初中数学难题精选

初中数学难 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 精选 经典难题，一， 1、已知:如图,‎‎O是半圆的圆心,‎‎C、E是圆上的两点,CD‎‎?AB,EF?AB,EG‎‎?CO, 求证:CD,GF‎‎,，初二， C E G A B D O F ‎‎ ‎‎02、已知:如图,P是正方形‎‎ABCD内点,?PAD‎‎,?PDA,15, A D 求证:?PBC是正三角形,，初二，‎‎ P ‎‎ C B 3、如图,已知四边形‎‎ABCD、A‎‎BCD都是正方形,‎‎A、B、C、D‎‎分别是AA、BB、CC‎‎、11112222111 A D D2 A2 A1 第 1 页 共 21 页 D1 B1 C1 DD的中点, 1 求证:四边形‎‎ABCD是正方形,，初二， 2222‎‎ ‎‎ 4、已知:如图,在四边形‎‎ABCD中,‎‎AD,BC,M、N分别是‎‎AB、CD的中点,AD‎‎、BC F 的延长线交MN于E‎‎、F, E 求证:?DEN,?‎‎F, N C D A B M ‎‎经典难题，二， 1、已知:?‎‎ABC中,H为垂心，各边高线的交点，,‎‎O为外心,且‎‎OM?BC于M, ‎‎ 第 2 页 共 21 页 A ，1，求证:AH,2OM‎‎; 0 ，2，若?BAC‎‎,60,求证:AH,AO‎‎,，初二， O ? H E B C M D ‎‎ 2、设MN是圆O外一直线,过‎‎O作OA?MN于‎‎A,自A引圆的两条直线,交圆于‎‎B、CG E 及D、E,直线‎‎EB及CD分别交MN于‎‎P、Q, O ? C 求证:AP,AQ‎‎,，初二， B D M N P A Q ‎‎ 3、如果上题把直‎‎线MN由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题:‎‎ 设MN‎‎是圆O的弦,过MN的中点‎‎A任作两弦BC、DE,设‎‎CD、EB分别交MN于‎‎E C A P、Q, Q M ? N P ? O B 第 3 页 共 21 页 D AQ‎‎,，初二， 求证:AP, ‎‎ 4、如图,分别以?ABC‎‎的AC和BC为一边,在?‎‎ABC的外侧作正方形‎‎ACDE和正方形CBFG‎‎, D 点P是EF的中点, G C 求证:点‎‎P到边AB的距离等于‎‎AB的一半,，初二， ‎‎E P F A B Q 经典难题，‎‎三， 1、如图,四边形ABCD‎‎为正方形,DE?AC‎‎,AE,AC,AE与CD‎‎相交于F, 求证:CE‎‎,CF,，初二， D A F E 第 4 页 共 21 页 B C ‎‎ 2、如图,四边形‎‎ABCD为正方形,DE‎‎?AC,且CE,CA,直线‎‎EC交DA延长线于F,‎‎ A D 求证:AE,AF,，初二，‎‎ F B C E ‎‎ 3、设P是正方形ABCD‎‎一边BC上的任一点,PF‎‎?AP,CF平分?DCE‎‎, A D 求证:PA,PF,，初二，‎‎ F B P C E 第 5 页 共 21 页 ‎‎ 4、如图,PC切圆O于C‎‎,AC为圆的直径,PEF‎‎为圆的割线,AE、AF与直线‎‎PO相交于B、 A D,求证:‎‎AB,DC,BC,AD‎‎,，初三， O D B P E F C ‎‎ 经典难题，四， ‎‎ 1、已知:?ABC是正三角形,‎‎P是三角形内一点,‎‎PA,3,PB,4,PC‎‎,5, A 求:?APB的度数,，初二，‎‎ P B C ‎‎ 第 6 页 共 21 页 2、设P是平行四边形‎‎ABCD内部的一点,且?‎‎PBA,?PDA, 求证:?‎‎PAB,?PCB,，初二，‎‎ A D P B C ‎‎ A 3、设ABCD为圆内接凸四边形,求证:‎‎AB?CD‎‎，AD?BC,AC?BD‎‎,，初三， D B C ‎‎ 4、平行四边形ABCD‎‎中,设E、F分别是‎‎BC、AB上的一点,AE‎‎与CF相交于P,且 第 7 页 共 21 页 AE‎‎,CF,求证:?DPA,?