2013年春-西南大学《线性代数》作业及答案

2013年春 西南大学《线性代数》作业及答案(共5次,已整理) 第一次作业 【单选题】9.下列n阶(n>2)行列式的值必为0的有： B:行列式非零元素的个数小于n个。 【单选题】1.有二阶行列式，其第一行元素是（1，3），第二行元素是（1，4），该行列式的值是: B:1 【单选题】2.有二阶行列式，其第一行元素是（2，3），第二行元素是（3，-1），则该行列式的值是：A:-11 【单选题】3.有三阶行列式，其第一行元素是（0，1，2），第二行元素是（-1，-1，0），第三行元素是（2，0，-5），则该行列式的值是：B:-1 【单选题】4.有三阶行列式，其第一行元素是（1，1，1），第二行元素是（3，1，4），第三行元素是（8，9，5），则该行列式的值是：C:5 【单选题】5. 行列式A的第一行元素是（k,3,4)，第二行元素是(-1,k,0)，第三行元素是(0,k,1)，如果行列式A的值等于0，则k的取值应是：C:k=3或k=1 【单选题】6. 6.排列3721456的逆序数是：C:8 【单选题】7. .行列式A的第一行元素是（-3，0，4），第二行元素是（2，a，1),第三行元素是（5，0，3），则其中元素a的代数余子式是：B:-29 【单选题】8.已知四阶行列式D中第三行元素为（-1，2，0，1），它们的余子式依次分别为5，3，-7，4，则D的值等于. C:-15 【论述题】行列式部分主观题 行列式部分的填空题 1．在5阶行列式 中，项a13a24a32a45a51前的符号应取  +  号。 2．排列45312的逆序数为  5    。 3．行列式 中元素x的代数余子式是 　8　  ． 4．行列式 中元素-2的代数余子式是  —11    。 5．行列式 中， 的代数余子式是  —5      。 6．计算 =    0    行列式部分计算题 1．计算三阶行列式 解：原式=2×（—4）×3+0×（—1）×（—1）+1×1×8—1×（—1）×（—4）—0×1×3—2×（—1）×8=—4 2．决定i和j，使排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列. 解：i=8，j=5。 3．(7分)已知 ，求 的值． 解：原式=3x2—x2—4x=2 x2—4x=2x(x—2)=0 解得：x1=0；x2=2 所以  x={x│x ≠0；x≠2    x∈R } 4．(8分)齐次线性方程组 有非零解，求 。 解： 由D=0  得 λ=1 5．用克莱姆法则求下列方程组： 解：因为 所以方程组有唯一解，再计算： 因此，根据克拉默法则，方程组的唯一解是： x=27，y=36，z=—45 第二次作业 【论述题】矩阵部分主观题 矩阵部分填空题 1．计算 =  2．已知矩阵A=（1，2，3），则 3．若4阶方阵A的行列式|A|=2，则|A3|=  8  。 4．设A为3阶矩阵，若已知 ． 5. 矩阵 的伴随矩阵是 6．设A是3阶方阵，且A2=0，则A3=    0    . 7．设A为2阶方阵，|A|=2，则 矩阵部分计算题 1．已知矩阵Ａ＝ ，求矩阵Ａ的秩． 解：对矩阵作以下初等变换： 可以看出：r（A）=2 2.设A= ,求 解： ，所以A可逆。 , , , 同法可得： , , , , , . = 3．设A= ，求A*和A－1 解： ,所以A可逆。 易得： ， ， ， ， ， ， ， ， 。 于是： ， 4．设A= ，求A-1。 解： ，所以A可逆。 易得： ， ， ， ， ， ， ， ， 。 于是： 5．设 为三阶矩阵，若已知|A|=2，求||A|A|． 解： 第三次作业 【单选题】11. 矩阵A适合下面哪个条件时，它的秩为r. B:A中线性无关的列向量最多有r个。 【单选题】10.矩阵A的第一行元素是（1，0，5），第二行元素是（0，2，0），则矩阵A乘以A的转置是： C:第一行元素是（26，0），第二行元素是（0，4）。 【判断题】9. 若矩阵A的行数不等于矩阵B的列数，则矩阵A乘以B没有意义。正确答案：错误 【多选题】8. 齐次线性方程组AX=0是线性方程组AX=b的导出组，则 C：u是AX=0的通解，X1是AX=b的特解时，X1+u是AX=b的通解。D：V1，V2是AX=b的解时，V1-V2是 AX=0的解。 【多选题】7. n阶矩阵可逆的充要条件是： A：r(A)=n B：A的列秩为n。 【多选题】6. 向量组a1,a2,...,as的秩不为零的充分必要条件是：A：a1,a2,…,as中至少有一个非零向量。D：a1,a2,…,as中有一个线性无关的部分组。 【多选题】5. 向量组a1,a2,...,as线性相关的充分必要条件是：C：a1,a2,…,as中至少有一个向量可由其余向量线性 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示。D：a1,a2,…,as中至少有一部分组线性相关 【单选题】4. 矩阵A为三阶矩阵，若已知|A|=m,则|-mA|的值为C:-m*m*m*m 【判断题】3. 若矩阵A可逆，则它一定是非奇异的。正确答案：正确 【多选题】1. 向量组a1,a2,...,as线性无关的必要条件是：A：a1,a2,…,as都不是零向量。