二维正态分布的假设检验（可编辑）

二维正态分布的假设检验（可编辑）二维正态分布的假设检验（可编辑）二维正态分布的假设检验第卷第期大数学学 .,?. 年月. 二维正态分布的假设检验朱湘赣昆明理工大学理学院,昆明摘要将二维随机向量分解成互不相关的主成分,通过对两主成分的正态独立性检验达到二维随机向量正态性检验的目的. 关键词正态分布;主成分;假设检验中圈分类号. 文献标识码文章编号??? 检验方法对于二维随机向量。,。丁,要对如下假设“。:,,。’服从二维正态分布;。:不服从”进行检验,若根据?检验思想直接对二维空间分区按拟合...

二维正态分布的假设检验（可编辑）二维正态分布的假设检验第卷第期大数学学 .,?. 年月. 二维正态分布的假设检验朱湘赣昆明理工大学理学院,昆明摘要将二维随机向量分解成互不相关的主成分,通过对两主成分的正态独立性检验达到二维随机向量正态性检验的目的. 关键词正态分布;主成分;假设检验中圈分类号. 文献标识码文章编号??? 检验方法对于二维随机向量。,。丁,要对如下假设“。:,,。’服从二维正态分布;。:不服从”进行检验,若根据?检验思想直接对二维空间分区按拟合优度检验法进行检验,则会导致大量复杂的计算因为无论如何分区,涉及每个区域的理论分布的概率运算都只能用近似计算方法. 能否将此检验问题简化呢,若以下命题:“二维随机向量,,。服从二维正态分布的充要条件是其两主成分设为,,。各自服从正态分布且相互独立”成立,则可利用此结论将二维随机向量转化为两个互不相关的主成分,然后通过检验两主成分是否各自服从正态分布且相互独立来间接检验原二维随机向量是否服从二维正态分布. 上述命题是成立的,并将其作为定理在第节进行证明. 总之,我们可以将二维随机向量的正态性检验转化为两个一维随机变量的正态独立性检验,具体分如下两步进行: 分别检验假设:“。:主成分五服从正态分布;“:不服从”一,,这可以利用软件中的相关命令进行.若有一者不服从正态分布,则可断定。,。不服从二维正态分布;若两者都通过正态性检验,则进入; 检验假设。:。,。相互独立;。:。,。不独立.此假设可通过二维列联表进行检验,检验的步骤是先将。,:的取值范围分别分成,.和个互不相交的子区间,这样可得巧个互不相交的小矩形.算出样本落人每个小矩形的频数/。,?,;歹,?,.令 %?咒。,咒.,?咒酊,竹?‰?以则检验统计量怍骞骞嵩‖ 一一,然后利用在。为真时的极限分布为检验法进行检验. 若独立性也获得通过,即可认为,,。丁服从二维正态分布. 收稿日期?? 万方数据来湘赣:二维正态分布的假设检验第期定理证明此定理的证明利用了下述两个引理及主成分概念所谓主成分就是由原来一组变量重新组合成的一组按方差贡献大小排列的两两不相关或者说协方差为零的综合变量,实际上就是原变量的一种特定的正交变换. 引理若。。,:,::。,,。,:丁的密度函数为 ?, 厂,, ,售, ,,, ,,, 厂,劫,,?有唯一逆变换:?,,勋一,,, .:?,该逆变换与原变换都单值连续,且一阶偏导数连续,令歹一 ,则。,:的密度函数。 ’;。,’。;主三: 厂‘‘’。,‘’’’ 引理已知,,:丁,一。,:丁,,为可逆矩阵,若~,易,则 ’ ~,艋丁. 证的密度函数为磊氇三, 荡/一百其中一,,:.令?~,由可得路.利用引理及可得的密度函数为去荡一虿取氇三母工?曰这里表示绝对值磊磊/一矿丁工磊 /一专以’三, 因此~,口翟三口,即~,舷丁定理。,:丁假定一晶服从二维正态分布的充要条件是其主成分。,:独立且各自服从正态分布. 证显然,主成分,,。的均值为零当且仅当。,:的均值为零.不失一般性,下面的证明假设。,:的均值为零. 必要性.假设,,:丁~,最,最的两个特征值分别为。,:,.;:,其所对应的单位特征向量分别为令::旬,则为正交阵,且您疋一 \ / \ .。,。 / 的主成分为。。一,,或写作.根据~,最及引理知, 。,:’~,氇疋,从而,,服从均值为零方差分别为。,:的正态分布.又根据 ,,。及正态分布中独立与不相关的等价性可得到。,:相互独立这一结论. 充分性.设?系正交阵,丁为主成分向量,。,。相互独立且分别服从均值为零方差分别为口;,盯;的正态分布,其密度函数为州卜去卜象“爿’, 则:,,,丁的密度函数为万方数据大数学学第卷 ,一娶厂。,。,一.. 一丢骞毒易/ 留捌, 一百 . 艮从曼.根据亿及引理可得~。,四,,这就证明实例演示为简单计,用命令,,产生服从二维正态分布的伪随机数据,这里取,’,,.;.,,产生对随机数据具体数据从略.为分析方便,将数据标准化,表示为”。:丁,一,?,,并把该数据看成总体一,,。’的样本,下面通过检验其两主成分,,:的正态独立性来验证此随机数据对应的总体。,。’服从二维正态分布. 经计算得此样本数据?。’,,?,的相关系数阵 . .\ . . . 的特征值分别为.,.,它们对应的特征向量分别为.,., .,.,由此可得两主成分估计一.., 一一... 对应于对数据 ,。一,?,,利用两主成分估计表达式可求出对数据,。。, 其中,?,;。。.。丁和%,?,九,:可分别看作对应于总体,和:的样本数据.利用提供的检验函数分别对。,。的正态性进行检验,均获得通过.因,,的样本数据已标准化,故可以认为,,:服从均值为零方差分别为.,.的正态分布. 为检验两主成分的独立性,考虑,,的标准化形式,荔,同时将样本数据,,?,标准化得,;的样本数据,,,?,,并在,刃各自取值区域上按一。。,一, 一,一.,.,.,.,,,。分成五区分别以,,,,表示,这样在平面上可得个互不相交的小矩形,计算数据,杰丁,?,落于每个小矩形的频数,列于表. 表 \;分区 ~。。,一 ~,一.一.,. ., , 行。分\ 一?,一一,一. 一.,. 。, ,。竹竹? ?..而计算检验统计值,得。.,;.:一., ..,检验统计值比它们都小,这意味在不同水平口.,口。,/一.上都不能拒绝,笏的独立性假设,故可认为,历是独立的,从而,,:是独立的. 至此验证了,,。的两主成分。,都服从正态分布且相互独立,根据定理可得到。,:丁服从二维正态分布的结论. 万方数据

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