‎‎DPC,，初二， A D F ‎‎ P B C E 经典难题，‎‎五， 1、设P是边长为1‎‎的正?ABC内任一点,L‎‎,PA，PB，PC,求证?L,‎‎2,: A P C B ‎‎ 2、已知:P是边长为1‎‎的正方形ABCD内的一点‎‎,求PA，PB，PC的最 ‎‎小值, DA P 第 8 页 共 21 页 C B ‎‎ 3、P为正方形ABCD‎‎内的一点,并且PA,a,‎‎PB,2a,PC,3a,求正方形的边长,‎‎ DA P C B ‎‎ 004、如图,?ABC中,?‎‎ABC,?ACB,80‎‎,D、E分别是AB、AC‎‎上的点,?DCA,30‎‎, A 0?EBA,20,求?‎‎BED的度数, E D CB ‎‎ 经典难题，一， 1.如下图做‎‎GH?AB,连接EO‎‎。由于GOFE四点共圆,所以?‎‎GFH,?OEG, ‎‎ EOGOCO即?GHF??OGE,‎‎可得==,又CO=EO‎‎,所以CD=GF得证。‎‎ GFGHCD 第 9 页 共 21 页 2. 如下图做?‎‎DGC使与?ADP全等,可得?‎‎PDG为等边?,从而可得‎‎ 0 ?DGC??‎‎APD??CGP,得出PC=AD=DC,‎‎和?DCG=‎‎?PCG,15 0 所以?‎‎DCP=30,从而得出?‎‎PBC是正三角形‎‎ 3.如下图连接B‎‎和CAB分别找其中点‎‎F,E.连接F与CAE并延长相交于Q点, 1122‎‎连‎‎接并延长交EBCQ于‎‎H点,连接并延长交FB‎‎QA于G点, 2222 ‎‎11110由AE‎‎A=B=BC= FB,EB=AB=‎‎BC=FC,‎‎?GFQ+又?Q=90和 211112 21 ‎‎2222 0?GEB+?Q=90‎‎,所以?GEB=?GFQ‎‎又?BFC=?A‎‎EB , 222222可得?B‎‎FC??AEB ‎‎,所以BA=BC , 22222222‎‎ 0又?GFQ+?HB‎‎F=90和?GFQ=‎‎?EBA , 222 0 从而‎‎可得?BA C=90‎‎, 222 第 10 页 共 21 页 同理可得其他边‎‎垂直且相等, 从而得出四‎‎边形BACD是正方形。‎‎ 2222 4.如下图‎‎连接AC并取其中点Q,连‎‎接QN和QM,所以可得?QMF=‎‎?F,?QNM=‎‎?DEN和?QMN=?QNM‎‎,从而得出?DEN,?‎‎F。 经典难题，‎‎二， 1.(1)延长AD‎‎到F连BF,做?OGAF, ‎‎ 第 11 页 共 21 页 又?F=?ACB=?BHD‎‎, 可得BH=BF,‎‎从而可得HD=DF, 又‎‎AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(‎‎GH+HD)=2OM‎‎ 0(‎‎2)连接OB,OC,既得?BOC=120‎‎, 0 ‎‎ 从而可得?BOM=60‎‎, 所以可‎‎得OB=2OM=AH=A‎‎O, 得证。 3.‎‎作?OFCD,OG?BE,连接‎‎OP,OA,OF,AF‎‎,OG,AG,OQ。 ‎‎ ADACCDFDFD2==== 由于, ABAEBEBGBG2 由此可得?‎‎ADF??ABG,从而可得?‎‎AFC=?AGE‎‎。 又因为PFOA与‎‎QGOA四点共圆,可得?‎‎AFC=?AOP和?AGE=‎‎?AOQ, ?AOP=‎‎?AOQ,从而可得‎‎AP=AQ。 第 12 页 共 21 页 EGFH+4.‎‎过E,C,F点分别作AB‎‎所在直线的高EG,CI,‎‎FH。可得PQ=。 2 ‎‎由?EGA??AIC,可得‎‎EG=AI,由?BFH‎‎??CBI,可得FH=BI‎‎。 AIBI+AB 从而可得PQ‎‎ == ,从而得证。 ‎‎22 经典难题，三， ‎‎1.顺时针旋转?ADE,到?‎‎ABG,连接CG. 000‎‎ 由于?ABG=?ADE=90‎‎+45=13‎‎ 5 第 13 页 共 21 页 从而可得B,G‎‎,D在一条直线上,可得?AGB‎‎??CGB。 推出‎‎AE=AG=AC=GC‎‎,可得?AGC为等边三角形。‎‎ 000 ?AGB=30‎‎,既得?EAC=30‎‎,从而可得?A EC=75‎‎。 000 又?EFC=‎‎?DFA=45+30‎‎=75. 可证:‎‎CE=CF 。 