随机比例微分方程数值解收敛性和稳定性

随机比例微分方程数值解收敛性和稳定性 国内图书分类号:O211.63 国际图书分类号:519.6 理学硕士学位 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 随机比例微分方程数值解的收敛性和 稳定性 硕 士 研究生: 王 奕 导 师: 刘明珠教授 申 请 学 位: 理学硕士 学 科、专 业: 计算数学 所 在 单 位: 数学系 答 辩 日 期: 2008 年 6 月 授予学位单位: 哈尔滨工业大学 Classi,ed Index: O211.63 U.D.C.: 519.6 Dissertation for the Master Degree in Science CONVERGENCE AND STABILITY OF NUMERICAL METHODS FOR STOCHASTIC PANTOGRAPH DIFFERENTIAL EQUATIONS Candidate: Wang Yi Supervisor: Professor Liu Mingzhu Academic Degree Applied for: Master of Science Speciality: Computational Mathematics Af,liation: Department of Mathematics Date of Defence: June, 2008 Degree-Conferring-Institution: Harbin Institute of Technology 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 摘 要 随机延迟微分方程作为一种重要的数学模型，越来越多地应用于经济、 医学、物理和控制科学等领域。由于很难直接求出随机延迟微分方程的显式 解表达式，因此构造合适的数值方法并对数值解的性态进行研究是一项具有 理论价值和实际意义的工作。 对于随机延迟微分方程的研究近十年来才逐步展开，现有的一些结论大 都是关于随机常延迟微分方程的。对于随机无界延迟微分方程，特别是随机 比例微分方程的研究很少见到。 本文主要研究随机比例微分方程。介绍了对时间区间的变步长划分方法， 数值节点不仅包括离散点 tn，还包括了所对应的延迟节点 qtn。考察了非线性 随机比例微分方程，在全局 Lipschtiz 条件和线性增长条件下，方程的半隐式 阶收敛的。 Euler 方法是 1/2 对于一般形式的线性随机比例微分方程，应用变步长半隐式 Euler 方法， 讨论了数值解的 T-稳定性。T-稳定是一种弱稳定性，但在计算机实现方面有明 显优势，具有较强的应用性。文章同时讨论了定步长半隐式 Euler 方法的 T-稳 定性，并分别给出了数值试验。通过简单的比较，变步长方法在保持解的稳定 性和步长控制方面具有明显的优势。 对 于 随 机 比 例 微 分 方 程，本 文 还 研 究 了 一 种 高 阶 的 数 值 方 法 , ,Milstein方法。该方法是基于随机 Taylor 展开的强收敛方法，数值格式中 含有两个二重积分。利用随机积分的性质和鞅的性质，有效的解决了二重积 分的计算问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ，证明了半隐式 Milstein 方法在均方意义下是 1 阶收敛到方程解 析解的。之后讨论了应用于线性试验方程的变步长半隐式 Milstein方 法的均 方稳定性，并给出了相应的数值试验。 关键词 随机延迟微分方程;随机比例微分方程;数值方法;稳定性;收敛性 –I– 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 Abstract Stochastic delay differential equations(SDDEs), as important models, are more and more used in many ,elds such as economics, medicine, physics and control sci- ence. Due to the dif,culty to get the explicit solutions of SDDEs, it is meaningful to investigate appropriate numerical methods and to study the properties of the numerical solutions both in theory and in application. The study of the SDDEs recently started in decade, and the most are for SDDEs with constant delays. Only can few papers be found for SDDEs with unbounded delays, especially, the stochastic pantograph differential equations. This paper focus on the stochastic pantograph differential equations. We intro- duce the variable stepsizes partition on time interval. The discrete points not only include the tn, but also the delay argument qtn. The nonlinear stochastic pantograph differential equations are considered. It is proved that the semi-implicit Euler method is convergent with strong order 21 under the conditions of global Lipschitz and linear growth. Applying the semi-implicit Euler with variable stepsizes to the linear stochastic pantograph differential equations, we discuss the T-stability. T-stability is a kind of weak stability, which is superior in computer simulation. we also consider the semi- implicit Euler with ,xed stepsizes on contrast. It is obvious that the variable stepsizes method is better in stability and step control than ,xed stepsizes method. For the stochastic pantograph differential equations, we deal with another nu- merical method–Milstein method. It is a method based on stochastic Taylor expan- sion with high order, including two double integrals. we calculate the expectation of the double integral by using the properties of Itoˆ integral and martingale, and prove that the numerical solution is convergent to analytical solution with high strong order 1. Then we consider the semi-implicit Milstein method with variable stepsizes for a linear test equation, and some numerical experiments are given. Keywords stochastic delay differential equations; stochastic pantograph differen- tial equations; numerical methods; stability; convergence – II – 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 目 录 摘 要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 第1章 绪论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . 1.1 随机微分方程及其应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 随机微分方程和随机延迟微分方程的研究现状 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 随机微分方程和随机延迟微分方程的数值分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 本文的主要工作 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 第2章 非线性随机比例微分方程半隐式Euler方法的收敛性 . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1 引言 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 . . . 