概率与概率分布(一)

第六章  概率与概率分布（一） 第一节  概率论 随机现象与随机事件·事件之间的关系（事件和、事件积、事件的包含与相等、互斥事件、对立事件、互相独立事件）·先验概率与古典法·经验概率与频率法 第二节  概率的数学性质 概率的数学性质（非负性、加法规则、乘法规则）·排列与样本点的计数·运用概率方法进行统计推断的前提 第三节  概率分布、期望值与变异数 概率分布的定义·离散型随机变量及其概率分布·连续型随机变量及其概率分布·分布函数·数学期望与变异数 一、填空 1．用古典法求算概率．在应用上有两个缺点：①它只适用于有限样本点的情况；②它假设（  机会均等  ）。 2．分布函数 和 或 的关系，就像向上累计频数和频率的关系一样。所不同的是， 累计的是（  概率  ）。 3．如果A和B（ 互斥  ），总合有P(A/B)＝P〔B/A〕＝0。 4．（  大数定律  ）和（ 中心极限定理  ）为抽样推断提供了主要理论依据。 5．抽样推断中，判断一个样本估计量是否优良的标准是（  无偏性  ）、（  一致性  ）、（  有效性  ）。 6．抽样设计的主要标准有（  最小抽样误差原则  ）和（  最少经济费用原则  ）。 7．在抽样中，遵守（  随机原则  ）是计算抽样误差的先决条件。 8．抽样平均误差和总体标志变动的大小成（  正比  ），与样本容量的平方根成（  反比  ）。如果其他条件不变，抽样平均误差要减小到原来的1/4，则样本容量应（  增大到16倍  ）。 9．若事件A和事件B不能同时发生，则称A和B是（  互斥  ）事件。 10．在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃或爱司的概率是（  1/4  ）；在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃且爱司的概率是（  1/52  ）。          二、单项选择 1．古典概率的特点应为（A） A、基本事件是有限个，并且是等可能的； B、基本事件是无限个，并且是等可能的； C、基本事件是有限个，但可以是具有不同的可能性； D、基本事件是无限的，但可以是具有不同的可能性。 2．随机试验所有可能出现的结果，称为（D） A、基本事件； B、样本； C、全部事件； D、样本空间。 3、以等可能性为基础的概率是（A） A、古典概率； B、经验概率； C、试验概率； D、主观概率。 4、任一随机事件出现的概率为（D） A、在–1与1之间； B、小于0； C、不小于1； D、在0与1之间。 5、若P（A）＝0.2，Ｐ（B）＝0.6，P（A/B）＝0.4，则 ＝（D） A、0.8    B、0.08    C、0.12    D、0.24。 6、若A与B是任意的两个事件，且P（AB）＝P（A）·P（B），则可称事件A与B（C） A、等价    B、互不相容    C、相互独立    D、相互对立。 7、若两个相互独立的随机变量X和Y的标准差分别为6与8，则（X＋Y）的标准差为（B） A、7    B、10    C、14    D、无法计算。 8、抽样调查中，无法消除的误差是（C） A 登记性误差    B 系统性误差    C 随机误差    D 责任心误差 9． 对于变异数D(X)，下面数学 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达错误的是（          ）。 A．D(X)＝E(X2)―μ2          B．D(X)＝E[(X―μ)2] C．D(X)＝E(X2)―[E (X) ] 2      D．D(X)＝σ    10．如果在事件A和事件B存在包含关系A B的同时，又存在两事件的反向包含关系A B，则称事件A与事件B（      ） A．相等    B．互斥    C．对立    D．互相独立 三、多项选择 1．数学期望的基本性质有(  ACD        ) A．E(c)＝c                  B．E(cX)＝c2E(X) C．E (X Y)＝E(X) E(Y)    D．E(XY)＝E(X)·E(Y) 2、概率密度曲线（AD） A、位于X轴的上方    B、位于X轴的下方 C、与X轴之间的面积为0    D、与X轴之间的面积为1 E、与X轴之间的面积不定。 3、重复抽样的特点是（ACE） A 每次抽选时，总体单位数始终不变； B 每次抽选时，总体单位数逐渐减少； C 各单位被抽中的机会在每次抽选中相等； D 各单位被抽中的机会在每次抽选中不等； E 各次抽选相互独立。 