2.连‎‎接BD作?CHDE,可得四边形‎‎CGDH是正方形。‎‎ 由AC=CE=2GC=2CH‎‎, 00 可得?CEH=30‎‎,所以?CAE=‎‎?CEA=?AED=15‎‎, 0000又?FAE=90‎‎+45+15=1‎‎,50 0从而可知道?F=15‎‎,从而得出AE=‎‎AF 。 第 14 页 共 21 页 3.作FG?‎‎CD,?FEBE,可以得出‎‎GFEC为正方形。 ‎‎令AB=Y ,BP=X ,CE=Z ,‎‎可得PC=Y-X ‎‎。 ZX2 tan?‎‎BAP=tan?EPF=‎‎=,可得YZ=XY-X‎‎+XZ, YYXZ-+ 即Z(Y-X)=X(Y-X)‎‎ ‎‎,既得X=Z ,得出?ABP‎‎??PEF , ‎‎得到PA,PF ,得证 ‎‎。 经典难题，四，‎‎ 01. 顺时针旋转?ABP 60‎‎ ,连接PQ ,‎‎则?PBQ是正三角形。 ‎‎可得?PQC是直角三角形。‎‎ 0所以?APB=150‎‎ 。 第 15 页 共 21 页 2.作过P点‎‎平行于AD的直线,并选一‎‎点E,使AE?DC,BE‎‎?PC. 可以得出?ABP=‎‎?ADP=?AEP,可得:‎‎ AEBP共圆，一边所对两角相等，。‎‎ 可得?‎‎BAP=?BEP=?BCP‎‎,得证。 3.‎‎在BD取一点E,使?BCE=‎‎?ACD,既得?BEC‎‎??ADC,可得: BEAD ‎‎=,即AD•BC=BE‎‎•AC, ‎‎? BCAC 又?ACB=‎‎?DCE,可得?ABC‎‎??DEC,既得 ABDE‎‎ =,即AB•CD=DE‎‎•AC, ‎‎? ACDC 由?+‎‎?可得: AB•CD+AD‎‎•BC=AC(BE+DE)= AC‎‎?BD ,得证。‎‎ 第 16 页 共 21 页 S ABCD4.过D作A‎‎?AE Q,AG?CF ,由‎‎==,可得: SS ADE DFC2 AEPQ AEPQ ‎‎=,由AE=FC。‎‎ 22 可得DQ=DG,可得?‎‎DPA,?DPC，角平分线逆定理，。‎‎ ‎‎ 经典难题，五， 01.，‎‎1，顺时针旋转?BPC 60‎‎ ,可得?PBE为等边三角形。‎‎ 既得PA+PB+PC=AP++PE‎‎+EF‎‎要使最小只要AP,PE‎‎,EF在一条直线上, ‎‎ 即如下图:可得最小L=‎‎ ; 第 17 页 共 21 页 ，2，过P‎‎点作BC的平行线交AB,‎‎AC与点D,F。 ‎‎ ?由于APD>?ATP=‎‎?ADP, 推出AD>AP ‎‎ ‎‎? 又BP+DP>BP ‎‎ ‎‎? 和PF+FC>PC ‎‎ ‎‎? 又DF=AF ‎‎ ‎‎? ‎‎由????可得:最大L< 2 ‎‎; 由，1，和，‎‎2，既得:?L,2 ‎‎。 02.‎‎顺时针旋转?BPC 60‎‎ ,可得?PBE为等边三角形。‎‎ 既得PA+PB+PC=AP+PE+EF‎‎要使最小只要‎‎AP,PE,EF‎‎在一条直线上, 第 18 页 共 21 页 即如下图:可得最小‎‎PA+PB+PC=AF‎‎。 13423+2既得‎‎AF= = = ‎‎++(1)23+242 2(31)+2 = = ‎‎ (31)+22 62+ = ‎‎ 。 2 第 19 页 共 21 页 0‎‎3.顺时针旋转?ABP 90‎‎ ,可得如下图:‎‎ 2222 既得正方形‎‎边长L = = 。‎‎ (2)()++ a522+ a22 04.在AB上‎‎找一点F?,使BCF=60‎‎ , 连接EF,‎‎DG,既得?BGC为等边三角形,‎‎ 00 可得?DCF=10‎‎ , ?FCE=20‎‎ ,推出?ABE??‎‎ACF , 得到BE=CF ‎‎, FG=GE ‎‎。 0 推出 : ?FGE‎‎为等边三角形 ,可得?‎‎AFE=80 , 0‎‎ ‎‎ ‎‎ G=40‎‎既得:? DF‎‎ ? 00 ‎‎又BD=BC=BG ,既‎‎得?BGD=80 ,既‎‎得?DGF=40 ‎‎ ‎‎? 推得:DF=DG‎‎ ,得到:?DFE??DGE ‎‎, 0 从而推得:?‎‎FED=?BED=30‎‎ 。 第 20 页 共 21 页 ‎‎ 第 21 页 共 21 页