解的存在唯一性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 2.3 17 变步长半隐式Euler方法的收敛性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 本章小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 第3章 线性随机比例微分方程半隐式Euler方法的T-稳定性 . . . . . . . . . . . . . . . . 24 24 3.1 引言 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 解析解大范围随机渐近稳定的条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 26 3.3 数值解的T-稳定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3.1 变步长 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 定步长 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4 数值实验. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.5 33 本章小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 第4章 随机比例微分方程半隐式Milstein方法的收敛性和稳定性 . . . . . . . . . . 34 4.1 引言 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 . . . 4.2 34 半隐式Milstein方法的收敛性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 变步长半隐式Milstein方法的均方稳定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.4 数值试验. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 474.5 本章小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . – III – 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 结 论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 攻读硕士学位期间发表的学术论文 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 哈尔滨工业大学硕士学位论文原创性声明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 哈尔滨工业大学硕士学位论文使用授权书 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 致 谢 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 – IV – 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 第 1 章 绪论 1.1 随机微分方程及其应用 自然界中，事物的变化过程大体上可以分为两类。第一类变化过程符合 必然的变化规律，可以用关于时间 t 的确定函数加以描述，这类过程称为确定 性过程。例如，自由落体运动物体的速度和位移就是关于时间 t 的确定函数。 另一类变化过程没有确定的变化形式，不能用关于时间 t 的确定函数加以描 述，这类变化过程称为随机过程。例如液体中花粉粒子受到液体分子随机碰 撞所作的无规则运动，也称为布朗运动或维纳过程。 在描述过程的变化规律方面，确定性微分方程一直起着重要的作用。然 而自然界中的事物并不是相互孤立的，周围环境或者偶然因素的影响必然存 在，有时候甚至是不容忽略的。此外，数学模型中的某些系数是通过测量得到 的，而测量中存在无法控制的随机误差，决定了这些系数也不是确定的函数。 为了更真实地描述事物变化的规律，我们在一般的常微分方程中引入了随机 项，得到了随机微分方程。 例 1 Ornstein-Uhlenbeck过程[1] 考虑空气中(或液体表面)粒子的运动，假设粒子只受摩擦力作用，记 Y (t) 是粒子在 t 时刻速度的一个分量，α > 0 是摩擦系数。不考虑随机因素的 影响应有 Y? (t) = ?αY (t), Y (0) = Y0 然而当粒子很小时，空气分子(或液体分子)对粒子的随机碰撞所产生的随机 力是不能忽略的，方程右边应加上随机力 ζW? (t)，ζ 是扩散系数，于是有 Y? (t) = ?αY (t) + ζW? (t), Y (0) = Y0 或 dY (t) = ?αY (t) + ζdW (t), Y (0) = Y0 这就是著名的 Langevin 方程，是最早的随机微分方程。 –1– 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 例 2 人口增长模型[1, 2] 一个简单的人口增长模型为 dN (t) = a(t)N (t), 0 N (0) = Ndt 其中 N (t) 表示 t 时刻的人口数量，a(t) 表示 t 时刻的人口增长率。考虑到 外部环境随机变化的影响，增长率 a(t) 是不确定的，应当修改为，a(t) = r(t) + ζ(t)?“噪声”，这里 r(t) 是确定性函数，因此上面的方程变为 dN (t) = r(t)N (t) + ζ(t)N (噪声t) ?“”, N (0) = N0 dt 写成积分形式 t t N (t) = N0 + r(s)N (s)ds + ζ(s)N (s) ?“噪声”ds 0 0 “噪声”一般由许多小的随机因素叠加而成，它的合理的数学解释是“白噪 声”，记为 W? (t)，可视为维纳过程的形式导数，即 W? (t) = dWdt(t)，因此“噪 声”?dt 可写成 dW (t)。于是得到更理想的人口增长模型 t t N (t) = N0 + r(s)N (s)ds + ζ(s)N (s)dW (s) 0 0 或者 dN (t) = r(t)N (t) + ζ(t)N (t)dW (t), N (0) = N0 从另一个角度讲，大多数事物的变化规律不仅与当前时刻的状态有关， 而且与事物过去一段时间内的状态有关。例如信号传递、电力传动等系统不 可避免的存在着传递延时，而在机械、化工、生命科学和金融等研究领域，滞 后现象也经常出现。为了更精确地描述事物的状态，我们在微分系统中引入 了刻画事物过去状态的部分，即延迟项。 例 3 修正的人口模型[3] 例 1 中人口增长的微分系统事实上是受滞后影响的。也就是说，N (t)不 仅与人口增长率有关，同时也受到过去一段时间内的人口数量(特别是处于 怀孕期的妇女数量)的影响。加入滞后对系统的影响后再重新刻画这一系统， –2– 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 就会得到随机延迟微分方程 t 0 dN (t) = (0Nr (t) + r1N (t ? η ))dt + αN (t)dW (t), N (t) =? (t), t ? [?η, 0] 其中 η > 0是延迟项，?(t) 是初值函数。 例 4 电流收集模型 1971年，Ockendon 和 Taylor[4]用下列方程 X(t) = aX(t) + bX(qt), (0 < q < 1) X(0) = X 0 通过电动机车的导电弓架收集电流的方法，研究了电流的构成是由电荷运动 的比例决定的，方程也因此被命名为比例微分方程。注意到，当 t ? ? 时，延 迟项 qt ? ?，是一类无界延迟微分方程。方程中系数 a, b 是常数，而实验中 环境噪声和测量误差的影响是不可避免的，也不容忽略。考虑这些因素的影 响，将常系数 a, b 换成他们的点估计值加上噪声，由中心极限定理可知误差项 是服从正态分布的随机变量，即 a = a? + error = a? + ζ1W? (t) b = ?b + error = ?b + ζ2W? (t) 代入上面的方程中并写成微分形式 dX(t) = (?aX(t) + ?bX(qt))dt + (ζ1X(t) + ζ2X(qt))dW (t) 这是一个随机比例微分方程。在非线性动力系统、量子力学、电气力学(如文 献 [5, 6])等问题中常常用到比例微分方程的模型。 总之，由于考虑了噪声环境以及滞后因素对系统的影响，随机延迟微分 方程能够更加真实、准确地描述客观事物的状态以及变化规律。目前随机微 分方程作为一种重要的数学模型被广泛地应用于多个领域的研究中，如金融 学[1]，人口动力学问题[3, 7]，神经控制系统[8]，电路模型的建立[9, 10]等等。 –3– 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 1.2 随机微分方程和随机延迟微分方程的研究现状 1942 年，K. Itoˆ 引入了随机微分方程，其一般形式为 dX(t) = f (t, X(t))dt + g(t, X(t))dW (t), t ? [0, T ] (1-1) X(0) = X 0 这里 f : R+ × Rn ? Rn 称为漂移系数，g : R+ × Rn ? Rn×m 称为扩散系 数。W (t) 是有独立增量的 m 维 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 维纳过程，X0 是随机变量。