第三章 单自由度有阻尼系统的振动
3—1 阻尼的作用与分类
前述无阻尼的振动只是一种理想情况，在这种情况下，机械能守恒，系统保持持续的周期性等幅振动。但实际系统振动时，不可避免要受到各种阻尼的影响，由于阻尼的方向始终与振动体的运动方向相反，因此对系统作负功，不断消耗系统的能量，使自由振动不断衰减最终停止，强迫振动的振幅受到抑制。
阻尼有各种来源，情况比较复杂，主要有下列三种形式。
1.干摩擦阻尼：
两个干燥表面互相压紧并相对运动时所产生的阻尼称为干摩擦阻尼，阻尼大小与两个面之间的法向压力N成正比，即符合摩擦定律F=fN，式中f是摩擦系数。
2.粘性阻尼：
物体以中、低速度在流体中运动时所受到的阻力称为粘性阻尼。有润滑油的滑动面之间产生的阻尼就是这种阻尼。粘性阻尼与速度的一次方成正比，即
,式中c为粘性阻尼系数，它取决于运动物体的形状、尺寸及润滑介质的粘性，单位为N·s/cm。物体以较大速度在流体中运动时（如3m/s以上），阻尼将与速度的平方成正比，即
，式中b为常数，此种阻尼为非粘性阻尼。
3.结构阻尼、
材料在变形过程中，由内部晶体之间的摩擦所产生的阻尼，称为结构阻尼。其性质比较复杂，阻尼的大小取决与材料的性质。
由于粘性阻尼在
数学
数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划
处理时可使求解大为简化，所以本节先以粘性阻尼为基本模型来分析有阻尼的振动。在遇到非粘性阻尼时则可用等效粘性的办法作近似计算。有关等效粘性阻尼的概念和计算方法在本章后面再作介绍。
3－2具有粘性阻尼的自由振动
单自由度有阻尼振系的力学模型如图3-1所示，包括弹簧、质量及阻尼器。以物体的平衡位置0为原点，建立图示坐标轴x。则物体运动微分方程为
式中 ：
为阻尼力，负号表示阻尼力方向与速度方向相反。
将上式写成标准形式，为
(a)
令
p2=
,
, 则上式可简化为
(3-1)
这就是有阻尼自由振动微分方程。它的解可取
，其中
s是待定常数。代入（3-1）式得
，要使所有时间内上式都能满足，必须
，此即微分方程的特征方程，其解为
（b）
于是微分方程（3-1）的通解为
（3-2）
式中待定常数c1与c2决定与振动的初始条件。振动系统的性质决定于根式
是实数、零、还是虚数。对应的根s1与s2可以是不相等的负实根、相等的负实根或复根。若s1与s2为等根时，此时的阻尼系数值称之为临界阻尼系数，记为cc，即cc＝2mp。引进一个无量纲的量
，称为相对阻尼系数或阻尼比。
（3-3）
当n>p或
>1,根式
是实数，称为过阻尼状态，当n
1，即
c2,c1<0时的情况。
2.临界阻尼状态
此时
＝1，（b）式中s1＝s2＝－n＝－p，特征方程的根是重根，方程（3-1）的另一解将为te－pt，故微分方程（3-1）的通解为
x＝（c1＋c2t）e－pt （c）
式中等号右边第一项c1e－pt是一根下降的指数曲线，第二项则可应用麦克劳林级数展开成以下形式：
从上式看出，当时间t增长时，第二项c2te－pt也趋近于零。因此（c）式表示的运动也不是振动，也是一个逐渐回到平衡位置的非周期运动。
3.弱阻尼状态
此时p>n,或
<1。利用欧拉公式
可将（3-2）式改写为
或
（3-4-1）
令
，则
（3-4-2）
式中A与
为待定常数，决定于初始条件。设t＝0时，x＝x0，
，则可求得
（3-5）
将A与
代入（3-4-1）式，即可求得系统对初始条件的响应，由式（3-4-1）可知，系统振动已不再是等幅的简谐振动，而是振幅被限制在曲线
之内随时间不断衰减的衰减振动。如图3-3所示。这种衰减振动的固有圆频率、固有频率和周期分别为
式中P、f、T是无阻尼自由振动的固有圆频率、固有频率和周期。
由上可见，阻尼对自由振动的影响有两个方面：一方面是阻尼使自由振动的周期增大、频率减小，但在一般
工程
路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理
问题中n都比P小得多，属于小阻尼的情况。例
=n/p=0.05时，fd=0.9990f，Td=1.00125T；而在
