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相似三角形中的辅助线专题学生版+教师版.doc

相似三角形中的辅助线专题学生版+教师版

Matthe纪
2017-10-25 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《相似三角形中的辅助线专题学生版+教师版doc》,可适用于综合领域

相似三角形中的辅助线专题学生版教师版相似三角形中的辅助线(学生版)在添加辅助线时所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形或得到成比例的线段或得出等角等边从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种:一、作平行线,ABC的AB边和AC边上各取一点D和E且使AD,AEDE延例如图BFBD长线与BC延长线相交于F求证:,CFCEBDEACF例如图ABC中AB<AC在AB、AC上分别截取BD=CEDEBC的DF=ACEF。延长线相交于点F证明:AB二、作垂线如图从ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF垂足分别为E、F求证:。AB,AEAD,AF,ACFDCABE三、作延长线例如图在梯形ABCD中ADBC若BCD的平分线CHAB于点HBH=AH且四边形AHCD的面积为求HBC的面积。,例如图RtABC中CD为斜边AB上的高E为CD的中点AE的延,长线交BC于FFGAB于G求证:FG=CFBF,四、作中线例如图中ABACAEBC于ED在AC边上若BD=DC=EC=,ABC求AC。五、综合练习题、在ABC中D为AC上的一点E为CB延长线上的一点BE=ADDE交AB于F。求证:EF×BC=AC×DF、中AC=BCP是AB上一点Q是PC上一点(不是,ABCACB,:中点)MN过Q且MNCP交AC、BC于M、N求证:。PA:PB,CM:CN如图中那么吗,试说明,ABCABACBDACBCCACD,,,,、理由,(用三种解法)相似三角形中的辅助线(教师版)在添加辅助线时所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形或得到成比例的线段或得出等角等边从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种:一、作平行线,ABC的AB边和AC边上各取一点D和E且使AD,AEDE延例如图BFBD长线与BC延长线相交于F求证:,CFCEBGDEACF例图例图例图证明:过点C作CGFD交AB于G。AE这个条件怎样使用。小结:本题关键在于AD,例如图ABC中AB<AC在AB、AC上分别截取BD=CEDEBC的延长线相交于点F证明:ABDF=ACEF。分析:证明等积式问题常常化为比例式再通过相似三角形对应边成比例来证明。ABEF欲证需证而这四条线段所在的两个三角形显然ABDFACEF,,,,ACDF不相似因而要通过两组三角形相似运用中间比代换得到为构造相似三角形需添加平行线。方法一:过E作EMAB交BC于点M则EMCABC(两角对应相等两三角形相似)。EMEC?,,,,即EMACABECABACABEM?,ACEC同理可得,,EMFDBF,EFEM?,DFBDEMEMEM又?BDEC,?,(为中间比)ECBDBDABEF?,,,ABDFACEF?,ACDF方法二:如图过D作DNEC交BC于N则有,,BDNBAC,BDDN?,,,,即(比例的基本性质)BDACABDNABACABBD同理,,ECFDNF,?,ACDNECEF?,,而(已知)BDECDNDFBDECEC?,(为中间比)DNDNDNABEF?,?,,,ABDFACEFACDF二、作垂线如图从ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF垂足分别为E、F求证:。AB,AEAD,AF,AC证明:过B作BMAC于M过D作DNAC于N,ABM,ACEAMAB,()AB,AE,AC,AMAEAC又,ADN,ACFANAD(),AD,AF,AC,ANAFAC()()AB,AEAD,AF,AC,AMAC,AN,AC(AMAN)又AN=CM,ADN,,BCMAB,AEAD,AF,AC(AMCM),AC三、作延长线例如图在梯形ABCD中ADBC若BCD的平分线CHAB于点HBH=AH且四边形AHCD的面积为求HBC的面积。分析:因为问题涉及四边形AHCD所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。解:延长BA、CD交于点PCHABCD平分BCDCB=CP且BH=PHBH=AHPA:AB=:PA:PB=:ADBCPADPBC::SS,PADPBCSS,PCHPBC:SS,,四边形PADAHCDS,四边形AHCDS,PADS,PBCSS,,HBCPBC,例如图RtABC中CD为斜边AB上的高E为CD的中点AE的延长,线交BC于FFGAB于G求证:FG=CFBF,FGCF解析:欲证式即由“三点定形”ΔBFG与ΔCFG会相似吗,,BFFG显然不可能。(因为ΔBFG为RtΔ)但由E为CD的中点可设法构造一个与ΔBFG相似的三角形来求解。不妨延长GF与AC的延长线交于HAFFGFHFGFH则,,,AEEDECEDEC又ED=ECFG=FHRtΔGFB又易证RtΔCFHCFFH,FGBFFGFH=CFBFFG=FHFG=CFBF四、作中线例如图中ABACAEBC于ED在AC边上若BD=DC=EC=,ABC求AC。解:取BC的中点M连AMABACAM=CM=C又BD=DCDBC,DCB,C,DBC,MAC,DBCMCAC又DC=MC=BC,DCBCMC,BCAC,,BC()DC又Rt,AECRt,BAC又EC=()AC,CE,BC,BC由()()得AC,ACAC,小结:利用等腰三角形有公共底角则这两个三角形相似取BC中点M构造与相似是解题关键,MAC,DBC五、综合练习题、在ABC中D为AC上的一点E为CB延长线上的一点BE=ADDE交AB于F。求证:EF×BC=AC×DF题一图题二图、中AC=BCP是AB上一点Q是PC上一点(不是,ABCACB,:中点)MN过Q且MNCP交AC、BC于M、N求证:。PA:PB,CM:CN如图中那么吗,试说明,ABCABACBDACBCCACD,,,,、理由,(用三种解法)图()图()图()参考答案:DGDF、过D作DGBC交AB于G则DFG和EFB相似BE,,BEEFDGDFDGADAD,由DGBC可得ADG和ACB相似,,ADEFBCACDGBCDFBC由得EF×BC,AC×DF,,ADACEFAC、过P作PEAC于EPFCB于F则CEPF为矩形PFEC,EC=PFA,B,:Rt,AEPRt,PFBAP:PB,PE:PFPAPEPE()在和中:CPMN于Q,,,ECP,CNMPBPFEC又QCNQNC,:QCNQCM,:MCQ,CNQEPCMEPEC即()由()()得,,Rt,PECRt,MCNCMCNECCNPACM,PBCN、方法一:如图()设BC中点为E连接AE。ABAC,,,,,,,,,AEBCAECBDC,,,,BECE,,,BDCAEC,,,,CC,BCCD,,,,,,BCCEACCD,,ACCE,,,BCCACD,,CEBC,,,方法二:如图()在DA上截取DE=DC。在BED与BCD中,,,BDCEBDEBDC,,,,,,,,DEDC,,,,,BEDBCDBECC,,,,BDBD,,,,ABACABCC,,,,ACBC,,ABCBCE,,,,,,,,BCACECACCDBCEC方法三:如图()过B作BEBC于B交CA的延长线于E。,ABACCABC,,,,,,,,CE,,,,EABEABAE,,,,AEAC,,,,ABCABE,,,ABAC,,,易得RtCBDRtCEBBCCDCE,,,,,,,,,BCCACD,CECA,,

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