第02讲：偶然误差特性与精度标准

第02讲：偶然误差特性与精度 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 教 案 封 面 课程名称: 误差理论与测量平差基础 授课主 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 : 偶然误差特性～精度标准 授课对象: 测绘科学与技术,06004, 教员姓名: 张传定 教员单位: 一系空间测量技术教研室 撰写时间: 2008年4月 02次/25次(2008.04.09) 信息工程大学测绘学院训练部 1 第 2 次课首页 授课 2008.04.09 偶然误差的概率特性～精度估计标准 本课主题 日期 掌握并理解偶然误差的统计规律及其概率特性, 建立偶然误差服从正态分布的概念, 目 的理解精度、准确度以及精确度的概念～掌握方差、中误差、或然误差、 平均误差、相对误差、极限误差的概念。 序号 讲 授 内 容 时间 内容回顾 1 10 偶然误差的概率特性 2 10 讲真值的统计学意义 3 10 授 内精度的含义 4 10 容 与方差和中误差 5 10 时 间平均误差 6 10 分 或然误差 配7 15 相对误差 8 10 极限误差 9 10 小结 10 5 重点: 1、偶然误差的特性 重2、精度的含义 点3、方差与中误差的区别和应有对象 难4、各种精度标准的定义及相互关系 点 难点: 1、极限误差的含义与对应关系 2、精度估计标准的本质意义 方利用多媒体Powerpoint模片～采用讲授方式上课 法段 手 实 习无 实 验 2 教 案 正 文 上次课内容回顾 备 注 测量条件、多余观测、测量平差、最小二乘原理 真值、真误差 粗差、系统误差、偶然误差 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 提问 提问 , 什么是真值和估值,哪些量是估值, , 什么是真误差,测量条件相同，真误差是否相同, , 测量误差可分为几类,各类误差处理方法有何不同, 第二节 偶然误差的概率特性 (一)偶然误差的分布和统计性质 (Probability Characteristics of Random Error) 前已指出，偶然误差是由无数偶然因素影响所致，因而每个偶 然误差的数值大小和符号正负都是偶然的(或随机的)。然而，反映 在个别事物上的偶然性，在大量同类事物的统计 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 中却呈现出一 定的统计规律性。例如，一个具有一定技术水平的射手进行射击实 验，假设仅考虑许多偶然因素的影响，每发射一弹命中靶心的上、 下、左、右都有可能，但当射击次数足够多时，弹着点就会呈现出 明显的规律性，即越靠近靶心越密;越远离靶心越稀;差不多以靶 心为对称点。偶然误差具有与之类似的规律性。为寻求偶然误差的 3 教 案 正 文 学员刚接触测量～没 有三角网的概念～需 补充 规律性，下面通过测量实例来说明。 为了确定平面上各点的坐标，布设了如下图的三角网 图中，红色三角形为已知点，黑色圆点为未知点，观测量是各 内角。这种象网一样的图形叫三角网。 某测区，在相同测量条件下，独立地观测了817个三角形的全 ,w,L，L，L,180 123部内角，并由算得各三角形的闭合差。由 于作业中已尽量剔除了粗差和系统性影响，这些三角形闭合差，就 整体而言，都是偶然因素所至，故为偶然误差。它们的数值分布情 况列于下面的表(1,2,1)内(等于分界数值的闭合差，统计在数 值小的区间中)。 考察这一统计表，不难发现如下的规律: (1)这些闭合差数值上不会超出一定界限; (2)绝对值小的闭合差比绝对值大的闭合差要多; 4 教 案 正 文 (3)绝对值相等的正负闭合差个数大致相等。 概率描述: (1)在一定的测量条件下，偶然误差的数值不超过一定限值， 或者说超出一定限值的误差出现的概率为零。 重点:偶然误差三特 性及其理解 (2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大。 (3)绝对值相等的正负误差出现的概率相同。 简称: (1)界限性。 (2)聚中性。 (3)对称性。 上述情况，不仅表现于这个例子里，在大量的测量结果中，偶 然误差都有与此完全一致的规律性。 以误差区间为底，以误差出现在该区间的频率除以区间间隔的 商为高作图如下: , 0.5 3.0 难点:直方图的画法 2.0 1.0 ,1.02.03.0,1.0,2.0,3.0o 图(1,2,1) 1.长方形的面积表示误差出现的频率，其和等于1 2.长方形的高表示误差出现的密度 3.当n趋近于无穷大时，各频率趋近于一个完全确定的值，这个 值就是误差出现的概率 4.