的连续函数.我 们考虑 .. 爰人五钆羔。五乱,,五正五夕,人上. 第五章 非线性双曲方程 我们把第一项写作 ,,七,七人,纠,七. .. 这里对固定的,缸?。.然后,我们利用?估计得到 .. 【,:?口怜怯乱/?钆。】 歹 这给出..最后一项的控制.我们可以把..右侧的第一项写为 奉人正,人五以,,五. .. 和..一..一样,..的第一项是有界的.对于..的最后一项,我们 有 .. 以,】伽?如,正】岛叫. 我们有估计 .. 让,。.?忡怯. 由此,我们有不等式 剖上圳备。?帅‰ 其中与?,】无关.利用时间反演,我们给出..左侧项的绝对值的估 计.因此,上钆。亡备。?亡关于是连续的,对是一致的.对每一 个?,关于日范数,我们有。亡,圳备,。?亡 口 有相同的连续性. .可对称化双曲方程组 我们将拟线性双曲方程组推广,得到下面的双曲方程组 .. 讹训.瓦萎艄忍脚砒刚《 其中,所有的如都是对称的,即今,并且 亡,,??. ..第五章 非线性双曲方程 和前面的方法一样,我们考虑方程 .. 。,,以让。警以。五。姨,锹 其中,厶和。与..中的一样.引进记号。亡,,五。.我们有 .. 丢乜。, 锃。。,。。亡心。珏。,鸽。亡。. ..的第一项变形, 。侥。,魄【人,。】。/,。, .. 在..的第一项中,..的等号右侧项代替。/,和..的等号 右侧项一样,用同样的方法来估计.接下来估计.。的最后一项. 。亡,,以。亡,, .. 鸽。磊 因此 。亡?。。,以《. .. 我们得到和..相似的估计 .. 丢”。,山。人。?。,。删五. 剩下的部分和..节的方法相同,我们可以得到和..节相同的结果. 我们称方程组 .. 塞喜郫脚砒州?, 是可对称化的双曲方程组,如果存在,,珏是正定的,使得,,乜岛,,戗 如亡,,是对称的.然后把,,作用到方程组..,就得到..的形 式的方程.因子,,被称为对称化子.第五章 非线性双曲方程 . 下面我们举一个例子.考虑可压缩流体方程 铲矾 口 “成泐 叼砷 叩 虬珧争 这里,是流体的速度场,,是流体的密度.我们假设是的函数,有表 达式 , .. 并且,. 方程组..并不是对称双曲方程组.我们把方程组..当作?,的 方程,利用..,我们得到 咖 黝 “ ,, . ,?叶 呷 一, 了 却~珧跏一况 产 枷土纠 这个方程组是可对称化的.我们将这两个方程分别乘以仰一?和?,得到新的 方程组 ,、 仰害.仰一矾一妣, ?. ,、荔 ,、 ?巾’ 恻瓦一 则方程组..是形如..的对称双曲方程组.因此,对可压缩的流体.. 节的结果可以用到方程组..中,只要和在远离零处是有界的. 一些二阶拟线性双曲方程可以转化成一阶可对称化的方程组.考虑以下形式 的方程 霹乱一?芒,,岛侥一?南亡,,亡,,乱... 为简单起见,我们假设‖和‖七都是标量.设 ,%岛让,?歹?, ..第五章 非线性双曲方程 记,,乱,...,‰,我们得到 侥钆 .. 七亡,,‰,, 侥‰?。 ,,岛缸 %岛 这个方程组可记成 .. 面?马亡,,亡,,。 我们假设‖七是正定矩阵,即 .. ?‖血亡,,?白靠?七 在此假设下,方程..是可对称化的,我们可以在等号两侧同时作用一个方块 矩阵,这个矩阵的左上是×阶单位矩阵,右下是矩阵~. 利用前面得到的结果,我们有下面的结论. 命题...如果假设,?,‰?,/,只要 亡暖饥亡饵有界,则方程有唯一的局部解?,卧 ,. 我们现在引人一个更一般的对称化子概念.设,乱,,?是×耳× \上的光滑函数,关于是次齐次的.我们称,,。,?是方程..的 一个对称化子,如果,,,?是一个正定的×阶矩阵,对所有的 ,,,?, 。 .. 她缸,,专?,,白 我们称方程..是可对称化的. 这个概念的重要之处在于,如果方程..是严格双曲的,则一定是可对 称化的.如果记,,,?艺,,白的特征值是屯,,?? 入亡,,,?,则入是关于,珏,,?的?函数,并且关于?是次齐次的. 如果屯铭,,?是‖的入扩一特征空间上的投影, 熹厶山?,《?。.第五章 非线性双曲方程 则是光滑的,关于?是次齐次的.那么 .. 胞,,??亡,,,?弓亡,仳,,专 歹 就是我们需要的光滑化子. 