方程(1-1)仅是 一种形式上的写法，与之等价的随机积分方程写为 t t X(t) = X0 + f (s, X(s))ds + g(s, X(s))dW (s) (1-2) 0 0 随机微分方程与确定性常微分方程的本质区别在于随机积分 t 0 g(s, X(s))dW ，它不能理解为通常意义下的(s) Lebesgue-Stieltjes积分，原 因在于对几乎所有的 w，维纳过程的轨迹 W (t, w)(t ? [0, T ]) 是不可微的，且 在 t 的任意小区间内没有有界变差。最广为接受的随机积分的定义是 Itoˆ 积分 t t 和 Stratonovich积分，分别记为 0 g(s, X(s))dW (和s) 0 g(s, X(s)) ? dW 。两(s) 者之间的关系是 t t t 1 ?g g(s, X(s)) ? dW (s) = g(s, X(s))dW (s) + gds 2 ?x 0 0 0 二十世纪四十年代 Itoˆ 和 I. Gihman 分别独立研究了随机微分方程的基本 理论，之后在电子工程学中的控制问题、生物学中的人口动力问题等实际需 要的推动下，随机微分方程的基本理论得到不断的完善与发展。现在其内容 已十分丰富，除类似于确定方程解的存在唯一性、解对初值和参数的连续依 赖性、解的稳定性和振动性等，还涉及到解的随机特性如平稳性、鞅性等。这 里主要介绍随机微分方程和随机延迟微分方程解的存在唯一性和稳定性方面 的结果、数值解的收敛性和稳定性。 对 于 形 如(1-1)的 随 机 微 分 方 程 的 解 的 存 在 唯 一 性 条 件， 大 量 文 献[1, 2, 11, 12]中均有论述。一个最简单的解的存在唯一性定理是 (A1) f (t, x)，g(t, x) 关于 t，x 两个变量联合可测。 –4– 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 (A2) (Lipschitz条件) 存在常数 K > 0，是得对所有 t ? [0, T ]，x，y ? Rn 有 2 K|x ? |f (t, x) ? f (t, y2 )?| g(t, x) ? g(t, y) y|2 (A3) (线性增长条件) 存在常数 L > 0，是得对所有 t ? [0, T ]，x ? Rn 有 2 |f (t, x)2| ? g(t, x) K(1 + |x|2) (A4) X0 与 W (t) 独立且 E|X0|2 < ? 则方程(1-1)有唯一的解且满足 sup E|X(t)| < ?。这里 | ? | 表示Euclidean范 t?[0,T ] 数， ? 表示矩阵范数， A = trace(ATA)。 关于解的存在唯一性的许多其他定理都是对这一定理的改进。例如 E|X0| < ? 可改为 X0 是 F0- 可测，此时解仍存在唯一，但不能保证一定有 界。条件(A2)所要求的全局 Lipschitz 条件过于严格，Gilhaman 和 Skorohod[11] 说明了可以将其换成局部 Lipschitz条件，即对任意的正整数 l ? 0，存在常数 l，有 Kl > 0，使得对任意的 t ? [0, T ]，x, y ? Rn 且满足 |x| ? |y| 2 K|f (t, x) ? f (t, y2 )?| g(t, x) ? g(t, y) l|x ? y|2 Mao[1]则指出解的存在唯一性条件可将上面的(A2)换成局部 Lipschitz 条件，同 时(A3)替换成单调性条件 1 H(1 + |x|2) ?H > 0,对 ?(t, x) ? [0, T ] × nR, 有 xTf (t, x) + |g(t, x2 )|2 但此时只能保证解的局部存在性。 在随机常微分方程解的存在唯一性理论基本完善之后，对随机延迟微分 方程解的理论研究逐步展开。按照确定性延迟微分方程的分类方法，我们同 样将随机延迟微分方程分为两类:随机有界延迟微分方程和随机无界延迟 微分方程。前者是指延迟函数 η (t) 在任意时刻都不超过一个给定的常数，即 lim sup < ?，后者指 lim sup = ?。一般的，称 η (t) 为常数的随机延迟微分方 t?? t?? 程为随机常延迟微分方程。 目前对于随机常延迟微分方程的研究比较多。1996年，Mohammed[13]考虑 了随机泛函微分方程 –5– 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 t 0 dX(t) = h(t, Xt)dt + g(t, Xt)dW (t), (1-3) X(0) = θ 其中 Xt(s) = {X(t + s)，s ? [?η, 0]}。证明了当 h、g 满足局部 Lipschitz 条件和 线性增长条件时解是存在唯一的，并研究了解的马尔科夫性。 2000 年，Mao，Matosov，Piunovshiy[14]考虑了随机微分方程 t 0 dX(t) = f (X(t), X(t ? η ), t, r(t))dt + g(X(t), X(t ? η ), t, r(t))dW (t), X = ξ ? Cb ([?η, 0], nR) 0 F0 其中 f : Rn × Rn × R+ × S ? Rn，g : Rn × Rn × R+ × S ? Rn×m，S = {1, 2, . . . , N }，r(t) 是概率空间上取值于 S 的右连续马尔可夫链，证明了 f，g 在满足局部 Lipschitz 条件和线性增长条件下解存在唯一。 文献[1, 15, 16]中也有关于随机有界延迟微分方程解存在唯一的结论。 对于随机无界延迟微分方程，1994年，Mao[16]考虑了随机延迟微分方程 dX(t) = f (t, X(t), X(δ(t)))dt + g(t, X(t), δ(t))dW (t), t 0 X(t) = ξ(t), t ? [?η, 0] 其中 η 是正常数，δ(t) 是给定的实值连续函数且满足 ?η δ(t) t。文中证明 了在 f，g 满足局部 Lipschitz 条件和线性增长条件下方程的解是存在唯一的。 2000年，Baker[17]介绍了一类特殊的随机无界延迟微分方程,,随机比例 微分方程 t 0 dX(t) = (aX(t) + bX(qt))dt0 + + ( ζ1ζX(t) + 2ζX(qt)dW (t), (1-4) t ? [?η, 0] X(t) = ξ(t), 其中 a, b, ζ0, ζ1, ζ2 ? R，0 < q < 1。文中给出了方程解的存在唯一性定理。 2007年，Fan[18] 利用压缩映射原理证明了非线性随机比例微分方程解的 存在唯一性，同时证明了应用于方程的定步长半隐式 Euler 方法是1/2阶收敛 的。 –6– 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 随机微分方程的稳定性研究的是在初值、系数函数或某些参数产生微 小扰动的情况下对方程解的影响，具有重要的理论意义和实际应用价值。较 为常见的关于初值的稳定性有以下三种定义:依概率稳定也称为随机稳定( Stability in probability )、矩稳定( Moment stability )和几乎处处稳定( Almost sure stability )。 在随机微分方程解的稳定性研究中，Lyapunov 函数一直是最重要的研究 工具之一。几乎所有的研究都是在常微分方程和泛涵微分方程定性理论的基 础上开展起来的。 1967 年，Has’minskii[19]给出了线性随机系统 dX(t) = λX(t)dt + µX(t)dW (t), (1-5) X(0) = X0 在大范围内随机渐近稳定的充要条件: Re(λ ? 12 µ2) < 0，(λ, µ ? C)，同时 还考虑了零解几乎处处指数稳定性。在文献[12]中也有类似的结论。同时， Arnold[12]进一步建立了保证方程(1-5)零解均方渐近稳定的条件:Reλ < 12 |µ|2， 进而证明了如果方程(1-5)的零解是均方渐近稳定的，则一定是大范围内随机 渐近稳定的。 Oeljeklaus 和 Pardoux1984 年，Arnold ， [20]考虑了方程(1-5)的指数稳定 性，在文中给出了方程零解几乎处处指数稳定的条件，并讨论了稳定条件中 Lyapunov 指数与 p 阶矩指数稳定中 Lyapunov 指数之间的关系。 1988年，Gard[2]给出了一系列应用 Lyapunov 方法判定方程(1-1)零解随机 稳定和随机渐近稳定的条件，并应用这些判别条件讨论了自治方程的随机稳 定性。 1997年，Mao在著作[1]中讨论了方程(1-1)几乎处处指数稳定和矩指数稳定 条件。 1999 年，Mao [21]首次使用多个 Lyapunov 函数，研究了方程(1-1)的稳定性， 建立了随机版本的 LaSalle 型定理，使用此定理给出了(1-1)解析解随机渐近稳 定的更好条件。 2003年，Merenkov[22]回顾了方程(1-1)稳定性的研究成果，证明了新的随 机稳定(包括随机渐近稳定)和几乎处处指数稳定定理，推广了已有的结论。 对于SDDEs解析解的稳定性研究，已有的结果几乎都是关于随机有界延 迟微分方程的。1984 年，Mohanmmed[15]给出了应用 Lypunov 函数判别方程 –7– 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 dX(t) = f (t, X(t), X(t ? η ))dt + g(t, X(t), X(t ? η ))dW (t), t 0 (1-6) ?η t 0 X(t) = ξ(t), 零解 p 阶矩渐近稳定的方法。 1990 年，Mohanmmed[23]给出了线性随机延迟微分方程几乎处处指数稳定 的条件，这是随机延迟微分方程关于指数稳定的最早成果。 1991 年， Mao[24]讨论了一类非线性随机延迟微分方程的几乎处处指数 稳定。