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初中数学九大几何模型.doc

初中数学九大几何模型

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2019-03-27 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《初中数学九大几何模型doc》,可适用于初中教育领域

初中数学九大几何模型、手拉手模型旋转型全等()等边三角形【条件】:△OAB和△OCD均为等边三角形【结论】:①△OAC≌△OBD②∠AEB=°③OE平分∠AED()等腰直角三角形【条件】:△OAB和△OCD均为等腰直角三角形【结论】:①△OAC≌△OBD②∠AEB=°③OE平分∠AED()顶角相等的两任意等腰三角形【条件】:△OAB和△OCD均为等腰三角形且∠COD=∠AOB【结论】:①△OAC≌△OBD②∠AEB=∠AOB③OE平分∠AED、模型二:手拉手模型旋转型相似()一般情况【条件】:CD∥AB将△OCD旋转至右图的位置【结论】:①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD②延长AC交BD于点E必有∠BEC=∠BOA()特殊情况【条件】:CD∥AB∠AOB=°将△OCD旋转至右图的位置【结论】:①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD②延长AC交BD于点E必有∠BEC=∠BOA③tan∠OCD④BD⊥AC⑤连接AD、BC必有⑥、模型三、对角互补模型()全等型°【条件】:①∠AOB=∠DCE=°②OC平分∠AOB【结论】:①CD=CE②ODOE=OC③证明提示:①作垂直如图证明△CDM≌△CEN②过点C作CF⊥OC如图证明△ODC≌△FEC※当∠DCE的一边交AO的延长线于D时(如图):以上三个结论:①CD=CE②OEOD=OC③()全等型°【条件】:①∠AOB=∠DCE=°②OC平分∠AOB【结论】:①CD=CE②ODOE=OC③证明提示:①可参考“全等型°”证法一②如右下图:在OB上取一点F使OF=OC证明△OCF为等边三角形。()全等型任意角ɑ【条件】:①∠AOB=ɑ∠DCE=ɑ②CD=CE【结论】:①OC平分∠AOB②ODOE=OC·cosɑ③※当∠DCE的一边交AO的延长线于D时(如右下图):原结论变成:①②③。可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。对角互补模型总结:①常见初始条件:四边形对角互补注意两点:四点共圆有直角三角形斜边中线②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别③注意OC平分∠AOB时∠CDE=∠CED=∠COA=∠COB如何引导?、模型四:角含半角模型°()角含半角模型°【条件】:①正方形ABCD②∠EAF=°【结论】:①EF=DFBE②△CEF的周长为正方形ABCD周长的一半也可以这样:【条件】:①正方形ABCD②EF=DFBE【结论】:①∠EAF=°()角含半角模型°【条件】:①正方形ABCD②∠EAF=°【结论】:①EF=DFBE()角含半角模型°【条件】:①Rt△ABC②∠DAE=°【结论】:(如图)若∠DAE旋转到△ABC外部时结论仍然成立(如图)()角含半角模型°变形【条件】:①正方形ABCD②∠EAF=°【结论】:△AHE为等腰直角三角形证明:连接AC(方法不唯一)∵∠DAC=∠EAF=°∴∠DAH=∠CAE又∵∠ACB=∠ADB=°∴△DAH∽△CAE∴∴△AHE∽△ADC∴△AHE为等腰直角三角形模型五:倍长中线类模型()倍长中线类模型【条件】:①矩形ABCD②BD=BE③DF=EF【结论】:AF⊥CF模型提取:①有平行线AD∥BE②平行线间线段有中点DF=EF可以构造“”字全等△ADF≌△HEF。()倍长中线类模型【条件】:①平行四边形ABCD②BC=AB③AM=DM④CE⊥AB【结论】:∠EMD=∠MEA辅助线:有平行AB∥CD有中点AM=DM延长EM构造△AME≌△DMF连接CM构造等腰△EMC等腰△MCF。