=0.20时，fd=0.98f，Td=1.02T，所以在阻尼比较小时，阻尼对系统的固有频率和周期的影响可以略去不计，即可以近似地认为有阻尼自由振动的频率和周期与无阻尼自由振动的频率和周期相等。另一方面，阻尼对于系统振动振幅的影响非常显著，阻尼使振幅随着时间不断衰减，其顺次各个振幅是：t=t1时，A1=Ae-nt1；t=t1+Td时，A2=A
；t=t1+2Td时，A3=A
，…..。而相邻两振幅之比是个常数。即
（3-6）
式中η称为减幅系数或振幅衰减率，n称为衰减系数，n越大表示阻尼越大，振幅衰减也越快。当
＝0.05时，η＝1.37，A2=A1/1.37=0.73A1，每一个周期内振幅减少27％，振幅按几何级数衰减，经过10次振动后，振幅将减小到初值的4.3％。可见，衰减是非常显著的。在工程上，通常取（3-6）式的自然对数以避免取指数的不便，即
（3-7）
式中δ称为对数减幅或对数衰减率。
将
代入，得
（3-8-1）
当
<<1时，
δ≈2π
（3-8-2）
因为任意两个相邻的振幅之比是一个常数enTd，即
故有
因此对数减幅δ也可表达为
（3-9）
此外，根据（3-6）式，可以用实测法来求得系统的阻尼系数。因为
故
（3-10）
所以只要实测得出衰减振动的周期Td及相邻两次振幅Aj和Aj+1，即可计算出系统的阻尼系数C。
[例3-1] 在图3-1所示的振系中，弹簧刚度K=250N/cm，阻尼系数C=6N·s/cm，物体重98N。设物体从静平衡位置下拉1cm，然后突然释放，求此后的运动。
解：先求阻尼比
判断阻尼状态，分析运动性质，
因为
，属弱阻尼振动，故运动方程为：
及
式中：
1/s
由初始条件：t＝0时， x0＝1cm 、
及n＝
×
1/s
代入以上两式，得 A=1.25cm，
，即
所以 x＝1.25e-30tsin(40t+0.928)
[例3-2] 设阻尼系数为C=1N·s/cm，其余数据同上例，试求对数减幅δ，并估计使振幅减小到初始值的1%所需的次数及时间。
解：
振动次数
所需时间
s
[例3-3] 有阻尼弹簧质量系统中，物块重98N，弹簧刚度k=7N/cm，阻尼系数C未知，如果测得幅值为每循环衰减率为10%，求阻尼系数C。
解：
0.9)=0.105， m=98/980=0.1。
由（3-8）式得
N·s/cm
所以 C=
N·s/cm。
3—3在简谐激扰力作用下的强迫振动
单自由度粘性阻尼系统强迫振动的力学模型如图3-4所示。设系统中除了有弹性恢复力及阻尼力作用外，还始终作用着一个简谐扰力F（t）=F0sinωt，其中ω为激扰频率。由牛顿运动定律，直接写出系统的运动微分方程为：
（3-11）
令 P2=k/m, 2n=c/m，q=F0/m。则（3-11）式可改写为下列形式
（3-12）
方程的通解由两部分组成。即
其中x1(t)为齐次方程的通解，x2(t)为方程（3-12）的特解，
在弱阻尼情况下，通解为（3-4）式，即
（a）
因为方程(3-12)的非齐次项为正弦函数，故其特解为简谐函数，且其频率与非齐次项的正弦函数的频率一致。令其形式为
（3-13）
所以方程（3-12）的通解为
（3-14）
上式等号右边第一项已讨论过，是一个衰减振动，只在振动开始后的一段时间内才有意义，所以称其为瞬态振动；第二项是系统在简谐激扰力作用下产生的强迫振动，是一种持续等幅振动，称它为稳态振动。图3-5表示了在初始阶段由（3-14）式表示的由两种不同频率不同振幅的简谐运动迭加的结果。其中细实线表示等幅振动，粗实线表示某种情况下两种运动的迭加。通过一段时间后，粗实线逐渐与细实线相重合而成为单纯的稳态振动。因此在一般情况下，可以不考虑瞬态振动而仅研究强迫振动中持续的等幅振动。以下分析由（3-13）式所表示的稳态振动。
（3-13）式中，B为强迫振动振幅，ψ为相位差，现求这两个待定常数。将式（3-13）代入式（3-12），有
将上式右侧改写成
比较方程左右侧中
及
的系数，可得
，
解上列联立方程式，得
，
（b）
仍用记号
，
,λ=ω/p，并令B0=q/p2=F0/k，即常力F0作用下的静扰度。则（b）式可改写成下列形式
（3-15）
浙公网安备 33021202002483