1994年，Mao[16]给出了延迟项为 η (t) 的随机延迟微分方程(1-6)几乎处 处指数稳定和矩指数稳定的判别方法;1996 年，给出了判断随机延迟微分方 程(1-3)平凡解指数稳定的 Razumikhin 型定理，这一研究结果收录在其1997年 的著作[1]中;1999年，在[25]中给出了判断随机延迟微分方程(1-6)平凡解几乎 处处渐进稳定的 LaSalle 型定理;2001 年，文章[29]建立了关于随机延迟微分 方程(1-6) 吸引子的新理论，据此获得了方程解几乎处处渐近稳定和有界的新 的标准;2002年，Mao[30]又对[25]中的结论作了改进，得到了更好的结论。 2005 年，Appleby 和 Mao[26]研究了方程 dX(t) = f (t, Xt))dt + AX(t)dW (t) θ 0})的随机稳定性，证明了即使原 (其中 A 是矩阵，Xt = {X(t + θ) : ?η 方程本身是不稳定的确定性泛函微分方程，在考虑随即扰动后，其对应的随 机泛函微分方程可能变成稳定的。 2007 年，Luo[28]对Baker[27]中的结论进行了改进，使结论能适用于更广泛 的随机延迟微分方程。 1.3 随机微分方程和随机延迟微分方程的数值分析 Platen均讨论了随机常微分方程的可解性，在他们的著作 Gard，Kloeden和 中列出了可以写出显式解表达式的方程。一般来说，随机延迟微分方程的显 式解只能通过分段求解随机微分方程给出。事实上，绝大多数的随机常微分 方程都无法得到解析解的显式表达式，而对随机延迟微分方程显式求解就更 加困难了。因此，对适用于随机微分方程的数值方法和相应的数值解性态进 行研究是非常重要的。 –8– 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 求随机微分方程的数值解，最常用的方法是在计算机上模拟离散化 的SDEs的解的轨道。对时间段 [0, T ] 进行划分 π : t0 < t1 < t2 < . . . < tN = T 记 |?| = max (ti+1 ? ti)，构造数值方法，逐步计算精确解 X(tk) 在离散点 1 i N ?1 上的近似值 Yk，k = 1, 2, . . . , N。然后用统计学的方法衡量解析解和近似解的 近似程度。 强收敛方法:称近似解 Yk 是 p (p ? (0, ?)) 阶强收敛的，如果存在正常数 C 和 δ 使得 p C|?|E(|X(T ) ? YN |) 对于 [0, T ] 上满足 ? ? (0, δ) 的任意分划均成立。 由于 E(|X(T ) ? YN |) E(|X(T ) ? YN |2)，且右边表达式更容易计算， 因此很多时候都用 C|?|2p E(|X(T ) ? YN |2) 代替。 Maruyama 最早讨论了随机常微分方程数值方法收敛性，他给出了最简 单的收敛方法:Euler-Maruyama(也称为 Euler 法) n = 0, 1, . . . , N ? 1 Y n+1 = Yn + f (tn, Yn)?n + g(tn, Yn)?Wn, Y = X 0 0 这里 X0 是初值，?n = tn+1 ? tn，?Wn = W (tn+1) ? W (tn)。目前，Euler 方法 是应用最为广泛的一种数值方法。 1972年，Gikhman 和 Skorokhod[11]证明了如果系数 f 、g 满足局部 Lipschitz 条件和线性增长条件，那么 Euler 方法是0.5阶收敛的。 1974 年，Milstein 提出了 Milstein 方法，对一维单噪声情况(即 Yn、W (t) 都是一维) 1 n = 0, 1, . . . , N ? 1 Yn+1 = Yn + f ?n + g?Wn + gg [(?Wn)2 ? ?n], 2 ?g(t,x) 。当 其中 g = E|X0|2 < ?，f, g 两次连续可微且 f, f , g, g 满足局部 ?x –9– 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 Lipschitz 条件时，Milstein 方法是1阶收敛的。Milstein 方法推广到多噪声情况 即维纳过程 W = (W 1, . . . , W m) 时，方法的表达式中包含多重 Itoˆ 积分 ηn+1 s2 I(j1,j2) = j1, j2 ? {1, . . . , m}, j1 = j2 dWsj11dWsj22, ηn ηn 它不能简单地用维纳过程的增量 ?Wnj1和?Wnj2 来表示，即不能只用维纳过程 在离散点处的信息表示，它还包含了在离散点以外的信息。 1982 年，Rumelin[31]证明了对多噪声情况，如果仅知维纳过程在离散点处 的信息，任何数值方法的收敛阶不会超过1/2。 1992 年，P. E. Kloeden和 E. Platen在著作[32]中用 Itoˆ公式给出了(1-1)解析 解在某一点处的随机 Talyor 展开式。 1995 年，Milstein 在著作[33]中证明了数值方法局部收敛和全局收敛的关 系。理论上由上面两个结果可以构造出任意阶收敛的数值方法，但2 阶以上方 法的实用价值不大。原因在于高阶方法需要计算高阶导数，还由于高阶方法 中包含多重 Itoˆ 积分，在计算机上模拟此方法是十分困难的。[32, 33]中作者给 出了一系列1.5阶和2阶方法。 1997 年，Milstein[34]又针对具有小噪声的随机微分方程提出了数值近似 的新的解决 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ，在不增加方法复杂度的前提下，构造出了一系列简单而又 实用的高阶数值方法。 2002 年，Higham 等[35]针 对 方 程(1-1)，证 明 了 当 系 数 f 和 g 满 足 局 部 Lipschitz 条件、解析解与 Euler 数值解的 p 阶矩有界时，Euler 数值解是收敛 的;并证明了系数 f 满足单边 Lipschitz 条件，g 满足局部 Lipschitz 条件、解析 解与 Euler 数值解的 p 阶矩有界时，Euler 数值解是收敛的。 2003 年, X. R. Mao[36]考虑了无界延迟方程 dX(t) = f (X(t), X(δt))dt + g(t, X(t), X(δt))dW (t), t 0 X(t) = ψ(t), t ? [?η, 0] δ(t) 其中 ?η t，且对任意的 t, s > 0 有 |δ(t) ? δ(s)| |t ? s|。证明了在局 部 Lipschitz 条件和线性增长条件下用于上面方程的 Euler 方法是收敛的。 与确定性方程不同的是随机隐式方法分为全隐式和半隐式两种，所谓全 隐式是漂移系数和扩散系数对应的离散项都是隐式的，半隐式只有扩散系数 – 10 – 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 对应的离散项是隐式的。Kloeden[32] 和 Milstein[33] 分别指出一般全隐式方法 由于包含了高斯随机变量的导数，其绝对值的期望不存在(无界)，这使得收 敛方法的分析没有意义。一般所说的隐式方法均指半隐式方法，构造全隐式 方法是很困难的。目前只有少量的全隐式方法: G.N.Milstein 等在[37]中构造 了被称为平衡隐式方法的0.5阶收敛的全隐式方法。T. Tian等在[38]给出了1阶 和1.5阶收敛的全隐式方法。 其他方面的研究结果还有很多，例如文章[40-42]研究了数值方法的自动 控制;文献[42]研究了在局部 Lipschitz 条件下，几种最重要的数值方法的几乎 处处收敛性等等。 随 机 微 分 方 程 数 值 解 的 稳 定 性 研 究 起 步 比 较 晚。1985年，Pardoux和 Talay[43]给 出 了 最 初 的 数 值 稳 定 的 定 义。在 此 之 后 Klander 和 Petersen[44]、 Petersen[45]等学者也在稳定方面也作了一些讨论。目前最有代表的定义有 三种:矩稳定( Moment Stability )、渐近稳定(Asymptotically stability )和 T-稳 定(T-stability )。 1996 年，Y. Saito 和 Mitsui[49]采用乘积噪声项的线性方程作为试验方程， 系统地研究了多种数值方法的均方稳定性、引入稳定函数和稳定区域概念。 1993 年，Y. Saito [46]最 早 提 出 T-稳 定 的 定 义 并 讨 论 了 线 性 试 验 方 程 Euler 方 法 的 T-稳 定 性。2000年，Burrage[47]等 人 也 讨 论 了 T-稳 定 性。之 后(2001)，Burrage 和 Tian[48]又进一步推广了 T-稳定的定义。 2000 年，Higham[50]同样对[49]中的线性试验方程，研究了随机 θ -方法的 均方稳定性，引入渐近稳定性概念并将渐近稳定性的分析转化成对一个含参 数的随机变量期望值的估计，该文将确定方程 θ-方法的一些结论推广到随机 微分方程。2003 年，A. Bryden 和 D. J. Higham[51]对线性试验方程给出了随机 θ -方法渐近稳定区域无界的等价条件。 对随机延迟微分方程数值方法的研究尚处于起步阶段，且大多数研究成 果是针对随机常延迟微分方程的。 2000年，Baker和Buckwar在文献[3, 52]证明了在全局 Lipschitz 条件和线性 增长条件下，用于方程(1-6)的 Euler 方法是 12 阶收敛的。 2004年，Y. Hu，Mohammed 和 F. Yan[53]给出了新的 Itoˆ 公式，借助此公式 对更一般的随机延迟微分方程，构造了1阶收敛的 Milstein 方法，并说明了实 际计算中多重积分的处理方法。 2006年，E. Buckwar[54]给出了泛函微分方程半隐式单步法强收敛性的一 – 11 – 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 般性定理。 对于随机延迟微分方程数值解的稳定性研究，目前主要是对随机常延迟 微分方程的稳定性有少量结果。 2004 年，Liu 等[55]考虑线性随机延迟微分方程 0 dX(t) = [aX(t) + bX(t ? η )]dt + [cX(t) + dX(t ? η )dW (t), t (1-7) X(t) = ψ(t), t ? [?