一定的测量条件对应一定的误差分布 n,,,,,p(区间概率) (概率密度) ,idf,,,,0,() d, 小矩形上端的阶梯形折线点连线，形成光滑曲线。 5 教 案 正 文 f(,) ,,,，,0 图(1,2,2) (补充: 中心极限定理指出:若随机变量是众多随机变量y ，，xi,1、2、？？、ny,x，x，？？，xx之和，，如果相互独立，i12ni n且对的影响均匀的小，则当相当大时，随机变量趋于服从正态yy 分布。偶然误差正是这一类型的随机变量，即， ,,,，,，？？，,。所以: 12n 偶然误差服从正态分布。 偶然误差的界限性表明，在一定测量条件下，偶然误差的数值 是有一定范围的。因此我们可以根据测量条件来确定偶然误差出现 的界限。显然测量条件愈好，可能出现的最大偶然误差愈小;反之， 则愈大。所以界限性是以后讨论极限误差的理论依据。 偶然误差的聚中性表明，偶然误差愈接近零，其分布愈密，而 且易知，对于较好的测量条件这一特性也必相对明显和突出。 偶然误差的对称性表明，正负偶然误差的分布对称于零，故其 密度 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 必为偶函数，于是得偶然误差的数学期望 重点 , ，，，，E,,,f,d,,0 (1,2,1) ,,, 这说明，偶然误差有相互抵消性，当误差个数足够多时，其算 术平均值应趋于零，即 n ,,i,1i lim,0 (1,2,2) ,,nn 此式与(1,2,1)式在含义上是一样的。由此又知，偶然误差 的分布即以其数学期望为对称中心，此中心常称作离散中心或扩散 中心。 6 教 案 正 文 NOTE 1.界限性是讨论极限误差的理论依据; 2.聚中性表明，偶然误差愈接近零，其分布愈密; 3.对称性表明，偶然误差有相互抵消的性质; (二)真值的统计学定义(The Statistics Meaning of True Value) 1(真误差的数学期望 根据偶然误差的对称性，偶然误差的数学期望 ，, (1) ，，，，E,,,f,d,,0, ,, n ,,i i,1 (2) lim,0 n,,n 2(真值的统计学意义 (3) ,,L,X 表示此量仅含偶然误差的观测值，表示对应的真误差，取数学期L, 望 E(,),E(L),X,0 (观测值的真值是非随机量) 得 ，，X,EL (4) 此式表明，一个量仅含偶然误差的观测值的数学期望，就是这一 量的真值。此即真值的统计学定义。 将(4)式代入(3)式，即得真误差的表达式 ，，,,L,EL (5) 这里的真误差仅仅包含偶然误差。 , 3(观测值的分布函数 x由概率论知，服从正态分布的随机变量的概率密度函数为 2，，x,a,12 2,，，fx,e ,2, 2ax其中及,是分布的两个参数，分别为随机变量的数学期望和方差，且 7 教 案 正 文 ，，a,Ex， ，，,,Dx (为简便起见，在不致混淆的情况下，本教材将随机变量和分布函数的自变 量均用同一字母表示) x以观测值及偶然误差代换(1,2,5)式中的随机变量，并注意(1L, ,2,6)式，得 2,,，，L,EL 1,22, ，，fL,e ,2, 及 21 ,,22, ，，f,,e ,2, 此二式即分别为观测值及偶然误差的正态分布密度函数。 L, 或者 2 ,~N(0,,) 2 L~N(E(L),,) 关于正态分布，在概率论课程中已经熟悉: ,,当参数确定后，即可画出偶然误差所对应的误差分布曲线。当不同 ,时，曲线的位置不变，但分布曲线的形状将发生变化。愈小曲线顶点愈高， ,形状愈陡峭，也就是分布愈密集于随机变量的数学期望附近，故参数代表 ,,,的是随机变量分布的离散特征。如图(1,2,3)所示，其中。 12 ?3.3精度估计标准 一、精度的含义 需要说明的是，虽然精度一词用的甚广，但在所有的技术标准 何规范中均无精度的原始定义。 与此有关的:精密度、准确度、精密度。 1、精密度(nition of Precision) 重点:定义及相互关 系 The degree of closeness of repeated measurements made under certain conditions to each other (Random error). 8 教 案 正 文 Expectation 2、准确度(Definition of Exactness) The degree of closeness of a measurement’s expectation to true value. (Systematic error) True value 3、精确度(Definition of Accuracy) The degree of closeness of a measurement to the true value. Problem: The relations of three definitions ? 