C：a1,a2,…,as中任意两个向量都不成比例D：a1,a2,…,as中任一部分组线性无关 【判断题】2. 若矩阵A的列数等于矩阵B的行数，则矩阵A乘以B有意义正确答案：正确 【论述题】关于线性方程组的主观题 线性方程组部分填空题 1．设齐次线性方程组Ax=0的系数阵A的秩为r，当r=  n  时，则Ax=0 只有零解；当Ax=0有无穷多解时，其基础解系含有解向量的个数为  n-r    . 2．设η1，η2为方程组Ax=b的两个解，则  η1－η2或η2－η1    是其导出方程组的解。 3．设α0是线性方程组Ax=b的一个固定解，设z是导出方程组的某个解，则线性方程组Ax=b的任意一个解β可表示为β=  α0+z    . 4．若n元线性方程组Ax=b有解，R（A）=r，则当  [r=n    时，有惟一解；当  ,r＜n  时，有无穷多解。 5．A是m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是  R（A）＜n    . 6．n元齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是  |A|不等于0    。 7 线性方程组Ax=b有解的充要条件是r(Ab)=r(A)    。 8．设 是线性方程组Ax=b的一个特解， 是其导出组的基础解系，则线性方程组Ax=b的全部解可以表示为 =  　 1．求线性方程组 的通解. 答案：通解为：x=k1 2．求齐次线性方程组 的一个基础解系. 答案：基础解系为v1= 3．求非齐次线性方程组的通解 答案：同解方程组为 ，通解为 4  求方程组的通解 答案：化为同解方程组 通解为 5．已知线性方程组 （1）求增广矩阵（Ab）的秩r（Ab）与系数矩阵A的秩r（A）； （2）判断线性方程组解的情况，若有解，则求解。 答案：（1）r（Ab）=r（A）=4 （2）有唯一解。x1=-1;x2=-1;x3=0;x4=1 第四次作业 【论述题】关于线性关系的主观题 向量的线性关系填空题 1．向量α=（1，3，5，7），β=（a,b,5,7），若α=β，则a= 1  ,b=  3 . 2．已知向量 =（1，2，3）， =（3，2，1），则3 +2 =      （9，10，11）      ， - =  （-2，0，2）      ． 3．设向量组 线性无关，则向量组 ， + ， + + 线性    无关　  ． 4．设向量 线性无关，则 线性  无关    。 5．设向量 线性无关，则向量 线性    相关      ． 6. 是3维向量组,则 线性 相  关. 7．零向量是线性  相关  的，非零向量α是线性  无关    的. 线性关系部分证明题 1　 证明：如果向量组 线性无关，则向量组 亦线性无关． 证明：设有一组数 ，使 成立，整理得 由于 线性无关，所以 因为其系数行列式 ，所以方程组只有零解，即 ．向量组 线性无关得证． 2．设向量β可由向量α1，α2，…，αr线性表示，但不能由α1，α2，…，αr-1线性表示，问向量组α1，α2，…，αr-1，αr与向量组α1，α2，…，αr-1，β是否等价？为什么？ 答案：等价。因为β可由α1，α2，…，αr线性表示，所以有λ1，λ2，…，λr，使 β=λ1α1+λ2α2+…+λrαr，λr≠0                ① 又α1=α1，…，αr-1=αr-1，故向量组α1，α2，…，αr-1，β可由向量α1，α2，…，αr线性表示。 由式①有 即α1，α2，…，αr也可由向量组α1，α2，…，αr-1，β线性表示，故两向量组等价。 3．设α1，α2是某个齐次线性方程组的基础解系，问α1+α2，2α1－α2是否也可构成该方程组的基础解系？ 答案：α1+α2，2α1－α2显然是方程组的解。所以以下只证α1+α2，2α1－α2线性无关。设有一组数λ1，λ2，使得 λ1（α1+α2，）+λ2（2α1－α2）=0， 即  （λ1+2λ2）α1+（λ1－λ2）α2=0， 因α1，α2线性无关，故 而  所以λ1=λ2=0，则α1+α2，2α1－α2线性无关，仍是基础解系。 4．已知 ，判定此向量组是线性相关还是线性无关。 答案：线性相关。 5．设 =（1，1，2）T， =（1，2，3）T， =（1，3，t）T 请问当t为何值时， ， ， 线性相关？并将 用 ， 线性表示． 答案：当t=4时， ， ， 线性相关。 ＝－ ＋２ ．. 6  , 设 线性无关，而 线性相关，则 能由 线性表示，且表示法惟一。 答案：因 线性相关，故有 不全为零，使 要证 可由 线性表示，只要证明 ，假设k=0，则 不全为零，且有 故 线性相关，矛盾，所以 。 设有个表示式 两式相减得 因 线性无关，所以 ，即 所以表示法惟一。 第五次作业 【论述题】关于特征值的选择题 特征值部分选择题 1. Ａ是ｎ阶正交矩阵，则［A　］ （Ａ）   （Ｂ）   （Ｃ）   （Ｄ） 2. A与B是两个相似的n阶矩阵,则[ A ] (A) 存在非奇异矩阵P,使             (B) |A| |B|  (C) 存在对角矩阵D,使A与B都相似于D        (D) 3  下列结论中,错误的有( B)