不定积分换元法例题

1 不定积分换元法例题 2009-12-18 【不定积分的第一类换元法】 已知 fuduFuC()(),，, 求 【凑微分】 gxdxfxxdxfxdx()(())'()(())(),,,,,,,,, 【做变换，令，再积分】 ,,，fuduFuC()()ux,,(), 【变量还原，】 ,，FxC(()),ux,,() 【求不定积分的第一换元法的具体步骤如下:】 gxdx(), (1)变换被积函数的积分形式:gxfxx()(())'()dx,,,dx ,, (2)凑微分:gx()(())((dxfxfx,,,,,,'(()x)dxdx)) ,,, (3)作变量代换得:gxdxfxx()(())'()(),,,,dxfd,,()()xx ,f()uduux,,(),,,,(4)利用基本积分MATCH_ word word文档格式规范word作业纸小票打印word模板word简历模板免费word简历 _1714149374542_0fuduFuC()(),，求出原函数: , gxdxfxxdxfxdx()(())'()(())(),,,,,,,,，fuF()()duuC ,,,,(5)将代入上面的结果，回到原来的积分变量得: ux,,()x gxdxfxxdxfxdx()(())'()(())(),,,,,,,,，fuduFuC()() ,，FxC(()),,,,,【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。 ux,,()__________________________________________________________________________________________ 【第一换元法例题】 1199991、 (57)(57)(57xdxx，,，,,，,,，,xxdxdxd)(57)(57)(57)，，x,,,,55 111191010 ,,,,，,，(57)(57)(57)xx，，，dCx(57)x，C,555010 1【注】 (57)'5,(57)5,(57)xdxdxdxdx，,，,,，,,5 lnx12、 dxxx,,,,lnlndxdxln,,,xx 1122 ,,,，,，lnln(ln)xxxdCxC(ln),22 111【注】 (ln)',(ln),(ln)xdxdxdxdx,,,,,xxx sinxsincoscosxdxd,xdx3(1) tanxdxdx,,,,,,,,,,coscoxscoscosxxx dcosx ,,,,，,,，ln|cos|xCxCln|cos|,cosx 2 不定积分换元法例题 2009-12-18 【注】 (cos)'sin,(cos)sin,sin(cos)xxdxxdxxdxdx,,,,,,,, cosxcosxdxdxsin3(2) cotxdxdx,,,,,,,sinsinsinxxx dsinx ,,，,，ln|sin|xCxCln|sin|,sinx 【注】 (sin)'cos,(sin)cos,cos(sin)xxdxxdxxdxdx,,,,, 1114(1) dx,,,,dxdx()a，,,,axa，，，xax 1 ,,,，,，dCax(axax，，)ln||ln||，C,ax， 【注】 ()'1,(),()axdaxdxdxdax，,，,,，,, 1114(2) dx,,,,dxda()x,,,,xax,,,axa 1 ,,,，,,dCxa(xaxa,,)ln||ln||，C,xa, 【注】 ()'1,(),()xadxadxdxdxa,,,,,,,, 11111111,,,,4(3) dxdx,,,,,dxdxdx,,,,2222,,,,,x,aaxaaxa,,，2xa2xaxa,，,,,, 11xa, ,,,，，,，ln||ln||lnxaxaCC，，22aaxa， 2sec()xsectansecsectanxxxxx，，5(1) secxdxdx,,,dx,,,sectanxx，sectanxx， dxxxx()()tansectansec，d， ,,,，，ln|sectan|xxC,,sectanxx，secxx，tan 1cosxcossinxdxdx,5(2) secxdxdxdx,,,,222,,,,,coscxxoscos1sinxx, dxsinx1111sin111sin,,x,, ,,,,,，,，dCCsinxlnln,,2,,1,,，，，sinxx2112sin121ssinsinxxxin,, 2csc()xcsccotcsccsccotxxxxx，，6(1) cscxdxdx,,,dx,,,csccotxx，csccotxx， dxxxx()(),,，cotcsccsccotd ,,,,,，，ln|csccot|xxC,,csccxx，otcscxx，cot 