4、对于抽样误差，下面正确的说法是（ABE） A抽样误差是随机变量； B 抽样平均误差是一系列抽样指标的标准差； C 抽样误差是估计值与总体参数之间的最大绝对误差； D 抽样误差是违反随机原则而产生的偏差； E 抽样平均误差其值越小，表明估计的精度越高。 5．关于频率和概率，下面正确的说法是（        ）。 A．频率的大小在0与1之间； B．概率的大小在0与1之间； C．就某一随机事件来讲，其发生的频率是唯一的； D．就某一随机事件来讲，其发生的概率是唯一的； E．频率分布有对应的频数分布，概率分布则没有。 6．随机试验必须符合以下几个条件（      ）。 A．它可以在相同条件下重复进行； B．每次试验只出现这些可能结果中的一个； C．预先要能断定出现哪个结果； D．试验的所有结果事先已知； E．预先要能知道哪个结果出现的概率。 四、名词解释 1、 数学期望： 是反映随机变量X取值的集中趋势的理论均值（算术平均）。 2、 对立事件： 若事件A和事件B是互斥事件，且在一次试验（或观察中）必有其一发生，则称A和B是对立事件，或称逆事件。。 3、 随机事件： 人们把随机现象的结果以及这些结果的集合体称作随机事件，也称事件。 4、 事件和： 事件A和事件B至少有一个发生所构成的事件C，称为A和B的事件和。 5、 事件积： 事件A和事件B同时发生所构成的事件C，称为A和B的事件积。 6、 互斥事件： 若事件A和事件B不能同时发生，则称A和B是互斥事件，或称互不相容事件。 7、 互相独立事件： 若A事件发生的概率等于在B事件发生后A事件发生的概率，或者B事件发生的概率等于在A事件发生后B事件发生的概率，则称A和B是互相独立事件。 8、 先验概率： 古典法以想象总体为对象，利用模型本身所具有的对称性，来事先求得概率，古典法求出的概率被称为先验概率。 9、 经验概率： 将试验次数n充分大时的频率作为概率的近似值，这就是所谓的经验概率。 五、判断 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 1．对于连续型随机变量，讨论某一点取值的概率是没有意义的。        （  √  ） 2．把随机现象的全部结果及其概率，或者把随机现象的或几个结果及其概率列举出来，就可以称作概率分布。                                                  （  ×  ） 3．社会现象是人类有意识参与的后果，这一点只是改变概率的应用条件，并不改变社会现象的随机性质。                                                    （  √  ） 4．在社会现象中，即使相同的意识作用也完全可能有不确定的结果，这就提供了概率论应用的可能性。                                                      （  √  ） 5．抽样的随机原则就是指客观现象的随机性。                          （  ×  ） 6．样本均值是总体均值的一个无偏估计量。                            （  √  ） 7．样本方差是总体方差的一个无偏估计量。                            （ ×  ） 8．样本容量的大小与抽样推断的可信程度成正比。                      （  √  ） 9．重复抽样的误差一定大于不重复抽样的抽样误差。                    （  √  ） 10．抽样误差的产生是由于破坏了抽样的随机原则而造成的。              （ ×  ） 11．当样本容量n无限增大时，样本均值与总体均值的绝对离差小于任意正数的概率趋于零。                                                                （  ×  ） 12．所谓抽样分布，就是把具体概率数值赋予样本每个或每组结果的概率分布。 （  √  ） 六、计算题 1．某系共有学生100名，其中来自广东省的有25名；来自广西省的有10名。问任意抽取一名学生，来自两广的概率是多少？                                    【0.35】 2．为了研究父代文化程度对子代文化程度的影响，某大学统计出学生中，父亲具有大学文化程度的占30％，母亲具有大学文化程度的占20％，而父母双方都具有大学文化程度的占10％。问学生中任抽一名，其父母有一人具有大学文化程度的概率是多少？ 【0.40】 3．根据统计结果，男婴出生的概率为 ；女婴出生的概率为 。某单位有两名孕妇，问两名孕妇都生男婴的概率是多少？                                      【0.2601】 4． 根据统计，由出生活到60岁的概率为0.8，活到70岁的概率为0.4。