第四章剪切与圆轴的扭转word下载

第四章剪切与圆轴的扭转word下载 ?4 剪切与圆轴的扭转 一、基本要求 1.正确理解剪切、挤压、剪切面等概念。 2.熟练地掌握用截面法计算剪力，了解剪应力、挤压应力公式中各符号的意义及适用条件。 3.了解纯剪应力状态、剪应变以及剪应力互等定律和剪切虎克定律的含义及作用，并能熟练地应用。 4.能熟练地应用剪切强度条件和挤压强度条件解决剪切构件的三类强度计算问题。 5.掌握用截面法计算圆轴的扭矩，能正确的绘制扭矩图。 6.了解圆轴扭转时剪应力和扭转变形公式的推导过程和公式各符号的意义，并熟记实心和空心圆截面的计算公式。 l，wpp 7.能熟练地应用圆轴扭转的强度条件和刚度条件进行圆轴的强度和刚度计算。 4.1 剪切 一 剪切变形的概念 当构件受到一对大小相等，方向相反，且作用线相距很近的横向力作用时，再两力作用线之间的截面将发生相对错动，这种变形称为剪切变形。 螺栓连接 1 二 剪应力及强度条件， 在剪切面上必然存在着内力Q，它的方向与剪切面m—m平行，其值可由平衡方程 F,0求的得，:即: Q=P ,x 作用在剪切面上的内力称为剪力，它与剪切面相切。 若把作用在单位面积上的剪力用表示，则有: , Q, ,A 式中为剪应力，它与剪切面相切，单位是Pa或MPa;A为剪切面面积。 , 为了保证受剪切构件安全可靠地工作，必须使构件的工作剪应力不超过材料的许用剪应力， Q即: ,,,,,,A 此即受剪构件的强度条件。式中为材料的许用剪应力。 ,,, 对塑性材料 ,,,,,,(0.6,0.8), 对脆性材料 ,,,,,,(0.8,1), 三 挤压应力及强度条件 两种构件之间的接触表面相互压紧而使表面局部受压的现象称为挤压。 2 Pj假设挤压应力在挤压面上是均匀分布的，于是: ,,jAj 式中:A为挤压面面积，计算方法要根据具体情况而定。 j Pj构件的挤压强度条件: ,,,,,,jjAj ,,,,对塑性材料 ,,(1.7,2), j ,,,,对脆性材料 ,,(0.9,1.5), j 例4-2 图4-6(a)表示带轮用平键与轴联接(图中只画出了轴与键，未画带轮)。已知轴径d=80mm，平键的尺寸为b，h，l=24，14，120mm，传递的力偶矩为m=3kN m，键的许用 ,,,,180MPa剪应力，许用挤压应力，试校核键的强度。 ,,,,80MPaj 3 解:(1)剪切强度校核。将平键沿n-n截面假想地截成两部分，并把n-n截面以下的部分和轴看成一个整体作为研究对象(图4-6(b))。现假设在n-n截面上的剪应力均匀分布， Q,,A,,bl M,0对轴心O取矩，由平衡方程，得 ,O dd Q,,bl,,m,22 62m2，3，10,,,,26.04MPa,,,,由此得 bld24，120，80 故 平键的剪切强度足够。 (2)挤压强度校核。考虑键在n-n截面以上部分的平衡(图4-6(c))，在该截面上的剪力 hQ,bl,,,,为，右侧面上的挤压力为: P,A,ljjjj2 F,0由平衡条件得: Q=P j,x h,,即 bl,,lj2 ,2b2，24，26.04由此得 ,, ,,,,89.28MPa,,jjh14 故平键的挤压强度也足够。 四 纯剪切与剪应力互等定理 纯剪切:单元体的各个面上只有剪应力而无正应力。 ,,,,,,,0dxdzdxdzyy ,,,,yy (1)作用在单元体的两个平行平面上的剪应力总是等值而反向地成对产生。 4 ,y,y ,x,,,,x,xx dy,,y dz dx,,y (b)(a) (2)在单元体的两个相互垂直的平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等， 方向共同指向或共同背离这两个平面的交线。 这就是剪应力互等定理。 五 剪应变与剪切虎克定律 ,y,yCBBB`C ,x,,xdy ADAD (a)(b) ,,tg,,, dy 为矩形直角的微小改变量，称为剪应变或角应变，其单位为弧度(rad)。 ,,G,剪切虎克定律: 式中G为比例常数，称为材料的剪切弹性模量，它是表示材料抵抗剪切变形能力的量。 EG,E,,G,对于各向同性材料，的关系: 2(1，,) 5 4.2扭转变形的概念 当杆件上受到一对大小相等，转向相反，且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用时，杆 件上的各个横截面将绕杆的轴线发生相对转动，这种变形称为扭转变形。 