η, 0] 其中 ψ(t) 是初值，a, b, c, d ? R。文中研究了此方程的半隐式 Euler 方法的均 方稳定性。 同年，Cao 等[56]考虑方程了方程(1-7)的一种特例，当 c = 0 时方程的 Euler 方法的均方稳定性。 2005 年，Baker[57]研究了应用于方程(1-6)的 Euler 方法的 p 矩指数稳定性。 2006年，Wang[58]研究了应用于方(1-7)的Milstein方法的均方稳定性。 2007年，Mao[59]研究了方程(1-6)解析解均方稳定和 Euler 方法数值解均方 稳定之间的关系。 2007年，Fan[60]中研究了线性随机比例微分方程 θ-方法的均方渐近稳定 性。 对于随机无界延迟微分方程数值解稳定性的研究文章还很少见。 1.4 本文的主要工作 通过前面几节的介绍可以发现，随机常微分方程解析解的理论已经基本 完善，数值解的研究成果也十分丰富。但是对随机延迟微分方程的研究却落 后于随机常微分方程，对随机无界延迟微分方程，特别是随机比例微分方程 dX(t) = f (X(t), X(qt))dt + g(X(t), X(qt)))dW (t), t 0 (1-8) X(0) = X 0 数值方法的研究并不多见。 本论文将主要讨论应用于随机比例微分方程的半隐式 Euler 方法和半隐 式 Milstein 的稳定性，同时也对数值方法的强收敛性方面做了一些初步的讨 – 12 – 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 论。具体内容如下: 第二章首先引入变步长方法，研究了非线性随机比例微分方程变步长半 隐式 Euler 方法的收敛性。 在第三章中，对一般的线性随机比例微分方程 t 0 dX(t) = (aX(t) + bX(qt))dt + (cX(t) + dX(qt))dW (t), (1-9) X(0) = X 0 应用上述变步长半隐式 Euler 方法，讨论了数值解的 T-稳定性。同时，又研究 了定步长半隐式 Euler 方法的 T-稳定性，并对两种不同的数值方法做了简单的 比较。 第四章首先对(1-8)式的非线性随机比例微分方程讨论了半隐式 Milstein 法的收敛性，然后对线性试验方程(1-9)研究了变步长半隐式 Milstein 法在均方 意义下稳定性，给出了均方稳定的参数条件，并对所得的结论给出了数值算 例。 – 13 – 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 第 2 章 非线性随机比例微分方程半隐式Euler方法 的收敛性 2.1 引言 在本篇论文中我们总是假设 (?, F , P ) 是带有滤子 {Ft}t?0 的完备概率 空间，并且满足通常条件(即滤子 {Ft}t?0 是单调增加的、右连续的，并且 F0 包含了所有的零测度集)。W (t) = (W1(t), W2(t), . . . , Wm(t))T 是概率空间 (?, F , P ) 上有独立分量的 F0-可测的 m 维维纳过程。令 T > 0，L1([0, T ]; Rn) 表 示所有取值于 Rn 的、可测的、{Ft}-可适的随机过程 f = {f (t)}0 t T 的全体， T 满足 0 |f (t)|dt < ? w.p.。1 L2([0, T ]; Rn×m) 表示所有取值于 Rn×m 的、可测 T 的、{Ft}-可适的随机过程 f = {f (t)}0 t T 的全体，满足 0 |f (t)|2dt < ? w.p.1 假设 X0 是 F0-可测的、取值于 Rn 的、满足 E|X(0)|2 < ? 的随机变量。函 数 f : [0, T ] × Rn × Rn ? Rn 和 g : [0, T ] × Rn × Rn ? Rn×m 都是 Borel 可 测的。 | ? | 表示欧式范数，若 A 是一矩阵，则 |A| 表示矩阵的迹范数，即 |A| = trace(ATA)。 本章考虑以下随机比例微分方程 dX(t) = f (X(t), X(qt))dt + g(X(t), X(qt))dW (t), t ? [0, T ] (2-1) X(0) = X 0 (0 < q < 1)变步长半隐式 Euler 方法的收敛性。根据随机微分的定义，方 程(2-1)也等价于以下积分方程 t t X(t) = X(0) + f (X(s), X(qs))ds + g(X(s), X(qs))dW (s), t ? [0, T ] 0 0 (2-2) 2.2 解的存在唯一性 本节主要介绍解的存在唯一性及解的性质。 – 14 – 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 满足以下条件 定义 2.1 如果随机过程 X = {X(t)}0 t T 1. X = {X(t)}0 是连续的，并且是 Ft-可适的， t T 2. f (X(t), X(qt)) ? L1([0, T ], Rn) 并且 g(X(t), X(qt)) ? L2([0, T ], Rn×m)， 3. 对所有的 t ? [0, T ]，方程(2-1)几乎处处成立。 是唯一的，如果任 则称这个随机过程是方程(2-1)的解。称解 X = {X(t)}0 t T 意其他的解 X? = {X? (t)}0 t T 和 X 是无差别的，即 P {X(t) = X? (?t) 0 , t T } = 1 定理 2.1 假设存在正常数 K 使得 1. (Lipschitz条件) 对于所有的 x1, y1, x2, y2 ? Rn |f (x1, y1) ? f (x2, y2)|2 ? |g(x1, y1) ? g(x2, y2)|2 (2-3) 2 2 K(|x1 ? x2| + |y1 ? y2| ) 2. (线性增长条件) 对于所有的 (x, y) ? Rn × Rn，有 (2-4) |f (x, y)|K(1 + |x|2 ? |g(x, y)|2 2 + |y|2) 则方程(2-1)存在唯一的解。 具体证明可参考文献[18]。 定理 2.2 假设线性增长条件(2-4)成立，且 X(t) 是方程(2-1)的解，那么 E( sup |X(t)|2) C1(T ) 0 t T 其中 C1(T ) = (1 + 3E|X0|2)e6KT (T +4) 并且，对任意的 0 s 0 (3-1) 半隐式 Euler 方法的 T-稳定性，其中初值 X(0) = X0 ? R，a, b, c, d ? R，0 < q < 1，W (t) 是一维标准维纳过程。 3.2 解析解大范围随机渐近稳定的条件 方程(3-1)显然满足 Lipschitz 条件和线性增长条件成立，则方程有唯一的 解 X(t)，它是取值于R的、连续可适的随机过程。假设有 f (0, 0) = g(0, 0) = 0， 即 X(t) ? 0是方程(3-1)的零解。下面给出解的几个稳定性定义。 定义 3.1 称方程(3-1)的零解为随机稳定的，如果对任意的 ，存在一个 δ > 0， 0 成立 使得当 |X0| < δ 时，对于一切的 t lim P {|X(t; 0, X0)| > ε} = 0 t?? – 24 – 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 进一步的若存在 δ0 = δ0( , 0) > 0，当 |X0| < δ0，有 1 ? ε P { lim |X(t; 0, X0)| = 0} t?? 则称方程的零解是随机渐近稳定的;若对任意的 X0 ? R 都有 P { lim |X(t; 0, X0)| = 0} = 1 t?? 则称方程的零解是大范围随机渐近稳定的。 定义 3.2 称方程(3-1)的零解为几乎处处指数稳定的，如果 1 a.s. lim sup log |X(t; 00, X)| < 0 t?? t 对所有的 X0 ? R 都成立。 定义 3.3 称方程(3-1)的零解为 p 阶矩指数稳定的，如果存在一对正数 λ 和 C， 对任意的 X0 ? R 都成立 E(|X(t; 0, X0)|p) C|X0|pe?λt 当 p = 2 时，通常称为均方指数稳定。 根据文献[1]中第五章有下列稳定性定理。 定理 3.1 如果存在一个正数 k，使得对于任意的 X(t) ? R ，有 Xf (X(t), 0) (3-2) ?k|X|2 ? 0，X, X, Y ? R，有 且存在非负实数 α0, α1, β0, β1，对任意的 t ? (3-3) f (X, 0) ? f (X, Y ) α0|X ? X? |2 + α1|Y |2 和 |g(X, Y )2 |β0|X|2 + β1|Y |2 (3-4) – 25 – 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 成立。如果 1 k > α1 + (β0 + β1) 2 则方程(3-1)的零解是几乎处处指数稳定的。 根据上面的定理，可以得到以下结论。 引理 3.1 如果方程(3-1)的系数 a, b, c, d 满足 1 (3-5) a + |b| + (|c| + |d|2 <) 0 2 则方程的零解是大范围随机渐近稳定的。 证明:令 k = ?a，α0 = |a|，α1 = |b|，β0 = c2 + |cd|，β1 = d2 + |cd|，利用不等 式 2cdX(t)X(qt) |cd|(|X(t)|2 + |X(qt)|2)，容易验证(3-2)-(3-4)式成立，由定 理3.1，若方程系数满足 1 a + |b| + (|c| + |d|)2 < 0 2 则零解是几乎处处指数稳定的。由定义3.2，存在一个非空集合 A ? ?，P (A) = 0。对所有的 ω ? ? ? A，对任意的初值 X0，都存在常数 λ > 0 和一个有限的 随机变量 β，当 t > 0时有 |X(ω, t; 0, X0)| < βe?λt 即 P { lim |X(t; 0, X0)| = 0} = 1 t?? 