2csc()xcsccotcsccsccotxxxxx,,6(2) cscxdxdx,,,dx,,,csccotxx,csccotxx, 3 不定积分换元法例题 2009-12-18 dxxxx()(,，,cotcsccsccodt) ,,,,，ln|cscxxCcot|,,csccotx,xcsccoxx,t 1dx7(1) dxxC,,，arcsin,,2211,,xx xx,,,,dd,,,,1dxxdxaa,,,,7(2) dxC,,,,,，arcsin,,,,,2222222aa,,xaxxxx,,,,,,a111,,,,,,,,,aaa,,,,,,1dx8(1) dxxC,,，arctan22,,11，，xx xx,,,,dd,,,,1111dxxdxaa,,,,8(2)，() a,0dxC,,,,,，arctan222222,,,,,2axaxaaa，，a，，xxx,,,,,,211，，a1，,,,,,,,,aaa,,,,,,,,，， 3525259(1)sincossincossinxxdxxxxx,,,,sicnxdxdx,cosos ,,, 86coscosxx2575 ,,,,,,,,,,，(1cos)coscos(coscos)cosxxdxxxdxC,,86353434sincossincossincosxxdxxxx,,,,cossinxdxdxx9(2) ,,, 468sinsinsinxxx322357 ,,,,,，,,,，，sin(1sin)sin(sin2sinsin)sinxxdxxxxdxC,,438 dx111110(1) ,,,,,,,，,dxdxlndxClnxlnln,,,,xxxxlnllnnxlnx dx1111110(2) ,,,,,,,,，,dxxdlndClnx2222,,,,xxxxlnlnlnlnxlnxx 222()xdxd2xdxdxx，1211(1) ,,,,，，arctan(xC1)42424222,,,,xxxxx，，，，，，222)22(x21，x，1 22xdxd12xdxd1x1()x，111(2) ,,,,,,,42424222xxxx，，，，，，，25222xx52524()x，1 2,,x，1d,,2221(1)111dxx，，,, ,,,，arctan()C22,,228442,,,,xx，，1111，，,,,,22,,,, 4 不定积分换元法例题 2009-12-18 sinx1112、 dxxx,,,,,,,,sinsdxdx22insinxdx,,,,xxx2 ,,,,，,,，2sin2cos2cosxxxdCxC, 111222xxx2x13、 edxedxde,,,，exC22,,,222 4sinx333314、 sincossinsinxxdxxxdC,,,,,,,，cossinxdxdxsinsnxxi,,,,4 1110010010010015、 (25)xdx，,，,,，(25)(25)(25)xxxdxd，,,,(25)(25)xdx，，,,,,22 1111100101101 ,,,,，,，(25)(25)(25)xxx，，，dCxC(25)，,22202101 111222222216、 xxdxxsinsins,,,,,,,,，xdxdxinsincosxdCxxx,,,,222 lnlnln(1ln)1xxxx1，,17、 dxdx,,,,,,dxdlnxln,,,,xxxxxx1ln1ln1ln1ln，，，， 1,，,,,1lnlnlnxdxdx,,1ln，x 1,，,，,,，1ln(1ln)(1ln)xdxdx ,,1ln，x 31222,，,，，(1ln)2(1ln)xxC3 arctanx1earctanarctanarcxxxarctanxtan18、 arctanarctandxeeedeC,,,,,,,，dxdxx,,,,2211，x，x x1112219、 dx,,,,,,xddxxxd,,(1),,,,22221111,,,,xxx22x 122 ,,,,,,dx(1),x1，C,221,x 31,,sin11x22,,,，coscosxdxx2cosC20、 dx,,,sincosxdxd,,x,,,,333coscoscosxxx 5 不定积分换元法例题 2009-12-18 xe111xxxx21、 dxdeC,,,,,,，，edxde，e()ln(22)xxxx,,,,，，，eee，e2222 23lnlnxx122222、 dxx,,,,,,,，lnldxdxnxdClnlnlnxx,,,,xx3 dxdxxdxdx(1，)(1)1，，23、 ,,,,，arcsinC,,,,222222122(1)2(1),,,，，xxxx,(2)(1,，x) 11dx(),dx(),dxdx2224、 ,,,2,,,,171722xx,，21722()()xx,，,，()x,，()242422 11dx()x,,2221x,22 ,,arctanarctan，,CC，,17777722()x,，()222 sincosxx2225、计算， ab,dx,2222axbxsincos， 22222222【 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 】因为: (sincos)'2sincos2cos(sin)2()sincosaxbxaxxbxxabxx，,，,,, 222222 所以: daxbxabxxdx(sincos)2()sincos，,, 12222 sincos(sincos)xxdxdaxbx,,，222()ab, 2222sincossincos(sixxxxdxda1ncos)xbx，【解答】 dx,,,,,22222222222222ab,axbxaxbxsincossinc，，os2sincosaxbx， 22221()1daxbxsincos，2222 ,,，，asincosxbxC,22222222abab,,2siaxbxncos， 6 不定积分换元法例题 2009-12-18 【不定积分的第二类换元法】 已知 ftdtFtC()(),，, 求 【做变换，令，再求微分】 gxdxgtdtgttdt()(())()(())'(),,,,,,xt,,(),,, 【求积分】 ,,，ftdtFtC()(), ,1,1 【变量还原，】 ,，FxC(()),tx,,()__________________________________________________________________________________________ 【第二换元法例题】 令xt,sinsinsinxtt2dxtdt,,,,,,,,,,,,dttdt22sin1、 ,,,,2xt,ttx 变量还原 ,,，,，2cos2costCxC,,,,,,, tx, 令xt,1111t,,22221dxdtdt,,,,,,,,dttd,,,,,,t,,2(1) ,,,,,2xt,1111，，，，tttt1，x,, 变量还原 ,,，，,，，2ln|1|2ln|1|ttCxxC,,,,,,,，，，， tx, 令1+xt,,11111t,,2,,,,,,,,,,,,,,,,dxdtdtd(1ttdt)2(1)221,,2(2) ,,,,,2xt(1),,tttt，1x,, 变量还原 ,,，，,，，2ln||21ln|1|ttCxxC,,,,,,,，，，， tx,，1 34令，,xt134111343321，,,,xdxtt,,,,,,,,dtttdt(1)4(1)3,,,,,3、 32,,,3434xt,,(1)t(1),xt(1), 334474,,74变量还原(1)(1)xx，，,,tt63,,,,,,,,12,,，C,,,,，12()12ttdtC,, 3,4,,74741tx,，,,,, 令xt,111124、 dxdt,,,,,,,,,dttd,,,t22222,,,,2xt,ttttt，，，(1)(1)1xx，(1) 变量还原 ,，，2arctan2arctantCxC,,,,,,,tx, 7 不定积分换元法例题 2009-12-18 xet令,1111111,,5、 dxdtdt,,,,,,,,,,,,,,ddttln,,x,,,,,lnxt,，，，，，ettttttt111(1)1,, x变量还原te ,ln||ln|1|lnln,，，,，，,,,,,,,ttCCCxx,te11，，te 62令xt,dxt111,,656、 ,,,,,,,,,,,dttt6d,,,661dtdt3,,,,,,,2323226xt,，，，，(1)(ttttt1)11t(1)，xx,, 变量还原66 ,,,，6(arctan)6(arctan)ttCxxC，,,,,,,,6tx, mnk xx,xt,【注】被积函数中出现了两个根式时，可令，其中为的最小公倍数。 mn,k 322令xt，,2,,dxtt ,,,,,,33ln|1|,,，，，dtttC3,,7(1) ,,3xt,,212，t，，x12,, 32,,变量还原，(2)x33 ,,,,,,,32ln|12|,，，，，，xxC6 ,,2tx,,, 1，x,t令2xt211，x,,,,,,,,,，，,,，222ln|1|ln|1|dttttCdx2,7(2) 1,t,1x,xx2t,1 变量还原111xxx，，， 22ln|1|ln|1|C,,,,,,，，,,， 1，xxxxt,x naxb，n axb，t【注】被积函数中含有简单根式或时，可令这个简单根式为 ，即可消去根式。 