【1】精密度(通常说的精度)反映偶然误差的影响，准确度反 重点～难点～ 映系统误差的影响，精确度反映二者的综合影响; 【2】一组观测值可能很精密，即精度很高，但可能极不准确(含 有较大的系统误差或者粗差);只有当观测值仅含有偶然误差时，精 度、准确度和精确度才是统一的; 【3】今后如无特别声明，我们所说的精度就是指没有系统误差 的情况。 二 方差和中误差(Variance and Standard Error) 1、Definition of Variance(方差) 9 教 案 正 文 描述随机变量离散程度的特征值，是随机变量与其数学期望之 差的平方的数学期望 ,222 ,,,,,,DLELELLELfLdL，，，，，，，，，，，，,, ,,, 均方差(Standard deviation ) 2,,,E() Note 【1】方差反映了随机变量总体的离散程度，称总体方差或理论方差。 【2】方差大小反映了总体观测结果靠近真值的程度，也就是代表了精度 的高低。 【3】观测值与其真误差(偶然误差)有相同的方差，精度相同。 Why do we estimate the precision of observations? 2、Definition of Standard Error(中误差) 在相同测量条件下，一组真误差平方中数的平方根。 n 2,,,,[,,],, ,im,, i,1n 说明: [1] m2是方差的无偏估值，而中误差本身不是均方差的无偏估 值(证明见第4节) [2] 中误差是衡量精度高低的一个指标，不代表真正误差的大小 [3] 中误差前的“?“是中误差的标志，不代表误差的范围 三、平均误差(Average Error) 1、Definition The expectation of the absolute value of true errors. ,,,,,,,,Efd，，，，, ,, 2、Estimation The arithmetic mean of the absolute value of errors. ,,,t,, n 10 教 案 正 文 3、Relations with variance and m 422 tm,,,,tm, 5, , Note: [1] 反映误差分布的离散程度 [2] 从量值上小于均方差(中误差) 四、 或然误差(Probable Error) 1) Definition Half the resulting errors are smaller in magnitude than PE and the other half larger than PE.(C) 若有一正数，使得在一定测量条件下的误差总体中，绝对值大于和小C 于此数值的两部分误差出现的概率相等，则称此数值为或然误差。 C C1 ，， f,d,,,,C2 2、 PDF of the PE f(,) 1 2 114 4 ，C,C 图(1,3,1) 3、 Estimation 实际应用中，也只能是计算或然误差的估计值，通常以表示，仍称为, 或然误差。 ,,,,median{} 依定义，或然误差的大小也同样反映了误差分布的离散程度。 强调与中误差的比 较 4、Relations 22 C,m,,, 33 强调: ,?无论m、t、 ，只有n较大时，结果才可靠; 11 教 案 正 文 ?观测个数有限时，中误差更能客观的反映观测条件，因为其对大误差 较敏感，而大误差对观测结果影响较大; 0.5 0.9, 1.1 1.3, 1.4 2.0，，，4.0 t,,1.2"m,,1.3",,,1.2" www 增加一个误差之后: t,,1.6",,,1.3"m,,1.9"强调与中误差的比www 较 ?一定的测量条件对应一定的方差(中误差)，一定的方差(中误差)也 对应一定的测量条件; ?等精度观测是指中误差相同，而非真误差相同; ?一系列观测结果求得的中误差，反映了观测时所处的测量条件，标志 的是这一系列观测值的精度，也是其中每一个观测值得精度;亦可引申 为在上述测量条件下，另一系列观测结果的精度。尽管其真误差不同， 但其中误差、平均误差、或然误差在理论上应该是相同的; ?我国采用中误差作为衡量精度的标准; 五、相对误差(Relative Error) 1、Definition 误差值与其相应观测值的比; 一个量中误差与此量本身大小之比，称相对中误差 例如:距离测量 S1=1000m?0.2m ,s2=50m?0.2m 2、Property [1] 相对中误差是无名数，分子化成1 [2] 一般只用于距离测量，测角误差大小与角度大小无关 3、Application in Traverse Survey 在某些情况下，如导线测量中，点位误差是测角误差和量距误 差的合并影响，故两者的精度应取得一致。这就要对角度误差与距 离误差进行比较，这时用相对误差就能达到此目的。 图(1,3,2)表示的是测量角度及距离确定点的位置。