所以方程的零解是大范围随机渐近稳定的。 3.3 数值解的T-稳定性 定义 3.4 设方程(3-1)的零解是是大范围随机渐近稳定的，如果将带有两点分 布驱动过程的数值方法应用于方程(3-1)得到的数值解 Xn 满足 lim |Xn| = 0 n?? – 26 – 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 则称这种数值法是T-稳定的。 ? 本 章 选 取 服 从 两 点 分 布 的 随 机 变 量 Un h 来 近 似 代 替 维 纳 增 量， ? 即?Wn = Un h，P (Un = ?1) = 21。下面对方程(3-1)的半隐式 Euler 方法 分变步长和定步长两种情况分别讨论其 T-稳定性。 3.3.1 变步长 令 T ? ?，将第二章中所述的变步长方法应用到方程(3-1)得到半隐式 Euler 方法的数值格式为 xn+1 =xn + (1 ? θ)hn(axn + bxn?m) + θhn(axn+1 + bxn?m+1) (3-6) + (cxn + dxn?m)?Wn 其 中 θ ? [0, 1]，xn ? X(tn)(n 0)，初 值 xi = X(t), t ? [0, t0]，且 2 E( sup |X(t)| ) < ?。?Wn = W (nt+1) ? W (nt) 表示维纳增量，n = 0, 1, . . .。 0 t t0 ? 将 ?Wn = Un hn 带入差分方程(3-6)中，整理得到 h(1 ? θahn)xn+1 =(1 + (1 ? θ)nah + c nUn)xn + θbhnxn?m+1 (3-7) + ((1 ? θ)bhn + d hnUn)xn?m 则有 ? ? n + c hnUn| + |θbhn| + |(1 ? θ)bhn + d hnUn| |1 + (1 ? θ)ah|xn+1| |1 ? θahn| max{|xn|, |xn?m|, |xn?m+1|} ? ? l |1 + (1 ? θ)ahn + c hnUnk | + |θbhn| + |(1 ? θ)bhn + d hnUnk | |1 ? θahn| k=1 sup |X(t)| 0 t t0 (3-8) 这里 l n。 l，Unk 都是正整数，mn – 27 – 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 由于 Un 服从两点分布，因此我们只需考虑两步的一个平均就可以了。我 们把这个平均称为平均稳定函数 R2(h, a, b, c, d)，这里 ? ? |1 + (1 ? θ)ahn + c hn| + |θbhn| + |(1 ? θ)bhn| + |d hn| 2 R (hn, a, b, c, d) = |1 ? θahn| ? ? |1 + (1 ? θ)ahn ? c hn| + |θbhn| + |(1 ? θ)bhn| ? |d hn| × |1 ? θahn| (3-9) 由于初值 E( sup |X(t)|2) < ?，我们有 sup |X(t)|2 < ? a.s.。由(3-8)式只要 0 t t0 0 t t0 2 稳定函数 R (h, a, b, c, d) <，就有 1 lim |Xn| = 0，即数值方法是 T-稳定的。 n?? 定理 3.2 在条件(3-5)下，如果 θ ( |a2|+|a||b| , 1]，则应用于方程(3-1)的变步长半隐 ? 式 Euler 方法是 T-稳定。 证明: d ?c | + |θb| + | h1n + (1 ? θ)a + |(1 ? θ)b| + | ?hn | hn 2 R (hn, a, b, c, d) = | h1n ? θa| d ?c | + |θb| + | h1n + (1 ? θ)a ? |(1 ? θ)b| ? | ?hn | hn × | h1n ? θa| 注意到 lim hn = ?，则有 n?? (|(1 ? θ)a| + |θb| + |(1 ? θ)b|)2 R2(hn, a, b, c, d) = (θa)2 (|a|(1 ? θ) + |b|)2 = θ2a2 |a| + |b| 2 = ? 1 |a|θ 若θ ? ( |a2|+|a||b| , 1]，则 0 < |a||a+|θ|b| < 2，所以 R2(hn, a, b, c, d) < 1。于是存在一个正 数 A，使 R2(hn, a, b, c, d) = A < 1 ，由(3-8)式迭代得到 – 28 – 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 l A 2 sup |X(t)| ? 0 |xn+1| 0 t t0 故数值方法是T-稳定的。 3.3.2 定步长 通过对延时项 qt 取整，得到定步长半隐式 Euler 方法的数值格式如下 xn+1 =xn + h((1 ? θ)(axn + bx[qn]) + θ(axn+1 + bx[q(n+1)])) (3-10) + (cxn + dx[qn])?Wn 其中初值 x0 = X(0)，步长 h = T /N。该数值方法是1/2阶收敛到方程解析解 的，具体证明可参见文献[18]，在此仅给出方法的 T-稳定条件。 定理 3.3 假设条件(3-5)成立，令 |c| ? d2 c2 ? 4a(1 ? θ) 2 h1 = h2 = b2(1 ? θ)2 2a(1 ? θ) ?|c| ? c2 ? 4a(1 ? θ) 2 h3 = 2a(1 ? θ) 2 2 h4 = h5 = |(1 ? 2θ)a| ? |b| |(1 ? 2θ)a| + |b| h < min{h2, h4}，或 max{h1, h3} 1. 若 θ ? [0 ,12 ? | 2ba |)，当步长满足 h1 h < h5 时，应用于方程(3-1)的半隐式 Euler 方法是T-稳定的。 h < h2，或 max{h1, h3} 2. 若 θ ? [ 21 ? | 2ba |, 12 + | 2ba |)，当步长满足 h1 h < h5 时，应用于方程(3-1)的半隐式 Euler 方法是T-稳定的。 max{h1, h3}时，应用于方程(3-1)的 3. 若 θ ? [ 12 + | 2ba |, 1)，当步长满足 h 半隐式 Euler 方法是T-稳定的。 特别地，当 θ = 1 时，只要步长满足 h > ( |ac|++||bd|| )2，方法即是T-稳定的。 证明:当 θ = 1 时，即为隐式 Euler 法，稳定函数变为 ? ? ? ? (|1 + c h| + |bh| + |d h|)(|1 ? c h| + |bh| + |d h|) 2 R (h, a, b, c, d) = (1 ? ah)2 – 29 – 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 ? 由条件(3-5)知，a < 0，a+|b| < ，若0 h > (|ac|++||bd|| )2，即(a+|b|)h+(|c|+|d|) h < 0 ? ? h+|bh|+|d h| 容易得到 1+|c| < 1，于是有 R2(h, a, b, c, d) <，则方法是 1 T-稳定 1?ah 的。 ? P (h) 记R2(h, a, b, c, d) h > 0，又 2 。由 h < h2，可知 1 + (1 ? θ)ah ? c ? (1?θah) h > h1，即 (1 ? θ)bh |d| h，则当 h1 h < h2 时 b> 0 (1 + (1 ? θ)ah + bh2 ?) (c + d2)h, P (h) = (1 + (1 ? θ)ah ? 2bh ? )(c ? d2h,) b< 0 <(1 + (1 ? θ)ah + |b|h)2 稳定函数变为 (1+(1?θ)ah+|b|h2 )a+|b|)h 2 R2(h, a, b, c, d) < = (1 + 1?θah )) (1?θah)2 ?a?|b| 2 1 ? θa > ， ? 当 θ ? [0 ,12 ? | 2ba |) 时，由 h < h4 = ?(1?2θ)a?|b|可知，h 2 (a+|b|)h 2 则 ?2 < 1?θah < 0，从而有 R (h, a, b, c, d) 。< 1(?a?|b|)h < < 2，则 ? 当 θ? [ 12 ? 2|ba |, 12 + |2ba |) 时，容易得到 0 < (?1a??|θah|b )h ?θah ?2 < (a?θahh < 0，有 R2(h, a, b, c, d) <。 1 ? 由 h > h3，可知 1 + (1 ? θ)ah ? c h < 0，则当 h > max{h1, h3} 时 (?(1 + (1 ? θ)ah) +2 bh ? ()c + d2h, )b> 0 P (h) = b< 0 (?(1 + (1 ? θ)ah) ? bh)2 ? (c ? d2h,) <(1 + (1 ? θ)ah ? |b|h)2 稳定函数变为 (1+(1?θ)ah?|b|h2 )a?|b|)h 2 = (1 + R2(h, a, b, c, d) < 1?θah )) (1?θah)2 ?a+|b| 2 ， ? 当 θ? [ 12 ? 2|ba |, 12 + 2|ba |) 时，由 h < h5 = 可知，h1 ?θa > ?(1?2θ)a+|b| 2 (a?|b|)h 则 ?2 < < 0，所以 R2(h, a, b, c, d) < 1。 1?θah – 30 – 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 (?a+|b|)h (?a+|b|)h < < 2，则有 ?2 < ? 当 θ ? [ 21 + | 2ba |, 1) 时，显然 0 < 1?θah ?θah (a?|b|)h 2 1?θah < 0，R (h, a, b, c, d) <。 1 综上，当满足条件1, 2, 3时，半隐式 Euler 方法是T-稳定的。 