问现年60岁 的人活到70岁的概率是多少？                                              【0.5】 5．根据统计结果，男婴出生的概率为 ；女婴出生的概率为 。某单位有两名孕妇，求这两名孕妇生女婴数的概率分布。                      【0.2601，0.4998，0.2401】 6． 一家人寿保险公司在投保50万元的保单中，每千名每年由15个理赔，若每一保单 每年的运营成本与利润的期望值为200年，试求每一保单的保费。          【7700元】 7． 某单位对全单位订报纸情况进行了统计，其中订《人民日报》的有45％，订《扬子晚报》的有60％，两种报纸都订的有30％。试求以下概率： 1）只订《人民日报》的； 2）至少订以上一种报纸的； 3）只订以上一种报纸的； 4）以上两种报纸都不订的。                  【0.15，0.95，0.65，0.05】 8．根据某市职业代际流动的统计，服务性行业的工人代际向下流动的概率为0.07，静止不流动的概率为0.85，求服务性行业的代际向上流动的概率是多少？          【0.08】 9． 消费者协会在某地对国外旅游动机进行了调查，发现旅游者出于游览名胜的概率为 0.219；出于异族文化的吸引占0.509；而两种动机兼而有之的占0.102。问旅游动机为游览名胜或为异族文化吸引的概率是多少？                                    【0.626】 10．根据生命表，年龄为60岁的人，可望活到下年的概率为P＝0.95；设某单位年龄为60岁的人共有10人，问：（1）其中有9人活到下年的概率为多少？（2）至少有9人活到下年的概率是多少？                                            【0.315】【0.914】  11．假定从50个社区的总体中随机抽取一些社区（这些社区的规模和犯罪率之间关系的数据如下表），（1）用不回置抽样得到了一个4个社区的样本，试问其中恰好有一个大社区，一个中社区以及两个小社区的概率是多少？（2）在一个用回置法得到的3个社区的样本中，得到至少一个高犯罪率社区和两个小社区的概率是多少？        【0.178】【0.046】 属性 大 中 小 高犯罪率 2 8 5 低犯罪率 16 4 15         12、已知随机变量x的概率分布如下： X 0 1 2 3 4 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1             试求：1） 【2】；2） 【5.2】；3）令Y＝ ，求 【2.2】；4） 【1.10】；5） 【4.62】。 13、A、B、C为三事件，指出以下事件哪些是对立事件： 1）A、B、C都发生； 2）A、B、C都不发生； 3）A、B、C至少有一个发生； 4）A、B、C最多有一个发生； 5）A、B、C至少有两个发生； 6）A、B、C最多有两个发生 【2、3为对立事件      4、5为对立事件    1、6为对立事件】 14、从户籍卡中任抽1名，设： A＝“抽到的是妇女” B＝“抽到的受过高等教育” C＝“未婚” 求：（1）用符号表达“抽到的是受过高等教育的已婚男子”；【 】 （2）用文字表达ABC；【抽到是受过高等教育的未婚妇女】 （3）什么条件下ABC＝A。【总体中的妇女都是受过高等教育和未婚的】 12．已知随机变量x的概率分布如下： X 0 1 2 3 4 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1             试求：1） ；2） ；3）令Y＝ ，求 ；4） ；5） 。 【2】【5.2】【2.2】【1.10】【4.62】 13．A、B、C为三事件，指出以下事件哪些是对立事件： 1）A、B、C都发生； 2）A、B、C都不发生； 3）A、B、C至少有一个发生； 4）A、B、C最多有一个发生； 5）A、B、C至少有两个发生； 6）A、B、C最多有两个发生 【2和3是对立事件】【4和5是对立事件】【1和6是对立事件】 14．从户籍卡中任抽1名，设： A＝“抽到的是妇女” B＝“抽到的受过高等教育” C＝“未婚” （1）用符号表达“抽到的是受过高等教育的已婚男子”；            【 】 （2）用文字表达ABC；                  【抽到是受过高等教育的未婚女子】 （3）什么条件下ABC＝A。      【总体中妇女都是受过高等教育的未婚女子】 15．