空间直角坐标系中任意三角形角度
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空间直角坐标系中任意三角形角度,面积以及所在平面
的计算
第八章第二节 数量积 向量积
三角形是日常生活中常见的一种图形，已知在空间直角坐标系中任意不在同一直线上三
点的坐标，怎样利用向量积来计算三点所构成的三角形的各角角度、周长、面积以及它们所
在的平面方程。问：
（1）计算三角形各角的角度。
（2）计算任意不在同一直线上三点所构成的周长和面积。 （3）作为（1）的特殊情况，计算在同一平面上三角形的面积。 （4）计算三点所在的平面方程。
向量，空间直角坐标系，数量积，向量积
软件：Mathmatica 5
关键语句：Dot[A,B], Cross[A,B]，Plot3D[]
1．提示：三角形角度的余弦等于两个边所在向量的点积除于两向量模的乘积；三角形面积
等于两个边所在向量叉积的模的1/2倍。
2．实验过程：
A={1,1,1} %给定A点的坐标(可以任意给定) B={2,2,1} %给定B点的坐标(可以任意给定) CC={2,1,2} %给定C点的坐标(可以任意给定) AB=B-A %计算AB边所在的向量 AC=CC-A %计算AC边所在的向量 BC=CC-B %计算BC边所在的向量 xlj=Cross[AB,AC] %计算AB,AC向量的向量积 mj=0.5*Norm[xlj] %计算三角形ABC的面积 zc = Norm[AB] + Norm[AC] + Norm[BC] %计算三角形ABC的周长
%计算角A的度数 DegreeA=ArcCos[Dot[AB,AC]/Norm[AB]/ Norm[AC]]
DegreeB=ArcCos[Dot[-AB,BC]/Norm[-AB]/ Norm[BC]] %计算角B的度数
DegreeA=ArcCos[Dot[-BC,-AC]/Norm[-BC]/ Norm[-AC]] %计算角C的度数
areaxl={x,y,z}-A %面上任意向量
eq=Dot[xlj,areaxl] %三点所构成的平面方程
zz=z/.Solve[eq 0,z][[1]] %解出函数 z
Plot3D[zz,{x,-20,20},{y,-20,20},PlotPoints,60,AxesLabel,{"\!\(\*
StyleBox[\"x\",\nFontSize->16]\)","\!\(\*
StyleBox[\"y\",\nFontSize->16]\)","\!\(\*
StyleBox[\"z\",\nFontSize->16]\)"},ViewPoint->{-2.096,-1.527,2.173},
Ticks,{Automatic,Automatic,Automatic}] %平面方程的图像
% Cross叉积函数， Dot点积函数，ArcCos反余弦，
% Norm模函数（模命令函数在Mathmatica 5中才有，Mathmatica 4没有提供）
3．正确答案：(实验结果与上面程序每一行对应)
{1,1,1} %A点坐标
{2,2,1} %B点坐标
{2,1,2} %C点坐标
{1,1,0} %AB点坐标
{1,0,1} %AC点坐标
{0,-1,1} %BC点坐标
{1,-1,-1} %向量AB,AC的向量积
0.866025 %三角形ABC的面积
32 %三角形ABC的周长
, %计算角A的度数 3
, %计算角B的度数 3
, %计算角C的度数 3
{-1 + x, -1 + y, -1 + z} %计算面上任一向量
1 + x - y- z=0 %三点所构成的面方程
4040
2020
002020zz-20-20
-40-40101020
1000xx
0y-10-10
-10
-20-20-20
以上程序中的A,B,C的坐标可以任意改变，我们能得到不同的结果。当三点在平面直
角坐标平面上时，作为空间直角坐标系的特殊情况，只需把平面坐标扩展为空间直角坐标系
下的坐标即可， 例如在平面直角坐标系下三点A(1,1)，B(2,2)，C(2,0)，要计算角A,角B，
角C和三角形的面积，只需把坐标改成A(1,1,0)，B(2,2,0)，C(2,0,0)代入上面的程序即可。所要计算的面就是xoy面。
推广到四维以上空间，计算一下结果，考虑一下它有什么意义。
无
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