(通过构造字全等线段数量及位置关系角的大小转化)模型六:相似三角形°旋转模型()相似三角形(等腰直角)°旋转模型倍长中线法【条件】:①△ADE、△ABC均为等腰直角三角形②EF=CF【结论】:①DF=BF②DF⊥BF辅助线:延长DF到点G使FG=DF连接CG、BG、BD证明△BDG为等腰直角三角形突破点:△ABD≌△CBG难点:证明∠BAO=∠BCG()相似三角形(等腰直角)°旋转模型补全法【条件】:①△ADE、△ABC均为等腰直角三角形②EF=CF【结论】:①DF=BF②DF⊥BF辅助线:构造等腰直角△AEG、△AHC辅助线思路:将DF与BF转化到CG与EF。()任意相似直角三角形°旋转模型补全法【条件】:①△OAB∽△ODC②∠OAB=∠ODC=°③BE=CE【结论】:①AE=DE②∠AED=∠ABO辅助线:延长BA到G使AG=AB延长CD到点H使DH=CD补全△OGB、△OCH构造旋转模型。转化AE与DE到CG与BH难点在转化∠AED。()任意相似直角三角形°旋转模型倍长法【条件】:①△OAB∽△ODC②∠OAB=∠ODC=°③BE=CE【结论】:①AE=DE②∠AED=∠ABO辅助线:延长DE至M使ME=DE将结论的两个条件转化为证明△AMD∽△ABO此为难点将△AMD∽△ABC继续转化为证明△ABM∽△AOD使用两边成比例且夹角相等此处难点在证明∠ABM=∠AOD模型七:最短路程模型()最短路程模型一(将军饮马类)总结:右四图为常见的轴对称类最短路程问题最后都转化到:“两点之间线段最短:解决特点:①动点在直线上②起点终点固定()最短路程模型二(点到直线类)【条件】:①OC平分∠AOB②M为OB上一定点③P为OC上一动点④Q为OB上一动点【问题】:求MPPQ最小时P、Q的位置?辅助线:将作Q关于OC对称点Q’转化PQ’=PQ过点M作MH⊥OA则MPPQ=MPPQ’MH(垂线段最短)()最短路程模型二(点到直线类)【条件】:A(,),B(,),P(,n)【问题】:n为何值时最小?求解方法:①x轴上取C(,),使sin∠OAC=②过B作BD⊥AC交y轴于点E即为所求③tan∠EBO=tan∠OAC=即E()()最短路程模型三(旋转类最值模型)【条件】:①线段OA=OB=②OB绕点O在平面内°旋转【问题】:AB的最大值最小值分别为多少?【结论】:以点O为圆心OB为半径作圆如图所示将问题转化为“三角形两边之和大于第三边两边之差小于第三边”。最大值:OAOB最小值:OAOB【条件】:①线段OA=OB=②以点O为圆心OBOC为半径作圆③点P是两圆所组成圆环内部(含边界)一点【结论】:若PA的最大值为则OC=若PA的最小值为则OC=  若PA的最小值为则PC的取值范围是 <PC< 【条件】:①Rt△OBC∠OBC=°②OC=③OA=④点P为BC上动点(可与端点重合)⑤△OBC绕点O旋转【结论】:PA最大值为OAOB=PA的最小值为如下图圆的最小半径为O到BC垂线段长。模型八:二倍角模型【条件】:在△ABC中∠B=∠C辅助线:以BC的垂直平分线为对称轴作点A的对称点A’连接AA’、BA’、CA’、则BA=AA’=CA’(注意这个结论)此种辅助线作法是二倍角三角形常见的辅助线作法之一不是唯一作法。模型九:相似三角形模型()相似三角形模型基本型平行类:DE∥BCA字型     字型    A字型结论:(注意对应边要对应)()相似三角形模型斜交型【条件】:如右图∠AED=∠ACB=°【结论】:AE×AB=AC×AD【条件】:如右图∠ACE=∠ABC【结论】:AC=AE×AB第四个图还存在射影定理:AE×EC=BC×ACBC=BE×BACE=AE×BE()相似三角形模型一线三等角型【条件】:()图:∠ABC=∠ACE=∠CDE=°()图:∠ABC=∠ACE=∠CDE=°()图:∠ABC=∠ACE=∠CDE=°【结论】:①△ABC∽△CDE②AB×DE=BC×CD一线三等角模型也经常用来建立方程或函数关系。()相似三角形模型圆幂定理型【条件】:()图:PA为圆的切线【结论】:()图:PA×PB=PC×PD()图:PA=PC×PB()图:PA×PB=PC×PD以上结论均可以通过相似三角形进行证明。

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