1－1000号国库券已到期，须抽签还本付息，求以下事件的概率： （1）抽中701号；                                              【0.001】 （2）抽中532号；                                              【0.001】 （3）抽中小于225号；                                          【0.224】 （4）抽中大于600号；                                            【0.4】 （5）抽中1020号；                                                【0】 （6）抽中大于或者等于700号；                                  【0.301】 （7）抽中小于125号或者大于725号；                            【0.399】 （8）抽中小于50号或者大于700号。                            【0.349】 16．一个口袋中装有10只球，分别编上号码1，……10，随机地从这个口袋去3只球，试求：（1）最小号码是5的概率；（2）最大号码是5的概率。          【0.083，0.05】 17．共有5000个同龄人参加人寿保险，设死亡率为0.1％。参加保险的人在年初应交纳保险费10元，死亡时家属可领2000元。求保险公司一年内从这些保险的人中，获利不少于30000元的概率。                                                      【98.75%】 18．在一批10个产品中有4个次品。如果一个接一个地随机抽取两个，下面的每个随机事件的概率是多少？ （1）抽中一个是次品，一个是合格品；                                    【0.53】 （2）抽取的两个都是次品；                                              【0.13】 （3）至少有一个次品被选取；                                            【0.67】 （4）抽取两个合格品。                                                  【0.33】 七、问答题 1．什么是概率？ 2．何谓先验概率和经验概率，举例说明。  3．事件互不相容与相互独立这两个概念有何不同？ 4．频率分布和概率分布有何区别和联系？ 八、计算举例 例1 （1）掷一枚质地均匀的硬币一次，用 表示掷得正面的次数，则随机变量 的可能取值有哪些？ （2）一实验箱中装有标号为1，2，3，3，4的五只白鼠，从中任取一只，记取到的白鼠的标号为 ，则随机变量 的可能取值有哪些？ 解：说明：引入了随机变量后，随机事件就可以用随机变量来表示。 （1）抛掷硬币是随机试验，结果有两种可能，一种是正面向上，另一种是反面向上，所以变量 的取值可能是1（正面向上），也可能是0（反面向上），故随机变量 的取值构成集合{0，1}。 在此例中，随机事件“掷一枚硬币，正面向上”可以用随机变量表示为 ，随机事件“掷一枚硬币，反面向上”可以用随机变量表示为 。 （2）根据条件可知，随机变量 的可能值有4种，它的取值集合是{1，2，3，4}。 在此例中，也可用 ， ， ， 分别表示取到1号、2号、3号和4号白鼠这4个随机事件。另一方面，在此例中，可以用 这样的记号表示“取到1号、2号或3号白鼠”这件事情，也就是说，复杂的事件也可以用随机变量的取值来表示。 这样，我们就可以用随机事件发生的概率来表示随机变量取值的概率了。如在（1） 中 的概率可以表示为 ，其中 常简记为 。同理， 。这一结果可用下表来描述。 0 1       在（2）中随机变量 所表示的随机事件发生的概率也可用下表来描述。 1 2 3 4           上面的两个 表格 关于规范使用各类表格的通知入职表格免费下载关于主播时间做一个表格详细英语字母大小写表格下载简历表格模板下载 分别给出了随机变量 ， 表示的随机事件的概率，描述了随机变量的分布规律。 例2 从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用 表示“取到的白球个数”，即 求随机变量 的概率分布。 解： 由题意知 ， ，故随机变量 的概率分布列为 ， ，概率分布表如下。 0 1       说明：本题中，随机变量 只取两个可能值0和1。像这样的例子还有很多，如在射击中，只考虑“命中”与“不命中”；对产品进行检验时，只关心“合格”与“不合格”等。我们把这一类概率分布称为0-1分布或两点分布，并记为 ~0-1分布或 ~两点分布。