注恿到 ?扣哥?竹器. .. 对,,。,,令 ~, .. 其中的选择要使在己上是正定算子. 现在,我们研究..的逼近解。.由..口知, .. ‖?马,。,以乱。勘. 我们想要获得骞。,。”魄亡的估计,其中是由,五。,,?推 出.首先, 。,仳。侥。,。人。人。,,。。. .. 磊 在最后一项中,我们用:代替/,正。,,得到 人。,:。?乱。,。备。. .. 我们把..的第一项写作两倍的 。上厶。上。,乱。。。,人。。. .. 最后一项有一个简单的估计.我们把第一项写成 。。五钆。,正。。【,。】以。,五。旧。人,五】三。五饥,。‰ ..第五章 非线性双曲方程 注意到,只要..满足.?,则。的象征在扣碟中, 。 继,卅 .. 现在由估计 。五弘。嚣?一?。二一“。君缸。铭。日一。. .. 我们推出 。人,五】。五。,。?。让。亡备。. 考虑..中的第二项,对?亡,,, .. ,翻?【助. 如同..一样,利用?估计 ,四伊 日制印. .. 人,?? 因此,..拘第二项也是有界的. 下面我们估计..的第一项,我们将要证明 ,?,州羔。. .. 我们得到 一彤:。,一??, .. 因此,在..中,我们可以用冗代替. , .. 其中,,??码是反伴随的,并且:. 最后,我们有估计 ,勘,?训?. .. 第五章 非线性双曲方程 综合上面的分析,对..我们有 .. 杀让。,。?。,?。. 下面我们用和..节一样的方法,就会得到下面的结论. 命题...如果方程..是可对称化的严格双曲的初值问题,初始条件是 .厂?则只要/方程就有唯一的局部解?,俨邗. .高阶双曲方程 这一部分,我们处理仇阶的拟线性双曲方程 妒 今.. ??间 初始条件 钇,,?.,铭厶. .. 这里,,,叫,是?阶齐次的微分算子.我们假设在中取值,为简 单起见,设如的系数是标量. 令 钆铭?.,%一’~谚让?。,‰一?牡. .。 关于?.,一构造一阶方程组 .. ,一一 侥‰一?如亡,,,人蜘一%亡,,, 其中,尸仇一,..,霹房乱醒?,因此?. 如亡,,,‖是一个阶算子.初始条件是 伽,?,%一’一办,?,‰一,一. ..第五章 非线性双曲方程 方程组..可写成下列形式 ,,,,,, .. 其中,是 阶的拟微分算子矩阵. 注意到,三的主象征的特征值是讼亡,,御,?,久是特征方程 .. 丁一?凡?一 的根.下面我们假设方程有严格的双曲性,即对于??方程有个不同的实 根.因此,,,,?有个不同的纯虚特征值.因此存在一个对称的 阶的矩阵值函数,,,?,关于?是零次齐次的,并且各个分量光滑,使得对 ??,我们有 . ,,,?,,,,?亡,,,? .. 我们知道 ?号亡,,,??壶,,,,??吕. .. 因为算子一不是保持范数有界的,我们需要考虑更小的空间, 称之为.在此空间上,有性质 ?锷令:及. .. 下面,我们不用?估计,而用下面的命题. 命题...】如果,?研,并且,??鹳 ’鹳,, ,那么 ,,,】?,,日一,,礤,伊。乱础 这里 砖,,口掣?,?,??陋,??时,?? 码,日。,口孑?,?日。,?专创,??黔,??. 第五章 非线性双曲方程 我们有 茁 钞 ‰ .. 岛 岛 ?芦 其中?岛,然后,我们用下面的估计 .. 人,:??碍,?舻碍,妒岛旧讧】. 则我们推出下列估计 仇圳备。. .. ?删。,。。?删仇. .完全非线性双曲方程组 这里,我们首先考虑一阶完全非线性方程组 .. 甓即,邶:,,. 的问题.我们假设是向量值函数,在内取值. 对,,...,%,?.,巩,我们有一阶方程组 .., 。“ 霎三兰:三:,。亡,,,%。魂,,。亡,,,。?, 等?%毗掣呐%毗叩歹? 初始条件是 ,?.,如,. .. 这个方程组的行为是由×阶的矩阵系数的算子 亡,,,?巩:亡,, ?亡,叩 第五章 非线性双曲方程 控制的. 如果 .. ,,,??最 ,。,龟 是阶对称矩阵,并且是可对称化的,如果对存在形如..一..的 对称子.那么,..是对称双曲的. 我们有下面的结论. 命题...如果方程组..是可对称化的双曲方程组,,?巾,/, 那么,有唯一的局部解乱?,俨.