mA mC mB mA 带轮 Dn齿轮2EBA 转轴CG 胶带 n3电动机 (a)n1 DEAN rA rB (b) T2T1mBNEDmA n2T (c) 6 4.3 圆轴扭转时的外力和内力 一 外力偶矩的计算 ,n,P,m,m30 30PPm,,9.55,nn P？kw,n？r/min,m？kN,m单位: P,m, 表明:(1)，可以判断细轴为高速轴。 P,const,n,,m, (2),选用电动机的 型号 pcr仪的中文说明书矿用离心泵型号大全阀门型号表示含义汽车蓄电池车型适配表汉川数控铣床 时，应以最大阻力偶矩为依据。 n,const,m,,P, (3)，说明电动机不能随便提速。 m,const,n,,P, 二 扭转时横截面上的内力 扭矩:在轴的两端作用有外力偶矩，使其横截面上产生内力即内力偶 MT 扭矩采用截面法求。 扭矩的正负:按右手螺旋法则确定，即将右手的四指沿着扭矩的旋转方向，如果大拇指的指向与该扭矩作用的横截面的外法线方向一致则扭矩为正，反之为负。 扭矩图: 例4-4 图4-14(a)所示传动轴的转速为n=400r/min，轮A为主动轮，输入功率P=150kW，A轮B，C，D均为从动轮，其输出功率分别为P=40kW，P=50kW，P=60kW。试计算轴的BCD扭矩，并作扭矩图。 mB 7 MT3 mD 解:(1)计算外力偶矩。由式(4-7)，即可求得作用在轴上各位置处的外力偶矩，其值分别为: P150Am,9.55,9.55，,3.58kN,mAn400 P40Bm,9.55,9.55，,0.955kN,mBn400 P50Cm,9.55,9.55，,1.193kN,mCn400 P60Dm,9.55,9.55，,1.432kN,mDn400 (2)计算扭矩。 从图可以看出，外力偶矩的作用位置将轴分为三段，即BA，AC和CD段，因此，需分别在各轴段中任意取一横截面，运用截面法计算其扭矩。 先求BA段横截面上的扭矩。沿任一横截面1-1将轴切开，分成左、右两段。若取左段为研究对象，由于该段的左端作用着一个外力偶矩m，为了保持平衡，在横截面1-1上B 必然存在一个扭矩M，并假设它为正值，如图4-41(c)所示。根据平衡条件，即由 T1 m,0,M，m ,xT1B 得 M,m,,0.955kN,mT1B 计算结果为负值，说明原假设的的方向与实际扭矩的方向相反。 MMT1T1 再求AC段横截面上的扭矩。与BA段类似，沿任一截面2-2将轴切成两段，并取左段为研究对象，仍假设截面2-2上的扭矩为正值(图4-14(d))。由平衡条件，即 MT2 m,0,M，m,m,0 ,xT2BA 得 M,m,m,3.58,0.955,2.625kN,mT2AB 8 最后求CD段截面上的扭矩。为了计算方便，沿横截面3-3将轴切开后，取右段为研究对象。若横截面3-3上的扭矩仍假设为正值(图4-14(e))则由平衡条件m,0，M,xT3 即 m,m,0DT3 得 M,m,1.432kN,mT3D )画扭矩图。由以上计算可知，扭矩分别表示BA，AC和CD轴段中任(3MMMT1,T2,T3 意截面上的扭矩值，因此，根据上述计算结果，并按扭矩正负号的规定，即可画出扭矩图，如图4-14(f)所示。由图可知，在每一轴段中，所有横截面上的扭矩都相等，而整个轴中的最大扭矩发生在AC段的各个截面上，此即危险截面，其值为 M,M,2.625kN,mTT2max 9 4.4 圆轴扭转时横截面上的应力 一 轴的扭转变形实验及假设 A C A C' , B B D D' , 现象: (1) 各圆周线的形状、大小及圆周线之间的距离均为改变，只是各圆周线绕轴线转动不 ? 同角度。 (2) 各纵向线都倾斜了同一角度 根据实验观察上述现象，可作如下假设: (1) 圆轴扭转变形后，各横截面仍然保持为平面，其形状，大小不变，半径仍为直线， 只是绕轴线转过了一个角度，此即扭转问题中的平面截面假设。 (2) 由于扭转变形时相邻横截面之间的距离不变，整个圆轴没有伸长或缩短，即线应变 ,,0，所以在横截面上没有正应力产生。 (3) 由于个纵向线的倾斜，使圆轴表面上的小矩形都发生了歪斜而变成了平行四边形， 这说明相邻两个横截面(1-1截面和2-2截面)之间产生了相对的平行错动(图4-15 (c))。由于两横截面间的错动而产生的倾斜角就是剪应变。由此可知，在横截面, 上必定有剪应力存在。又因为每一个小矩形的剪应变都等于,，可见每个小矩形, 10 必受到相同的剪应力作用，也就是说，在横截面的圆周上各点的剪应力都是相等的。 (4) 由于横截面的半径长度不变，故横截面上没有径向剪应力，只存在与半径方向垂直 的圆周方向的剪应力。 二 变形与应力的关系 如图4-16(b)， ab边对cd边相对错动的距离为: aa`,Rd, 由此求得原为直角的，abc的角度改变量为: aad`,tgR ,,,,,addx 这就是圆轴横截面边缘上a点处的剪应变，该剪应变发生在垂直于半径Oa的平面内。 d, 同理，e点处的剪应变为: ,,,,dx d,,d式中表示扭转角,沿轴线x的变化率，常用表示，即 ,,,dxdx ,,G,所以，横截面上剪应力的分布规律: ,, d,G由以上两式可得:, ,,,dx 此即圆轴扭转时横截面上剪应力分布规律的表达式，显然，它与横截面上剪应变的分布规律相同。 三 剪应力的计算公式 11 由横截面上所有微力矩的总和就等于该横截面上的扭矩，即 MT ,,dA,M,T,A ,d2,GdA,MT,Adx ,d2G,dA,MT,Adx 2式中积分只与圆轴的横截面尺寸有关，称为截面的极惯性矩，以表示 I,dA,,A 2所以 I,,dA,,A d,所以上式为: GI,M,Tdx Md,T于是有圆轴扭转变形的基本公式: ,dxGI, M,T 圆轴扭转时横截面上任意一点处的剪应力计算公式: ,,,I, MRT最大值:， ,,maxI, IM,T,W令，于是横截面上的最大剪应力为: ,,max,RW, W抗扭截面模量 , IW四 圆截面的和的计算 ,, R22,,,,,IdA2d,,,,,A0 圆截面: 4RR,34,2d,2，,D,,,,,0432 12 D O, Rd, 444mD为圆截面的直径。极惯性矩的单位常为m或mm。 I, ID,,,43WD/D,,, 抗扭截面模量: ,R32216 333m抗扭截面模量的单位常用m或mm 4-5圆轴扭转时的强度和刚度条件 一 圆轴扭转时的强度条件 MTmax ,,,,,,maxW, 式中、W分别为危险截面上的扭矩与抗扭截面模量。 M,Tmax 16MTmax3圆轴直径的设计公式: D,,,,, 二 圆轴扭转时的刚度条件 MTmax ,,,,,,maxGI, d,,,`,式中，其单位为弧度/米(rad/m)，但在工程实际中许用扭转角的单位,,,,,,maxdx,,max N,mm用度/米(。/m)，为使两者单位统一，需进行换算，若的单位是，G的单位MTmax 4I是MPa，的单位是mm，则上式可写为: , M1803Tmax,,,，，10,,,max,GI, MTmax,,,,57300，,,maxGI, 13 0对于一般传动轴和搅拌轴可取。 (0.5,1)/m,,, 例4-5 图4-20(a)所示为带有搅拌器的反应釜简图。搅拌轴上装有两层浆叶，已知电动机 ,的功率P=22KW，搅拌轴转速n=60r/min，机械传动效率，上、下层搅拌浆叶所,90,e, ,,,114，6mm受的阻力不同，所消耗的功率各占总功率的和。此轴采用的不锈6040,, 4,钢管制成，材料的扭转许用剪应力试校核搅,,,,,,60MPa,G,8，10MPa,,,0.5/m.拌轴的强度和刚度。若将此轴改为相同材料且与原来空心轴强度相同的实心轴，试确定其直径，并比较两种轴的用钢量。 解:(1)外力偶矩和扭矩的计算。 实际功率 P,P,,22，0.9,19.8kWe P19.8 主动力偶矩 m,9.55,9.55，,3.15kN,mAn60 0.4，19.8m,9.55，,1.26kN,mB60 0.6，19.8m,9.55，,1.89kN,mC60 M,m,1.89kNm T1C M,m，m,1.89，1.26,3.15kN,mT2cB 由此可知，轴的最大扭矩发生在AB段的横截面上，其值:为: M,M,3.15kN,mTma.xT2 14 (2)扭转强度较核。 3D102,,43433W,(1,),，114[1,()],104.46，10mm ,,1616114 6M3.15，10maxT ,,,,,,30.16MPa,,,60MPamax3W104.46，10, (3)扭转刚度校核。 4D102,,44464I,(1,),，114[1,()],5.95，10mm ,,3232114 6M3.15，1000Tmax ,,,,57300，,57300，,0.38/m,,,0.5/mmax46GI8，10，5.95，10, (4)实心圆柱直径 316W16，104.46，10,33 D,,,81mm1,, (5) 空心圆柱与实心圆柱 ,22，，D,d22G114,102空心4,,,0.395 2,G812实心D14 15