此处“~”表示“服从”。 例3 某班有学生45人，其中 型血的有10人， 型血的有12人， 型血的有8人， 型血的有15人，现抽1人，其血型为随机变量 ，求 的概率分布。 解：设 、 、 、 四种血型分别编号为1，2，3，4，则 的可能取值为1，2， 3，4。 则 ， ， ， 。 故其概率分布为 1 2 3 4           例4 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果。 ①一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5．现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数为 ； ②盒中有6支白粉笔和8支红粉笔，从中任意取3支，其中所含白粉笔的支数 ； ③从4张已编号（1号～4号）的卡片中任意取出2张，被取出的卡片编号数之和 。 解：① 可取3，4，5． ＝3，表示取出的3个球的编号为1，2，3； ＝4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4； ＝5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3，5或2，4，5或3，4，5。 ② 可取0，1，2，3， ＝ 表示取出 支白粉笔， 支红粉笔，其中 0，1，2，3。 ③ 可取3，4，5，6，7。 ＝3表示取出分别标有1，2的两张卡片； ＝4表示取出分别标有1，3的两张卡片； ＝5表示取出分别标有1，4或2，3的两张卡片； ＝6表示取出分别标有2，4的两张卡片； ＝7表示取出分别标有3，4的两张卡片。 例5 袋内有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记 。求 的概率分布。 解：显然 服从两点分布， ，则 。所以 的概率分布是： 0 1       例6  同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数，求两颗骰子中出现的最大点数 的概率分布，并求 大于2小于5的概率 。 解： 依题意易知，掷两颗骰子出现的点数有36种等可能的情况：（1，1），（1，2），（1， 3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），…，（6，5），（6，6）。因而 的可能取值为1，2，3，4，5，6，详见下表。 的值 出现的点 情况数 1 （1，1） 1 2 （2，2），（2，1），（1，2） 3 3 （3，3），（3，2），（3，1），（2，3），（1，3） 5 4 （4，4），（4，3），（4，2），（4，1），（3，4），（2，4），（1，4） 7 5 （5，5），（5，4），（5，3），（5，2），（5，1），（4，5），（3，5）， （2，5），（1，5） 9 6 （6，6），（6，5），（6，4），（6，3），（6，2），（6，1），（5，6）， （4，6），（3，6），（2，6），（1，6） 11       由古典法可知 的概率分布如下表所示： 1 2 3 4 5 6               从而 。 例7 同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数，求两颗骰子中出现最小点数 的概率分布。 解：类似于上例，通过列表可知： ， ， ， ， ， 。 例8  从装有6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以 表示赢得的钱数，随机变量 可以取哪些值呢？求 的概率分布。 解析：从箱中取出两个球的情形有以下六种：{2白}，{1白1黄}，{1白1黑}，{2黄}，{1黑1黄}，{2黑}。 当取到2白时，结果输2元，随机变量 ＝－2； 当取到1白1黄时，输1元，随机变量 ＝－1； 当取到1白1黑时，随机变量 ＝1；当取到2黄时， ＝0； 当取到1黑1黄时， ＝2；当取到2黑时， ＝4。 则 的可能取值为－2，－1，0，1，2，4。 ； ； ； ；  ；  。 从而得到 的概率分布如下： －2 －1 0 1 2 4               例9 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为 ，现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用 表示取球终止时所需要的取球次数。（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量 的概率分布；（3）求甲取到白球的概率． 