2014高考数学一书在手满分无忧：两角和与差的正弦、余弦 和正切公式

2014 高考 地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词 数学一书在手满分无忧：两角和与差的正弦、余弦 和正切 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 . 2014高考数学一书在手满分无忧:两角和与差的正弦、余弦 和正切公式 1. sin75?cos30?,sin15?sin150?,__________( 2 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 : 2 解析:sin75?cos30?,sin15?sin150?,sin75?cos30?,cos75??sin30?, 2sin(75?,30?),sin45?,. 2 ππ23,,,,α,，β2.已知tan,，tan,，则tan(α，β),________( ,,,,6675,,,, 答案:1 ππ,,,,α,，βtan，tan,,,,66ππ,,,,解析:tan(α，β),tan[(α,)，(，β)],,66ππ,,,,α,，β1,tan?tan,,,,66,,,, 32，75,1. 321,×75 ππ5π3,,,,,，α，3.若sinα,，α?，则cos,__________( ,,,,2245,,,, 2答案:, 10 ππ34,,,，解析:由α?，sinα,，得cosα,，由两角和与差的余弦公式得,,2255,, 5π5π5π22,,α，cos,cosαcos,sinαsin,,(cosα,sinα),,. ,,444210,, 4.计算: 2cos10?,sin20?,________( cos20? 答案:3 2cos(30?,20?),sin20?解析:原式, cos20? 2(cos30?cos20?，sin30?sin20?),sin20?, cos20? 31,,2,sin20?cos20?，sin20?,,22,,,,3. cos20? 5.计算: sin7?，cos15??sin8?,________( cos7?,sin15??sin8? 答案:2,3 . . 解析:sin7?,sin(15?,8?),sin15?cos8?,cos15?sin8?，cos7?,cos(15?,8?),cos15?cos8?，sin15?sin8?，? 原式,tan15?,tan(45?,30?),1,tan30?,2,3. 1，tan30? 1. 两角差的余弦公式推导过程 2. 公式之间的关系及导出过程 3. 公式 cos(α,β),cos(α,β),cosαcosβ，sinαsinβ cos(α，β),cos(α，β),cosαcosβ,sinαsinβ sin(α,β),sin(α,β),sinαcosβ,cosαsinβ sin(α，β),sin(α，β),sinαcosβ，cosαsinβ tanα,tanβtan(α,β),tan(α,β), 1，tanαtanβ tanα，tanβtan(α，β),tan(α，β), 1,tanαtanβ ab224. asinα，bcosα,a，bsin(α，φ)，其中cosφ,，sinφ,，tan2222a，ba，b bφ,.φ的终边所在象限由a、b的符号来确a 定. 题型1 化简求值 例1 化简:tan(18?,x)tan(12?，x)，3[tan(18?,x)，tan(12?，x)],________( 答案:1 tan(18?,x)，tan(12?，x)解析:? tan[(18?,x)，(12?，x)],,tan30?1,tan(18?,x)tan(12?，x)3,， 3 . . 3? tan(18?,x)，tan(12?，x),[1,tan(18?,x)?tan(12?，x)]，于是原式,3 3tan(18?,x)tan(12?，x)，3×[1,tan(18?,x)?tan(12?，x)],1. 3 变式训练 求值:tan20?，tan40?，3tan20?tan40?. tan20?，tan40?解:? tan60?,tan(20?，40?),,3， 1,tan20?tan40?? tan20?，tan40?,3,3tan20?tan40?， ? tan20?，tan40?，3tan20?tan40?,3. 题型2 给值求角 510例2 若sinα,，sinβ,，且α、β为锐角，则α，β的值为__________( 510 π答案: 4 2225310510,,,,解析:(解法1)依题意有cosα,1,,，cosβ,1,,， ,,,,510510,,,, 253105102? cos(α，β),×,×,,0. 5105102 π? α、β都是锐角，? 0,α，β,π，? α，β,. 4 52102(解法2)? α、β都是锐角，且sinα,,，sinβ,,，? 