第十六讲 圆锥曲线的定义、性质和方程(一)
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【考题回放】
1．已知AB为过抛物线y2=2px焦点F的弦, 则以AB为直径的圆与抛物线的准线(B)
A．相交 B．相切 C．相离 D．与p的取值有关
2．（江苏理）在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x-2y=0，则它的离心率为 （ A ）
A．
B．
C．
D．
3．点P(a,b)是双曲线x2-y2=1右支上一点，且P到渐近线距离为
，则a+b=(B )
A、-
B、
C、-2 D、2
4．（湖南）设F1 、F2分别是椭圆
（
）的左、右焦点，若在其右准线上存在P使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（ D ）
A．
B．
C．
D．
5．（湖北理）双曲线
的左准线为l，左焦点和右焦点分别为F1 、F2；抛物线C2的准线为l，焦点为F2；C1与C2的一个交点为M，则
等于 （ A ）
A．
B．
C．
D．
6．（全国一）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为
的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则△AKF的面积是( C)
A．4 B．
C．
D．8
7．（福建理）以双曲线
的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆方程是 （ A ）
A．x2+y2-10x+9=0 B．x2+y2-10x+16=0 C．x2+y2+10x+16=0 D．x2+y2+10x+9=0
8．（辽宁）设椭圆
上一点P到左准线的距离为10，F是该椭圆的左焦点，若点M满足
，则
2
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【热点透析】
一、圆锥曲线的定义
1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。
2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即{P| ||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。
3. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当01时为双曲线。
二、圆锥曲线的方程。
1.椭圆：
（a>b>0）或
（a>b>0）（其中，a2=b2+c2）
2.双曲线：
（a>0, b>0）或
（a>0, b>0）（其中，c2=a2+b2）
3.抛物线：y2=±2px（p>0），x2=±2py（p>0）
三、圆锥曲线的性质
知识要点：
1.椭圆：
（a>b>0）
（1）范围：|x|≤a，|y|≤b （2）顶点：(±a,0)，(0,±b) （3）焦点：(±c,0)
（4）离心率：e=
∈(0,1) （5）准线：
2.双曲线：
（a>0, b>0）
（1）范围：|x|≥a, y∈R （2）顶点：(±a,0) （3）焦点：(±c,0)
（4）离心率：
∈(1,+∞) （5）准线：
（6）渐近线：
3.抛物线：y2=2px(p>0)
（1）范围：x≥0, y∈R （2）顶点：（0,0） （3）焦点：（
,0）
（4）离心率：e=1 （5）准线：x=-
主要题型：
（1）定义及简单几何性质的灵活运用；
（2）求曲线方程（含指定圆锥曲线方程及轨迹方程）。
★★★突破重难点
【例1】若F1、F2为双曲线
的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线的左支上，点M在双曲线的右准线上，且满足：
，
则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．3
解：由
知四边形F1OMP是平行四边形，又
知OP平分∠F1OM，即F1OMP是菱形，设|OF1|=c，则|PF1|=c.
又|PF2|-|PF1|=2a， ∴|PF2|=2a+c，
由双曲线的第二定义知
,且e>1，∴e=2，故选C.
【例2】学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为
，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以
轴为对称轴、
为顶点的抛物线的实线部分，降落点为
. 观测点
同时跟踪航天器.
（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
（2）试问：当航天器在
轴上方时，观测点
测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
解：（1）设曲线方程为
， 由题意可知，
.
.
曲线方程为
.
（2）设变轨点为
，根据题意可知
得
，
或
（不合题意，舍去）.
.
得
或
（不合题意，舍去）.
点的坐标为
，
.
答：当观测点
测得
距离分别为
时，应向航天器发出指令.
