7.4 基本不等式
一、选择
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
1．若x＞0，则x＋的最小值为( )．
A．2 B．3 C．2 D．4
解析 ∵x＞0，∴x＋≥4.
答案 D
2．设a，b满足2a＋3b＝6，a>0，b>0，则＋的最小值为( )
A. B.
C. D．4
解析 由a>0，b>0,2a＋3b＝6得＋＝1，
∴＋＝(＋)(＋)＝＋＋＋
≥＋2 ＝＋2＝.
当且仅当＝且2a＋3b＝6，即a＝b＝时等号成立．
即＋的最小值为.
答案 A
3．气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为元，使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)一共使用了( )
A．600天 B．800天
C．1 000天 D．1 200天
解析 设一共使用了n天，则使用n天的平均耗资为＝＋＋4.95，
当且仅当＝时，取得最小值，此时n＝800.本题的函数模型是一个在生活中较为常见的模型，注意如何建立这类问题的函数关系式，在有的问题中仪器还可以做废品再卖一点钱，这样要从总的耗资中把这部分除去．
答案 B
4．若正实数a，b满足a＋b＝1，则( )．
A.＋有最大值4 B．ab有最小值
C.＋有最大值 D．a2＋b2有最小值
解析 由基本不等式，得ab≤＝，所以ab≤，故B错；＋＝＝≥4，故A错；由基本不等式得≤ ＝ ，即＋≤ ，故C正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，故D错．
答案 C
5．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )．
A. B．4 C. D．5
解析 依题意得＋＝(a＋b)＝≥＝，当且仅当，即a＝，
b＝时取等号，即＋的最小值是，选C.
答案 C
6．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是( )．
A．0 B．1 C．2 D．4
解析 由题知a＋b＝x＋y，cd＝xy，x＞0，y＞0，则＝≥＝4，当且仅当x＝y时取等号．
答案 D
7. 已知
都是正实数， 函数
的图象过（0,1）点，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案 A
二、填空题
8. 已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为________．
解析 ∵12＝4x＋3y≥2，∴xy≤3.当且仅当即时xy取得最大值3.
答案 3
9．若a是1＋2b与1－2b的等比中项，则的最大值为________．
解析 a是1＋2b与1－2b的等比中项，则a2＝1－4b2?a2＋4b2＝1.
∵a2＋4b2＝(|a|＋2|b|)2－4|ab|＝1.∴＝，这个式子只有当ab>0时取得最大值，当ab>0时，
∴＝＝＝，
由于a2＋4b2＝1，故4ab≤1，即≥4，
故当＝4时，取最大值＝.
答案
10．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值为________．
解析 由x2＋y2＋xy＝1，得(x＋y)2－xy＝1，
即xy＝(x＋y)2－1≤，所以(x＋y)2≤1，
故－≤x＋y≤，
当x＝y时“＝”成立，所以x＋y的最大值为.
答案
11． x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为________．
解析 ＝1＋4＋4x2y2＋≥1＋4＋2＝9，当且仅当4x2y2＝时等号成立，即|xy|＝时等号成立．
答案 9
12．在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是________．
解析 假设直线与函数f(x)＝的图象在第一象限内的交点为P，在第三象限内的交点为Q，由题意知线段PQ的长为OP长的2倍．
假设P点的坐标为，则|PQ|＝2|OP|＝2≥4.当且仅当x＝，即x0＝时，取“＝”号．
答案 4
三、解答题
13．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，
求：(1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值．
解析 ∵x＞0，y＞0,2x＋8y－xy＝0，
(1)xy＝2x＋8y≥2，
∴≥8，∴xy≥64.
故xy的最小值为64.
(2)由2x＋8y＝xy，得：＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)
＝10＋＋≥10＋8＝18.
故x＋y的最小值为18.
14．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．
(1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；
(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
解析 (1)依题意得y＝(560＋48x)＋
＝560＋48x＋(x≥10，x∈N＋)；
(2)∵x＞0，∴48x＋≥2＝1 440(元)，
浙公网安备 33021202002483