0,α，β52102 22ππ25310510,,,,,，0,α，β,，? cosα,1,,，cosβ,1,,，,,,,42510510,,,, 531010252πsin(α，β),×，×,.? α，β,. 51010524备选变式(教师专享) 113π已知cosα,，cos(α,β),，且0,β,α,，求β. 7142 ππ13解:? 0,β,α,，? 0,α,β,.又cos(α,β),， 2214 332? sin(α,β),1,cos(α,β),， 14 11343? cosβ,cos[α,(α,β)],cosαcos(α,β)，sinαsin(α,β),×，7147 331ππ×,.又0,β,，? β,. 14223 题型3 给值求值 ππ333π5,,,α例3 已知0,β,,α,π，cos,，sin(，β),，求sin(α，β),,4445413,, 的值( . . π3π3ππ解:? ,α,，? ,,,α,,， 4444 ππ? ,,,α,0. 24 ππ34,,,,,α,α又cos,，? sin,,. ,,,,4455,,,, π3π3π? 0,β,，? ,，β,π. 444 3π3π512,,,,，β，β又sin,，? cos,,. ,,,,441313,,,, π3ππ，，，(α，β)? sin(α，β),,cos,,cos[(，β),(,α)],,,,244，，3πππ1243π353620,,,,,,,,,,，β,α,α,,coscos,sin(，β)?sin,,×,×,，,,,,,,,,,,44413545136565,,,,,,,,,, 56,. 65 备选变式(教师专享) π41,,0，已知α、β?，sinα,，tan(α,β),,，求cosβ的值( ,,253,, πππ,,0，解:? α、β?，? ,,α,β,. ,,222,, 1π又tan(α,β),,,0，? ,,α,β,0. 32 1102? ,1，tan(α,β),. 2cos(α,β)9 31010? cos(α,β),，sin(α,β),,. 1010 43又sinα,，? cosα,. 55 33104? cosβ,cos[α,(α,β)],cosαcos(α,β)，sinαsin(α,β),×，5105 1010,,×,. ,,,1010,, 31例4 已知α、β均为锐角，且sinα,，tan(α,β),,. 53 (1) 求sin(α,β)的值; (2) 求cosβ的值( πππ1,,0，解:(1) ? α、β?，? ,,α,β,.又tan(α,β),,,0，? ,,,2223,, π,α,β,0. 2 10? sin(α,β),,. 10 . . 310(2) 由(1)可得，cos(α,β),. 10 34? α为锐角，sinα,，? cosα,. 55 ? cosβ,cos[α,(α,β)] ,cosαcos(α,β)，sinαsin(α,β) 4310391010,,,×，×,. ,,,51055010,, 备选变式(教师专享) π11,,0，已知cos α,，cos(α，β),,，且α、β?，求cos(α,β)的值( ,,233,, π,,0，解:?α?，? 2α?(0，π)( ,,2,, 174222? cos α,，? cos 2α,2cosα,1,,，? sin 2α,1,cos2α,，而α、399 π,,0，β?，? α，β?(0，π)， ,,2,, 222? sin(α，β),1,cos(α，β),，? cos(α,β),cos[2α,(α，β)]3 71422223,,,,,,,cos 2αcos(α，β)，sin 2αsin(α，β),×，×,. ,,,,939327,,,, 1. 已知角φ的终边经过点P(1，,2)，函数f(x),sin(ωx，φ)(ω,0)图象的相邻两 ππ,,条对称轴之间的距离为，则f,__________( ,,123,, 10答案:, 10 525πTπ解析:由题意知cosφ,，sinφ,,.由相邻两条对称轴间距离为，得,，553232π2π2π即T,，? ,，ω,3. 3ω3 ππππ25,,,,，φ? f(x),sin(3x，φ)(f,sin,sincosφ，cossinφ,×，,,,,1244425,,,, 21025,,×,,. ,,,2105,, πππ5π，，,，2. 函数f(x),sin2x?sin,cos2x?cos在上的单调递增区间为,,2266，， _________( 5ππ，，,， 答案:,,1212，， π5ππππ解析:f(x),sin2xsin,cos2x?cos,sin2xsin，cos2xcos,cos(2x,)(当66666 . . π5ππ2kπ,π?2x,?2kπ(k?Z)，即kπ,?x?kπ，(k?Z)时，函数f(x)单调递增(取61212 ππ5ππ5ππ，，，，,，,，k,0得,?x?，? 函数f(x)在上的单调增区间为. ,,,,2212121212，，，， π43π,,α，3. 