【例3】如图1，已知A、B、C是长轴为4的椭圆上三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，且
，
。
（1）建立适当的坐标系，求椭圆方程；
（2）如果椭圆上两点P、Q使直线CP、CQ与x轴围
成底边在x轴上的等腰三角形，是否总存在实数
使
？请给出证明。
解：（1）以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如
图直角坐标系，则A（2，0），椭圆方程可设为
。
而O为椭圆中心，由对称性知|OC|=|OB|
又
，所以AC⊥BC
又
，所以|OC|＝|AC|，
所以△AOC为等腰直角三角形，所以点C坐标为（1，1）。将（1，1）代入椭圆方程得
，则椭圆方程为
。
（2）由直线CP、CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，设直线CP的斜率为k，则直线CQ的斜率为－k，直线CP的方程为y-1=k(x-1)，直线CQ的方程为y-1=-k(x-1)。由椭圆方程与直线CP的方程联立，消去y得
(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0①
因为C（1，1）在椭圆上，所以x＝1是方程①的一个根，于是
同理
这样，
， 又B（－1，－1），所以
，
即kAB=kPQ。所以PQ∥AB，存在实数使
。
【例4】如图，直线l1和l2相交于点M，l1 ⊥l2，点N∈l1．以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=
，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线C的方程．
解法一：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点．
依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛线段的一段，其中A、B分别为C的端点．设曲线段C的方程为
y2=2px (p＞0)，(xA≤x≤xB，y＞0)，其中xA，xB分别为A，B的横坐标，P=|MN|．
所以 M (－
，0)，N (
，0)．
由 |AM|=
，|AN|=3得
(xA＋
)2＋2PxA=17， ①
(xA－
)2＋2PxA=9． ②
由①、②两式联立解得xA=
，再将其代入①式并由p＞0解得
或
．
因为△AMN是锐角三角形，所以
＞xA，故舍去
．
∴ P=4，xA=1．
由点B在曲线段C上，得xB=|BN|－
=4．
综上得曲线段C的方程为y2=8x (1≤x≤4，y＞0)．
解法二：如图建立坐标系，分别以l1、l2为x、y轴，M为坐标原点．
作AE⊥l1，AD⊥l2，BF⊥l2，垂足分别为E、D、F．
设 A (xA，yA)、B (xB，yB)、N (xN，0)．
依题意有
xA=|ME|=|DA|=|AN|=3，
yA=|DM|=
=2
，由于△AMN为锐角三角形，故有
xN=|AE|+|EN|=4．
=|ME|+
=4
XB=|BF|=|BN|=6．
设点P (x，y)是曲线段C上任一点，则由题意知P属于集合
{(x，y)|(x－xN)2+y2=x2，xA≤x≤xB，y＞0}．
故曲线段C的方程
y2=8(x－2)(3≤x≤6，y＞0)．
第十七讲 圆锥曲线的定义、性质和方程(二)
【例5】已知椭圆
的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，向量
与
是共线向量。
（1）求椭圆的离心率e；
（2）设Q是椭圆上任意一点， F1、F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2的取值范围；
解：（1）∵
，∴
。
∵
是共线向量，∴
，∴b=c,故
。
（2）设
当且仅当
时，cosθ=0，∴θ
。
【例6】设P是双曲线
右支上任一点.
（1）过点P分别作两渐近线的垂线，垂足分别为E，F，求
的值；
（2）过点P的直线与两渐近线分别交于A、B两点，且
的面积.
解：（I）设
∵两渐近线方程为
由点到直线的距离公式得
（II）设两渐近线的夹角为
，
【例7】如图，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，点E分有向线段
所成的比为
，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．求双曲线的离心率．
解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴．
因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称．
依题意，记A(－c，0)，C(
，h)，B(c，0)，其中c为双曲线的半焦距，c=
|AB|，h是梯形的高．
由定比分点坐标公式，得点E的坐标为
，
．
设双曲线的方程为
，则离心率
．
由点C、E在双曲线上，得
①
②
②
由①式得
代入②式得
所以，离心率
【例8】已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点（A,B不是左右顶点），且以AB为直径的图过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
解：（I）由题意设椭圆的标准方程为
，
由已知得：
，
，
，
，
椭圆的标准方程为
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