不等式的证明方法
不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与
函数
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、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。
注意
的变式应用。常用
(其中
)来解决有关根式不等式的问题。
一、比较法
比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。
1、已知a,b,c均为正数，求证：
二、综合法
综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。
2、a、b、
，
，求证：
3、设
、
、
是互不相等的正数，求证：
4、 知a,b,c
，求证:
5、
且
，证：
。
6、已知
三、分析法
分析法的思路是“执果索因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式。
7、已知
、
、
为正数，求证：
8、
且
，求证
。
四、换元法
换元法实质上就是变量代换法，即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换，以达到化难为易的目的。
9、
，求证：
。
10、
，求证：
11、已知a>b>c,求证：
12、已知1≤x
＋y
≤2，求证：
≤x
－xy＋y
≤3．
13、已知x
－2xy＋y
≤2，求证：| x＋y |≤
．
14、解不等式
＞
15、－1≤
－x≤
．
五、增量代换法
在对称式(任意互换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a＞b＞c)的不等式，常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简．
16、已知a，b
R，且a＋b = 1，求证：(a＋2)
＋(b＋2)
≥
．
六、利用“1”的代换型
17、
七、反证法
反证法的思路是“假设
矛盾
肯定”，采用反证法时，应从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理必须是正确的。
18、若p＞0，q＞0，p
＋q
= 2，求证：p＋q≤2．证明：反证法
19、已知
、
、
（0，1），求证：
，
，
，不能均大于
。
20、已知a,b,c∈（0，1），求证：（1－a）b, （1－b）c, （1－c）a 不能同时大于
。
21、
、
、
，
，
，
，求证：
、
、
均为正数。
八、放缩法
放缩时常用的方法有：1去或加上一些项2分子或分母放大（或缩小）3用函数单调性放缩4用已知不等式放缩
22、已知a、b、c、d都是正数，求证：1＜
＋
＋
＋
＜2．
23、
，求证：
。
24、A、B、C为
的内角，
、
、
为任意实数，求证：
。
证
九、构造函数法
构造函数法证明不等式24 设0≤a、b、c≤2，求证：4a＋b
＋c
＋abc≥2ab＋2bc＋2ca．
25、 设a、b∈R
，且a＋b =1，求证：(a＋2)
＋(b＋2)
≥
．
26、设a＞0，b＞0，a＋b = 1，求证：
＋
≤2
．
1．实数绝对值的定义:
|a|=
这是去掉绝对值符号的依据，是解含绝对值符号的不等式的基础。
2．最简单的含绝对值符号的不等式的解。
若a>0时，则 |x|
a
x<-a或x>a。
注:这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的，即|x|可看作是数轴上的动点P(x)到原点的距离。
3．常用的同解变形
|f(x)|g(x)
f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)；
|f(x)|<|g(x)|
f2(x)
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