已知sin，sinα,,，,,α,0，则cosα,__________( ,,352,, 33,4答案: 10 π43,,α，解析:由sin，sinα,,，得 ,,35,, ππ43sinα?cos，cosα?sin，sinα,,， 335314? sinα，cosα,,， 225 π4π,,α，? sin,,.? ,,α,0， ,,652,, ππππ3,,α，? ,,α，,，? cos,. ,,63665,, ππ，,,，α，,? cosα,cos ,,,,66,,，， ππππ,,,,α，α，,coscos，sinsin ,,,,6666,,,, 433133,4,,,,×，×,. ,,552210,, π1,,θ，4.设θ为第二象限角，若tan,，则sinθ，cosθ,________( ,,42,, 10答案:, 5 π1，tanθ11,,θ，解析:由tan,,，得tanθ,,.因为θ为第二象限角，利用tan,,41,tanθ23,, sinθ1031022θ,，sinθ，cosθ,1可求得sinθ,，cosθ,,，所以sinθ，cosθ,cosθ1010 10,. 5 cosα,sinα1. 已知α、β均为锐角，且tanβ,，则tan(α，β),________( cosα，sinα答案:1 cosα,sinα解析:?tanβ,， cosα，sinα π1,tanα,,,α?tanβ,,tan. ,,41，tanα,, . . ππ又?α、β均为锐角，?β,,α，即α，β,， 44 π?tan(α，β),tan,1. 4 π7π4,,,,α,α，2. 已知cos，sinα,3，则sin的值为________( ,,,,665,,,, 4答案:, 5 π334,,α,解析:?cos，sinα,cosα，sinα,3， ,,6225,, 134?cosα，sinα,， 225 7ππ,,,,α，α，?sin,,sin ,,,,66,,,, 431,,,,,,. sinα，cosα,,522,, 3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分 225别与单位圆相交于A、B两点(已知A、B的横坐标分别为、.求: 105(1) tan(α，β)的值; (2) α，2β的值( 225解:(1) 由已知条件及三角函数的定义可知cosα,，cosβ,.因α为锐角，故105 17252sinα,0，从而sinα,1,cosα,，同理可得sinβ,.因此tanα,7，tanβ,. 1052 17，2tanα，tanβ所以tan(α，β),,,,3. 1,tanαtanβ11,7×2 1,3，2(2) tan(α，2β),tan[(α，β)，β],,,1. 11,(,3) ×2 ππ3π又0,α,，0,β,，故0,α，2β,. 222 3π从而由tan(α，2β),,1，得α，2β,. 4 73,,,,x，πx,π4. 已知函数f(x),sin，cos，x?R. ,,,,44,,,, . . (1) 求f(x)的最小正周期和最小值; 44π2(2) 已知cos(β,α),，cos(β，α),,，0,α,β?，求证:[f(β)],2,552 0. 7π7π3π3π(1) 解:f(x),sinxcos，cosxsin，cosxcos ，sinxsin,2sinx,24444 π,,x,cosx,2sin，所以T,2π，f(x),,2. min,,4,, 4(2) 证明:cos(β,α),cosαcosβ，sinαsinβ,，? 5 4cos(β，α),cosαcosβ,sinαsinβ,,.? 5 ?，?，得cosαcosβ,0， ππ于是由0,α,β?cosβ,0β,. 22 2故f(β),2[f(β)],2,0. 1. (1) 三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征( (2) 对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有: ? 化为特殊角的三角函数值; ? 化为正、负相消的项，消去求值; ? 化分子、分母出现公约数进行约分求值( 2. 三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示 (1) 已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和与差; (2) 已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”关系( 3. 通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则:? 已知正切函 π,,0，数值，选正切函数;? 已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数;若角的范围是，选,,2,, ππ,,,，正、余弦皆可;若角的范围是(0，π)，选余弦较好;若角的范围为，选正弦较好( ,,22,, .