解：（1）设袋中原有 个白球，由题意知： ，所以 ，解得 （舍去 ），即袋中原有3个白球。 （2）由题意， 的可能取值为1，2，3，4，5。 ； ； ； ， 。 所以，取球次数 的分布列为： 1 2 3 4 5             （3）因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球，记“甲取到白球”的事件为 ，则 （ ，或 ，或 ）．因为事件 、 、 两两互斥， 所以 。 例10 某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题.竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响。 （1）求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望； （2）求这名同学总得分不为负分（即≥0）的概率。 解：本小题主要考查离散型随机变量的概率分布、数学期望等概念，以及运用概率统计知识解决实际问题的能力。 （1）离散型随机变量 的可能值为－300，－100，100，300。 P（ =－300）= （0.2）3 = 0.008,     P（ =－100）= 3×（0.2）2×0.8 = 0.096, P（ =100）= 3×0.2×（0.8）2 = 0.384,   P（ =300）= 0.83 = 0.512, 所以 的概率分布为 －300 －100 100 300 0.008 0.096 0.384 0.512           可得的数学期望 E（ ）=（－300）×0.08+（－100）×0.096 + 100×0.384 + 300×0.512 = 180 （2）这名同学总得分不为负分的概率为P（≥0）= 0.384 + 0.512 = 0.896 例11 从一副洗得很好的扑克牌中做了3次抽取，假定使用回置法，求至少得到1张A和1张K的概率是多少?  解：  按照题意，要在不同样本空间中考虑三种复合事件：抽到1张A和1张K，另l张非A非K，用符号(AKO)表示(其中“O”表示其他)；抽到1张A和2张K，用符号(AKK)表示；抽到2张A和1张K，用符号（AAK)表示。因为在不同样本空间中基本事件实现的概率不同，必须对它们加以区别。 次序为AKO的样本点实现的概率是 · · 次序为AKK的样本点实现的概率是 · 次序为AAK的样本点实现的概率是 · 再考虑每个复合事件各含有多少种可能的排列方式 (AKK)含有3!／2!＝3种排列方式 (AAK)含有3!／2!＝3种排列方式 （AKO)含有3!＝6种排列方式 所以，在一副扑克的三次抽取中，至少得到1张A和1张K的概率是 6· · + 3· + 3· ＝0.033 例12 假如对1000个大学生进行歌曲欣赏调查，发现其中有500个学生喜欢民族歌曲，400个学生喜欢流行歌曲，而这些学生中有100人属于既喜欢民族歌曲又喜欢流行歌曲的，剩下来的学生两歌曲都不喜欢。如果我们随机地从该总体中抽取一个学生，并设事件A为该学生喜欢民族歌曲，事件B为该学生喜欢流行歌曲，试解决下列问题：6 ①用数字证明P(A且B)＝P(A)P(B／A)＝P(B)P(A／B)。 ②得到一个喜欢两种风格歌曲之一的学生的概率是多少? ③随机地选取一个由3个学生组成的样本，要求这三个学生全都有相同的欣赏方式，得到这种样本的概率是多少? ④做一个一枚硬币独立 解：  因为1000名大学生中有500名喜欢民族歌曲，有400名喜欢流行歌曲，所以P(A)＝ ＝ ，P(B)＝ ＝ ；因为500名喜欢民族歌曲的学生之中，有100名还同时喜欢流行歌曲。所以， P(B／A)＝ ＝ ，同理，P(A／B)＝ ＝ 。 ①    P(A) P(B／A) ＝ · ＝ P(B) P(A／B)＝ · ＝ 又因为在1000名学生中只有100名学生两种风格的音乐都喜欢 P(A且B)＝ ＝ 所以      P (A且B)＝P(A) P(B／A) ＝ P(B) P(A／B) ②又设事件 表示该学生不喜欢民族歌曲，事件 表示该学生不喜欢流行歌曲，按题意，一个学生可能有4种欣赏方式： 仅喜欢民族歌曲，即 ，共400名， )＝ ＝ ； 仅喜欢流行歌曲，即 ，共300名， ＝ ＝ ； 两种歌曲都喜欢，即 ，共100名， ＝ ＝ ； 两种歌曲都不喜欢，即 ，，共200名， ＝ ＝ 。 下表列出抽到3名学生都有相同欣赏方式的4种可能 可能方式 概率 3人都仅喜欢民族歌曲 3人都仅喜欢流行歌曲 3人两种歌曲都喜欢 3人两种歌曲都不喜欢 ＝ ＝ ＝ ＝       把上面这些互斥事件的概率加起来，我们便得到抽到3人都有相同欣赏方式的概率 (64+27+1+8)＝ ＝0．1