cxd， 111令,tddt,8dx2xt1,,642tt,,,,,,,,,,，,，dttttdt18(1) 82,,,22,,,,1111111tt，，,,,,xx(1)，x,,,t11，，,,,,8282tttt,,,, 753变量还原ttt11111 ,,，,，,，,,,,,,，,，,，ttCCarctanarctan7531753753xxxxxt,x 8 不定积分换元法例题 2009-12-18 111,t令,,1ln1lnxxt,，1ln1ln11ttdxdtddt,,,,,,,,,,22222,,,,8(2) 1xxtt,(ln)x,tt，1ln1111，，,,,,t,,lnln,,,,tttt,,,, 111,,,,,,,，，，tdtdttC(1ln)(1ln)22,,，tt1ln，，tttt1ln1ln，，，，变量还原x1 ,,,,,，,CC，111x,xlnt,，1lnx xx 【注】当被积函数中分母的次数较高时，可以试一试倒变换。 22ttx令tan,t11，，2221sin，2xtdt11，，tt2arctandx,,,,,,d,,,2229、 ,,,xt,2arctan2121,,ttttsin(1cos)，21，xxt(1)(1)，，22221，，，111，tttt 2111t,,tdtttC2ln||,，，,，，，,,,242t,, x2tan 变量还原xx12tanln|tan|C,,,,,，，，14222t,x 【注】对三角函数有理式的被积函数，可以用万能公式变换，化为有理分式函数的积分问题。 ,令，xatt,,sin||22222222(1)10 axdxaatdatatdt,,,,,,,,,,,sinsincos,,,xt,arcsnia ,,,令，xattsin||变量还原2dxdatxsin ,,,,,,,,,，，,,,,,,,dttCCarcsin,,,xx22222a,,tarcsintarcsin,,axaatsinaa 221cos2sin2，taat,,2,,，,，，adttdttC(1cos2),,,,2222,, 2变量还原ax122,,,,,,,arcsin，xaxC,，x22a,arcsinta ,令，xatt,,tan||2dxdattan10(2)secln|sectan|tdtttC ,,,,,,,,,，，,,,x22222t,arctanaxaat，，tana 22变量还原xax，22,,,,,,,ln||ln||，，,，CxaxC，， xaat,arctana 9 不定积分换元法例题 2009-12-18 2a2222因为: ()'2xaxax,，,，,22ax， 2a2222所以: ()'2xaxdxaxdxdx,，,，,,,,22ax， ,,1122222axdxxaxdxadx，,,，，()',,即: ,,,222ax，,, 21a2222,，，，，，xaxxaxCln|| 22 ,令，xatt,,,sec02dxdatsec10(3) secln|sectan|tdtttC,,,,,,,,,，，,,,22222atasec,xa, 22变量还原xxa,22 ,,,,,,,，，,，,，CxxaCln||ln||xat,secaa 2a2222因为: ()'2xxaxa,,,,，22xa, 2a2222所以: ()'2xxadxxadxdx,,,,，,,,22xa, ,,1122222xadxxxadxadx,,,,,()',,即: ,,,222xa,,, 21a2222,,,，,，xxaxxaCln|| 22 222222【注】当被积函数中出现因子时，可以用三角变换，化为三角函数的积分问题。 axaxxa,，,,, _______________________________________________________________________________________________ 10 不定积分换元法例题 2009-12-18 【附加】【应用题】 Cx()100已知生产单位的某种产品，边际单位成本是，产量为 1 个单位时，成本为102，xCx'()()',,,2xx又知边际收益为，且， Rxx'()120.1,,R(0)0, 求:(1)利润函数; Lx() (2)利润最大时的产量; (3)利润最大时的平均价格。 【解答】 Cx()100(1)因为: Cx'()()',,,2xx 100100，由得:， ， 所以:Cxx()1002,，C,2C(1)102,,,CxC(),，Cx()2,，111xx 2 又已知:，， Rxx'()120.1,,R(0)0,Rxxx()120.05,,, 2 于是: LxRxCxxx()()()100.05100,,,,, (2)令 得: Lxx'()100.10,,,x,100 因为:，所以当时利润最大， LL'(100)0,"(100)0,,L(100)400,x,100max R(100)700(3)利润最大时的平均价格为: P,,,7100100