由角P 度测量误差使点移至点，由距离测量误差使点又移至PP'P',,,S "P了点。由角度测量引起的在垂直于量线方向上的位置误差称,u 12 教 案 正 文 为横向误差。由距离测量引起的沿量线方向上的位置误差称为纵,S 向误差。 P″ P ,u ,S P′ S ,, , 图(1,3,2) 由图(1,3,2)，因为，故可将近似地视为圆弧，,u,,S,u 横向误差为 ,u,S,,, 纵横向误差相等，是指 ,u,,S 即 ,S ,, ,S 习惯上，角度误差一般以秒为单位，则纵横向误差相等可表示 为 ,,",S , ,"S 实际测量中，纵横向精度一致都是指中误差，即 mm" ,S, ,"S 上式表明，导线测量中的纵横向精度一致，就是以弧度为单位的测角中误差 与边长的相对中误差相等。 重点和难点:定义及 其理解 1200000例[1,3,3] 若量距的相对中误差为，角度的中误差为 强调与中误差的比,,，试比较纵横向精度是否一致。 1 较 解:以弧度为单位的测角中误差为 m"1,, ,"206000 边长的相对中误差为 m1S, S200000 13 教 案 正 文 mm",S, ,"S 可见，纵横向精度是一致的 重点:制定依据及适 用对象 六、极限误差(Bound of Errors) 由偶然误差第一特性知，在一定测量条件下，偶然误差的大小 不会超出一定的界限，超出此界限的误差出现的概率为零。按照这 个道理，在实际工作中，常依据一定的测量条件规定一适当数值， 使在这种测量条件下出现的误差，绝大多数都不会超出此数值，而 对超出此数值者，则认为是异常，其相应的观测结果应予以剔除。 这一限制数值，即被称作极限误差。 1、定义 一定测量条件下，偶然误差的最大允许值 2、极限误差的表示方法 容易理解，极限误差应依据测量条件而定。测量条件好，极限 误差应规定的小;测量条件差，极限误差应规定的大。在实际测量 工作中，通常依标志测量条件的中误差的整倍数作为极限误差。 k,, ,,k,m限 2按附录H正态分布表1查得，当测量条件一定，即方差一定, 时，服从正态分布的偶然误差值落在区间 ，，，，，，,,,，,,,2,,，2,及,3,,，3,之外的概率分别为 ，， P{,,2,},0.0455P{,,,},0.3170P{,,3,},0.027 m,近似地以中误差代替均方差，上面的数字表明，在随机抽 取的100个观测误差中，可能有5个误差大于2倍中误差;在1000 个误差中，可能由3个大于3倍中误差。可见，大于3倍中误差(即 )的偶然误差出现的是小概率事件，或者说这是实际上的不可能3m 事件。因此，在观测个数有限的情况下，通常认为，绝对值大于3m 的误差是不应该出现的。所以通常以三倍中误差作为极限误差，即 强调，这是容易出错,,3m 限 的概念 在要求严格时，也可采用作为极限误差。在我国现行作业规2m 范中，依二倍中误差作为极限误差的较为普遍，即 ,,2m 限 14 教 案 正 文 这里特别要注意的是，极限误差是真误差的限值，在测量上只 有闭合差、双次观测较差才是真误差，所以一般把极限误差用作求 闭合差、较差的最大允许值上。 极限误差通常作为作业中限差的理论依据。 在测量工作中，如果某误差超过了极限误差，就认为它是错误， 相应的观测值应舍去。 说明: 1) 极限误差是真误差的最大允许值，而不是中误差的最大允许 值; 2) 极限误差不是误差，也不是误差的极限，而是为限制粗差人 为规定的标准; 3) 测量中只有闭合差和较差是真误差，因此，极限误差是为闭 合差和较差制定的。 dm,3,,3mwm,3 d,w限限限 15 第 2 次课尾页 本此课要求大家掌握和理解的内容有: 1、真值客观存在～但无法得到, 2、真值在统计学意义上是总体平均, 内3、观测值和对应真误差同分布, 容4、偶然误差的数学期望等于零。 小5、各种精度估计标准的定义、公式及比较 结 思考题: 1、什么是精度、准确度、精确度,它们之间有什么区别和联系, 2、什么是中误差,为什么要定义中误差, 作3、什么是平均误差,它和中误差的关系是什么, 业4、什么是或然误差?它和中误差有什么关系? 思5、何为相对误差,为什么定义相对误差? 考6、何为极限误差,它是哪些量的限差? 题 作业: 习题集:1.6,1.10,1.11,1.12 [1] 武汉大学测绘学院测量平差学科组～误差理论与测量平差基础～武汉大 学出版社～2003 [2] 黄维彬～近代平差理论及其应用～解放军出版社～1992 参 [3] 崔希璋～於宗俦～陶本藻等～广义测量平差,新版,～测绘出版社～2001 考 资[4] 刘大杰～陶本藻～实用测量数据处理方法～测绘出版社～2000 料[5] 郭禄光～樊工瑜～最小二乘法与测量平差～同济大学出版社～1985 [6] 高士纯～测量平差基础通用习题集～武汉测绘科技大学出版社～1998 [7] 隋立芬～李骏元～吕安民～测量平差基础～哈尔滨地图出版社～2001 检 查 情 况 教研室主任: 年 月 日 16