2015年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)设复数Z满足
（A）1 （B）
（C）
（D）2
（2）
（A）
(B)
（C）
(D)
（3）设命题
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）投篮测试中，每人投3次，至少2次命中才能通过测试，已知某同学每次投篮命中的概率为0.6，且各次投篮是否命中相互独立，则该同学通过测试的概率为
（A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312
（5）已知
是双曲线C：
上的一点，
两个焦点，若
，则
的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）《九章算术》是我国古代极为丰富的数学名著，
书
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中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”，其意为：“在屋内角处堆放米（如图，米堆是一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的的体积和米堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出米堆的米约为
（A）14斛 （B）22斛 （C）36斛 （D）66斛
（7）设D为
，
，则
（A）
（B）
-
（C）
（D）
（8）函数
的部分图像如图所示，则
的单调区间为
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）执行右边的程序框图，如果输入的t=0.01,则输出的n=
（A）5 （B）6 （C）7 （D）8
（10）
的展开式中，
的系数为 （A）10 （B）20 （C）30 （D）60
(11)圆柱被一平面截去一部分后与半球（半径为r） 组成一个几何休，该几何体的正视图
和俯视图如图所示，若该几何体的
表
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面积为16+20π，则r=
（A）1 (B)2 (C)4 (D)8
（12）设函数
，若存在唯一的整数
，使得
的取值范围为
（A）
(B)
(C)
(D)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）若函数
。
（14）一个圆经过椭圆
的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的
标准
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方程为 。
（15）若
，则
的最大值为 。
（16）在平行四边形ABCD中，
，BC＝2，则AB的取值范围是 。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
是数列
的前n项和，已知
，
（Ⅰ)求数列
的通项
公式
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；
（Ⅱ）设
求数列
的前n项和.
(18)(本小题满分12分)
如图，四边形ABCD是菱形，
，E，F是平面ABCD同一侧的两点，
，
，
(Ⅰ)证明：
；
(Ⅱ)求直线AE与直线CF所成有的余弦值。
（19）（本小题满分12分）
某公司为确定下一年的投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y(单位：t)和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费
和对年销售量
数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值，
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中
（Ⅰ）根据散点图，判断
哪一个宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y与x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品年利润z与x,y之间的关系为z=0.2y-x,根据（Ⅱ）的结果回答问题
（i）年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值为多少？
（ii年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？
（20）（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，曲线C：
与直线
交于M，N两点。
（Ⅰ）当
时，分别求C在M点和N点处的切线方程；
（Ⅱ）
,使得当
变动时，总有
？说明理由。
（21）（本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）当
为何值时，
轴为曲线
的切线；
（Ⅱ）用
表示
中的最小值，设函数
讨论函数
零点的个数。
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，AB是圆为的直径，AC是圆O的切线，BC交圆O与点E，
(Ⅰ)若D为AC的中点，证明：DE是圆O的切线；
(Ⅱ)若
,求
的大小。
(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线C1
，
，以坐标原点为极点，
轴的正半轴为级轴建立极坐标系
(Ⅰ)求
的极坐标方程；
(Ⅱ)若直线
，设
，求
的面积。
(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
设函数
,
。
（Ⅰ）当
时，求不等式
的解集；
（Ⅱ）若
的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求
的取值范围。
浙公网安备 33021202002483