3.4 数值实验 我们将试验方程选为 dX(t) = (?5X(t) + X(0.4t))dt + 0.5X(0.4t)dW (t), t> 0 (3-11) X(0) = 0.5 对半隐式 Euler 方法的 T-稳定性进行数值试验。图中 tn 表示节点，Xn 表示数 值解。变步长方法中，我们需要计算区间 [0, T0] 上的初始值 X(t)，在下面的数 值试验中，X(t) (t ? [0, T0]) 是由等步长 Euler 方法以 X(0) = 0.5 为初值得到 的。为了方便计算，我们选取 T0 = 1，在区间 [T0, T1] 上选取等步长 h = 0.05。 5 , x 10 , ,, 1 , , 0.5 n , ,x, 0 , ?0.5 ,, , tn ?1 ,, ,, ,, ,, , ,, 10 40 50 0 20 ,=0 30 θ,,,, 0.6 ,,, 0.4 ,,, 0.2 , ,,,, n x 0 , ?0.2 ?0.4 ,,, tn ,, 10 20 30 40 0 ,, ,, ,, ,, , ,=0.8 θ,, 图 3-1 参数 θ 对变步长数值方法的影响 Figure 3-1 The in,uence of parameter θ on stability of the numerical method with variable stepsizes – 31 – 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 由定理3.2可知，当 θ 取值于 (0.6, 1] 时，变步长半隐式 Euler 方法是 T-稳 定的。图3-1中，当 θ = 0(子图a))和 θ = 0.4(子图b))时，数值解不是 T-稳定 的;而当 θ = 0.8(子图c))和 θ = 1(子图d))时，数值解是稳定的，这表明了定 理3.2的结论是正确的。 2 0.6 1.5 0.4 n n XX1 0.2 0.5 0 t tn 0 n ?0.2 5 10 15 20 100 200 300 0 25 0 400 h=0.01 h=0.5 图 3-2 步长 h 对变步长数值方法的影响 Figure 3-2 The in,uence of h on stability of the numerical method with variable stepsizes , 0.6 , ,, , 0.4 , 0.2 , , n , X0 , ?0.2 n , t,?0.4 , 10 20 30 40 0 50 ,, ,, ,, ,, , ,, ,=0.2, h=0.45 θ,,,,～ ,,,,, 0.6 ,,, ,,, 0.4 ,,, n X0.2 , ,,,, 0 , , ,n t ,,, ?0.2 , , , , , 10 20 30 40 ,, 0 50 θ,,～ ,,,,,, ,=1, h=0.2 图 3-3 步长 h 对定步长数值方法的影响 Figure 3-3 The in,uence of parameter θ on stability of the numerical method with ,xed stepsizes – 32 – 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 在图3-2中，若我们将数值方法的参数 θ 固定为 0.8，改变初始步长 h为 0.01，0.5 数值解仍然是T-稳定的，即步长 h 的变化不会改变解的稳定性。 下面考察定步长方法，qt 点处的函数值由 qt 所在区间左端点的函数值代 替。由定理3.3的结论，取 θ = 0.2 时，当步长满足 0.39 h < 0.5，数值方法是 T-稳定的。取 h = 0.45时，数值解稳定(子图 1)，当 h = 0.7 时，数值解不稳 定(子图 2)。当 θ = 1 时，即隐式 Euler方 法，只需 h > 0.016，方法就是 T-稳定 的。在图3-3的子图 3, 4中，h 分别取 0.2 和 0.01，得到的结果符合定理结论。 3.5 本章小结 本章首先介绍了方程解析解的几个稳定性定义。然后引入了 T-稳定的概 念，T-稳定直接针对解的每一条路径研究其稳定性，在计算机模拟方面具有优 势，有实际的研究意义。然后考虑了随机比例试验方程，在方程的零解满足 大范围渐近稳定的条件下，分别讨论了变步长半隐式 Euler 法和定步长半隐 式 Euler 法的 T-稳定性。可以看出，变步长半隐式 Euler 法具有明显的优势，通 过控制 θ 的取值可以使得方法对任意变化的步长都是稳定。而定步长半隐式 Euler法 对步长有严格的双向限制，只有当步长既不太大，也不太小时，才能 保证方法的 T-稳定性。 – 33 – 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 第 4 章 随机比例微分方程半隐式Milstein方法的收 敛性和稳定性 4.1 引言 P. E. Kloeden和 E. Platen[32]对于形如(1-1)式的随机常微分方程定义了随机 版本的 Taylor 展开式，在每个时间步长上引入一个多重随机积分，可以系统 的构造出 1 阶及 1 阶以上的方法:Milstein 方法和 Runge-Kutta 法。称这些基于 随机 Taylor 展开的强收敛方法为强 Taylor 方法。 2000年，U. Kuchler和E. Platen[61]讨论了d-维随机常延迟微分方程 dX(t) = a(t, x(t), x(t ? η ))dt + b(t, x(t), x(t ? η ))dW (t), t ? [0, T ] 的 Milstein 方法，通过一个变量代换，将随机常延迟微分方程在每个离散时间 区间上转换成随机常微分方程，证明了 Milstein 方法是 1 阶收敛的。 本章考虑1-维随机比例微分方程 dX(t) = f (X(t), X(qt))dt + g(X(t), X(qt))dW (t), t ? [0, T ] (4-1) X(0) = X 0 (0 < q < 1)变步长半隐式 Milstein 方法。首先讨论方法的收敛性，之后对线性 试验方程 dX(t) = (aX(t) + bX(qt))dt + (cX(t) + dX(qt))dW (t), t> 0 (4-2) 讨论数值解的稳定性。 4.2 半隐式Milstein方法的收敛性 假设方程(4-1)满足Lipschitz条件和线性增长条件，则有唯一解X(t) ? R。 此外我们假设函数 g 是连续可微的，并且其导数 g 有界，不妨记为 |g | < – 34 – 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 ? 2M。 变步长划分区间 [0, T ]，当 m + 1 n N 时，tn = q?1tn?m，此外，我们 假设 i 0 时，Xi = X(t), t ? [0, t0]。令h = max1 n N {hn}。 对方程(4-1)应用变步长半隐式 Milstein 方法得到的差分方程为 Xn+1 =Xn + (1 ? θ)hnf (Xn, Xn?m) + θhnf (Xn+1, Xn?m+1) ?g(Xn, Xn?m) + g(Xn, Xn?m)?Wn + g(Xn, Xn?m) I1 (4-3) ?Xn g(Xn, Xn?m) + g(Xn?m, Xn?2m) I2 ?Xn?m θ 其中 0 1 是参数，Xn 是精确解 X(tn) 的近似值。?Wn = W (tn+1)?W (tn) 是服从 N (0, hn) 分布的随机变量。I1 和 I2 分别代表如下定义的二重积分 s tn+1 (?Wn)2 ? hn = dW (t)dW (s) = I1 = 2 tn tn s tn+1 dW (qt)dW (s) I2 = tn tn 引理 4.1 二重积分I1和I2具有相同的期望，并且方差满足下列关系 E[I1 ] = q E[I2 ] = h2n 2 ?1 2 , E[I1] = E[I2] = 0, E[I1I2] = 0 2 证明:由文献[1]中的引理5.7.1，根据局部鞅的性质，我们可以直接得到E[I1] = E[I2] = 0。 根据Itoˆ积分的性质，有 2 s tn+1 E[I2 ] = E 2 dW (qt)dW (s) tn tn 2 s tn+1 = E dW (qt) ds tn tn – 35 – 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 s tn+1 tn+1 qh2n = d(qt)ds = q(s ? tn)ds = 2 tn tn tn 和 s s tn+1 tn+1 dW (t)dW (s) dW (qt)dW (s) E[I1I2] = E tn tn tn tn tn+1 s s = E dW (t) dW (qt) ds tn tn tn tn+1 = E[(w(s) ? W (tn))(W (qs) ? W (qtn))]ds tn =0 另外，由I1 = [(?Wn)2 ? hn]/2，可以直接计算出E[I1 2] = h2n/2。 引理 4.2 若h < 1，(θ(1 + θ)h + θ)Kh < 12且线性增长条件(2-4)成立，则存在一 个常数 M1 使得 E|Xk|2 M1 其中 Xk (k = 0, 1, . . . , N )是由(4-3)式得到的。 证明:由(4-3)式，注意到 E(?Wn) = 0，E[I1] = E[I2] = E[I1I2] = 0，有 E|Xn + 1|2 (ahnθ)2 1 A lim P (a, b, c, d, hn, θ) + Q(a, b, c, d, hn, θ) + R(a, b, c, d, hn, θ) n?? (ahnθ)2 + S(a, b, c, d, hn, θ) h2n (|1 + ahn(1 ? θ)| + |bhn|)2 + (|c| + |d|2h)n + (c2 + qd2)(|c| + |d|2 )2= lim n?? (ahnθ)2 – 44 – 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 (|a|(1 ? θ) + |b|2 )(|c| + |d|)2(c2 + qd2) = + θ2a2 2θ2a2 (|a|(1 ? θ) + |b|)2 + (c2 + qd2)(|a| ? |b|) < θ2a2 (|a| + |b| ? |a|θ)2 + (c2 + qd2)(|a| + |b|) < θ2a2 (|a| + |b|)(|a| + |b| ? 2|a|2θ + + qd c2) = +1 θ2a2 |a|+|b|+2+cqd2 ，则有 若 θ> 2|a| (|a| + |b|)(|a| + |b| ? 2|a|2θ + + qd c2) < 0 θ2a2 于是得到 A < 1。选择一个常数 A 满足 A < A < 1，则存在一个正常数 N，当 n > N 时，有 Yn+1 A max{Yn, Yn?m+1, Yn?m, Yn?2m} 经过迭代有 n?N ?2 +1 A max m Yn {Yi} N ?2m?i?N 即 lim E|Xn|2 = 0 n?? 证毕。 4.4 数值试验 我们将方程(4-2)中的比例系数取为 q = 0.2，初值 X(0) = 1。 为了方便计算，我们选取 T0 = t0 = 1，在初始时间段 [T0, T1] 中选取等步 长 h，称为初始步长。首先利用等步长 Euler 方法以 X(0) 为初值计算出 X(t) 在区间 [0, T0] 上的值，作为数值解的初始值。 在试验中，我们模拟 2000 个样本点的轨迹，即 {ωi}1 i 2000，记 Xn(ωi) 是 – 45 – 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 第 i 个数值解的轨迹在第 n 步的值，由大数定律有 2000 1 2 E|Xn| ? |Xn(ωi)|2 2000 i=1 我们将试验方程(4-2)中的系数分别选为 a = ?10，b = 2，c = 1，d = 0。由 定理(4.2)容易得到当 θ ? (0.65, 1] 时，方程(4-2)的变步长半隐式 Milstein 方法 是均方稳定的。 93 6 x 10 x 10 8 2 6 1.5 2 2 ||nn4 1 E|XE|X 2 0.5 tn tn 0 0 20 40 60 80 0 100 120 140 20 40 60 80 100 120 140 0 ,=0.3 ,=0 4 4 3 3 2 2 || nn2 2 E|XE|X 1 1 tn tn 0 0 20 40 60 80 0 100 120 140 20 40 60 80 100 120 140 0 ,=0.8 ,=1 图 4-1 参数 θ 对数值方法的影响 Figure 4-1 The in,uence of parameter θ on stability of the numerical method 在图4-1中我们将数值方法的初始步长固定为 h = 0.1，通过变化参数 θ的考察对数值解稳定性的影响。从图中可以看出，当 θ = 0(子图a))和 θ = 0.3(子图b))时，数值方法是不稳定的;而当 θ = 0.8(子图c))和 θ = 1(子 图d))时，数值解是稳定的，这表明了定理结论是正确的。 在图4-2中我们将数值方法的参数 θ 固定为 0.8，通过初始步长 h 的变化 来考察其对稳定性的影响。可以看出步长 h 的变化对稳定性没有实质的影响， 即它的变化不会改变解的稳定性。 在图4-3中我们选取了一组新的系数a = ?4, b = 1, c = 1, d = 0，将数值方 – 46 – 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 1 1 0.8 0.8 0.6 0.6 2 2 ||nn 0.4 0.4 E|XE|X 0.2 0.2 tn n t0 0 20 40 60 80 100 120 140 30 60 90 120 150 0 0 180 h=0.01 h=0.5 图 4-2 参数 h 对数值方法的影响 Figure 4-2 The in,uence of h on stability of the numerical method 4 x 10 , 8 , 6 2 |, ,n,, 4 E|X,,, , 2 ,, t , n 0 ,, ,, ,, ,, ,,, ,,, ,,, , 20 40 60 80 100 120 140 0 θ,,,, ,=0.4 图 4-3 数值方法的稳定性 Figure 4-3 The stability of the numerical method 法的初始步长固定为h = 0.1，当 θ ? (0.525, 1] 时，数值解是稳定的。从图中可 以看到，当θ = 0.4时，数值方法不稳定;而当θ = 0.7时，数值方法是稳定的。 进一步验证了定理(4.2) 的正确性。 4.5 本章小结 文章对非线性随机比例微分方程，给出了一般形式的半隐式 Milstein 格 式，其中包含有两个二重积分。首先利用鞅和 Itoˆ 积分的性质，可以计算出 二重积分的均方期望为零，有效的避免了计算上的麻烦。其次证明了数值解 是有界的，然后利用归纳的方法，在每个离散节点上证明了半隐式 Milstein 方法具有1阶的收敛阶。之后对具有一般形式的线性方程应用变步长半隐式 Milstein 方法，讨论了均方稳定性，并做了数值实验来验证结论的正确性。 – 47 – 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 结 论 随机延迟微分方程由于考虑了延时因素和环境噪音等随机因素的影响， 能够更加真实、精确地描述事物地变化，在物理、医学、经济学和人口动力学 等领域有广泛的应用。随机比例微分方程是一类特殊地随机无界延迟微分方 程，可以看作是在动力系统、量子力学和电气力学等领域有着广泛应用地确 定性比例微分方程加入随机项后得到的。 本文主要研究随机比例微分方程数值解的性质，所考虑的数值方法的步 长是变化的。变步长方法有效解决了定步长方法中数据点存储量过大的问题， 同时将变阶的差分方程转变为可求解的定阶差分方程。首先对非线性的自治 随机比例微分方程，应用变步长半隐式 Euler 方法，通过插值的办法将离散的 数值格式写成连续的积分形式，比较连续的数值解解和解析解之间的关系， 利用 Doob 鞅不等式、Gronwall 不等式，证明了在全局 Lipschitz 条件和线性增 长条件下，变步长半隐式 Euler 方法是1/2阶收敛的。 然后考察了具有一般形式的线性随机比例微分方程，分别讨论了变步长 和定步长半隐式 Euler 方法的 T-稳定性。在方程解析解大范围渐近稳定的前提 下，用具有两点分布的特定驱动过程来近似数值格式中的维纳过程增量，考 察解的样本路径。对于变步长方法，只要控制 θ 的范围在 ( |a2|+|a||b| , 1] 内，就能保 证数值解的 T-稳定性。而对于定步长方法，对步长的要求则十分严格。 此外，本文还研究了 Milstein 方法。该方法是由随机 Taylor 展开式得到的 强收敛方法，数值格式中包含有两个二重积分用以近似维纳过程，收敛阶较之 Euler 方法有所提高。文章对于一般形式的随机比例微分方程半隐式 Milstein 方法的数值格式，首先利用鞅和 Itoˆ 积分的性质，计算出二重积分的均方期望 为零，有效地解决了二重积分的实际计算问题。进而证明了数值解是有界的， 然后利用归纳的方法，在每个离散节点上证明了半隐式 Milstein 方法具有1阶 的收敛阶。之后对线性试验方程应用变步长半隐式 Milstein 方法，讨论了均方 2 2 稳定性，当满足 θ ? ( |a|+|b|+c +qd 2|a|, 1]时，数值方法是均方稳定的。文章的第三、 四章中还分别给出了相应的数值试验，用以验证定理结论的正确性。 本文对随机比例微分方程的变步长数值方法进行了初步的探讨，得到的 定理结论只是充分条件。对于解析解和数值解的收敛性和稳定性保持一致的 充分必要条件，是需要进一步探讨的问题。此外，若将全局 Lipschtiz 条件弱化 – 48 – 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 为局部 Lipschtiz 条件，甚至更弱的单边局部 Lipschtiz 条件，能否保证解的存 在唯一和数值解的收敛性，以及数值解的渐近稳定、随机稳定、几乎处处稳定 等稳定性问题也都是十分有价值的研究课题。 – 49 – 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 参考文献 1 X. R. Mao. Stochastic Differerntial Equations and Their Applications. Horwood Publishing Limited, Chichester, 1997:51?71,107?135,147?188,299?319 2 T. C. Gard. Introduction to Stochastic Differential Equations. Marcel Dekker, New York, 1988:157?181 3 E. Buckwar. Introduction to the Numerical Analysis of Stochastic delay Differ- ential Equations. J. Comput. Appl. Math. 2000, 125:297?307 4 J. R. Ockendon, A. B. Taylor. The Dynamics of A Current Collection System for an Electric Locomotive. Pro. Royal Soc. A. 1971, 322:447468 ? 5 G. A. Derfel. Kato Problem for Functional Equations and Difference Schrodinger Operators. 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