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数学 如何做辅助线如何做辅助线 一.添辅助线有二种情况: 1.按定义添辅助线: 如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90埃?SPAN style="FONT-SIZE: 10.5pt; COLOR: black; FONT-FAMILY: 宋体; LETTER-SPACING: 0.4pt">证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。 2.按基本图形添辅助线: 每个几何定理都有与它相对应的几何图形,我们把它叫做基本图形,添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形,因此“...

数学   如何做辅助线
如何做辅助线 一.添辅助线有二种情况: 1.按定义添辅助线: 如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90埃?SPAN style="FONT-SIZE: 10.5pt; COLOR: black; FONT-FAMILY: 宋体; LETTER-SPACING: 0.4pt">证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。 2.按基本图形添辅助线: 每个几何定理都有与它相对应的几何图形,我们把它叫做基本图形,添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形,因此“添线”应该叫做“补图”!这样可防止乱添线,添辅助线也有规律可循。举例如下: (1)平行线是个基本图形: 当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线 (2)等腰三角形是个简单的基本图形: 当几何问 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。 (3)等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形: 出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。 (4)直角三角形斜边上中线基本图形 出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。 (5)三角形中位线基本图形 几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线,当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形;当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点,则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。 (6)全等三角形: 全等三角形有轴对称形,中心对称形,旋转形与平移形等;如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形:或添对称轴,或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明,添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线 (7)相似三角形: 相似三角形有平行线型(带平行线的相似三角形),相交线型,旋转型;当出现相比线段重叠在一直线上时(中点可看成比为1)可添加平行线得平行线型相似三角形。若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向,这类题目中往往有多种浅线方法。 (8)特殊角直角三角形 当出现30,45,60,135,150度特殊角时可添加特殊角直角三角形,利用45角直角三角形三边比为1:1:√2;30度角直角三角形三边比为1:2:√3进行证明 (9)半圆上的圆周角 出现直径与半圆上的点,添90度的圆周角;出现90度的圆周角则添它所对弦---直径;平面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有一砧,瓦,水泥,石灰,木等组成一样。 二.基本图形的辅助线的画法 1.三角形问题添加辅助线方法 方法1:有关三角形中线的题目,常将中线加倍。含有中点的题目,常常利用三角形的中位线,通过这种方法,把要证的结论恰当的转移,很容易地解决了问题。 方法2:含有平分线的题目,常以角平分线为对称轴,利用角平分线的性质和题中的条件,构造出全等三角形,从而利用全等三角形的知识解决问题。 方法3:结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形,或利用关于平分线段的一些定理。 方法4:结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目,常采用截长法或补短法,所谓截长法就是把第三条线段分成两部分,证其中的一部分等于第一条线段,而另一部分等于第二条线段。 2.平行四边形中常用辅助线的添法 平行四边形(包括矩形、正方形、菱形)的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质,所以在添辅助线方法上也有共同之处,目的都是造就线段的平行、垂直,构成三角形的全等、相似,把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理,其常用方法有下列几种,举例简解如下: (1)连对角线或平移对角线: (2)过顶点作对边的垂线构造直角三角形 (3)连接对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构造线段平行或中位线 (4)连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段,构造三角形相似或等积三角形。 (5)过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等. 3.梯形中常用辅助线的添法 梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合,通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁,梯形中常用到的辅助线有: (1)在梯形内部平移一腰。 (2)梯形外平移一腰 (3)梯形内平移两腰 (4)延长两腰 (5)过梯形上底的两端点向下底作高 (6)平移对角线 (7)连接梯形一顶点及一腰的中点。 (8)过一腰的中点作另一腰的平行线。 (9)作中位线 当然在梯形的有关证明和计算中,添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁,将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决,这是解决问题的关键。 4.圆中常用辅助线的添法 在平面几何中,解决与圆有关的问题时,常常需要添加适当的辅助线,架起题设和结论间的桥梁,从而使问题化难为易,顺其自然地得到解决,因此,灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法,对提高学生 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 问题和解决问题的能力是大有帮助的。 (1)见弦作弦心距 有关弦的问题,常作其弦心距(有时还须作出相应的半径),通过垂径平分定理,来沟通题设与结论间的联系。 (2)见直径作圆周角 在题目中若已知圆的直径,一般是作直径所对的圆周角,利用"直径所对的圆周角是直角"这一特征来证明问题。 (3)见切线作半径 命题的条件中含有圆的切线,往往是连结过切点的半径,利用"切线与半径垂直"这一性质来证明问题。 (4)两圆相切作公切线 对两圆相切的问题,一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线,通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。 (5)两圆相交作公共弦 对两圆相交的问题,通常是作出公共弦,通过公共弦既可把两圆的弦联系起来,又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。 作辅助线的方法 一:中点、中位线,延线,平行线。 如遇条件中有中点,中线、中位线等,那么过中点,延长中线或中位线作辅助线,使延长的某一段等于中线或中位线;另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线,以达到应用某个定理或造成全等的目的。 二:垂线、分角线,翻转全等连。 如遇条件中,有垂线或角的平分线,可以把图形按轴对称的方法,并借助其他条件,而旋转180度,得到全等形,,这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。 三:边边若相等,旋转做实验。 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,有时边角互相配合,然后把图形旋转一定的角度,就可以得到全等形,这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心,因题而异,有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。 四:造角、平、相似,和、差、积、商见。 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,欲证线段或角的和差积商,往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时,一般地,有两种方法:第一,造一个辅助角等于已知角;第二,是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀:“造角、平、相似,和差积商见。” 五:两圆若相交,连心公共弦。 如果条件中出现两圆相交,那么辅助线往往是连心线或公共弦。 六:两圆相切、离,连心,公切线。 如条件中出现两圆相切(外切,内切),或相离(内含、外离),那么,辅助线往往是连心线或内外公切线。 七:切线连直径,直角与半圆。 如果条件中出现圆的切线,那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角;相反,条件中是圆的直径,半径,那么辅助线是过直径(或半径)端点的切线。即切线与直径互为辅助线。 如果条件中有直角三角形,那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆,或半圆;相反,条件中有半圆,那么在直径上找圆周角——直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。 八:弧、弦、弦心距;平行、等距、弦。 如遇弧,则弧上的弦是辅助线;如遇弦,则弦心距为辅助线。 如遇平行线,则平行线间的距离相等,距离为辅助线;反之,亦成立。 如遇平行弦,则平行线间的距离相等,所夹的弦亦相等,距离和所夹的弦都可视为辅助线,反之,亦成立。 有时,圆周角,弦切角,圆心角,圆内角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线。 九:面积找底高,多边变三边。 如遇求面积,(在条件和结论中出现线段的平方、乘积,仍可视为求面积),往往作底或高为辅助线,而两三角形的等底或等高是思考的关键。 如遇多边形,想法割补成三角形;反之,亦成立。 另外,我国明清数学家用面积证明勾股定理,其辅助线的做法,即“割补”有二百多种,大多数为“面积找底高,多边变三边”。 十、见中点引中位线,见中线延长一倍  在几何题中,如果给出中点或中线,可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。  十一、 在比例线段证明中,常作平行线。  作平行线时往往是保留结论中的一个比,然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。  十二、对于梯形问题,常用的添加辅助线的方法有  1、 过上底的两端点向下底作垂线  2、 过上底的一个端点作一腰的平行线  3、 过上底的一个端点作一对角线的平行线  4、 过一腰的中点作另一腰的平行线  5、 过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交  6、 作梯形的中位线  7 延长两腰使之相交  十三、在解决圆的问题中  1、两圆相交连公共弦。  2 两圆相切,过切点引公切线。  3、见直径想直角  4、遇切线问题,连结过切点的半径是常用辅助线  5、解决有关弦的问题时,常常作弦心距。  从其他角度看添加辅助线的方法 (一) 从图形考虑 1, 在三角形中,已知一条中线,常把延长一倍构成全等三角形或平行四边形,或把一边延长一倍造中位线,或取另一边的中点作成中位线。 2, 在三角形中,若已知两条或三条中线时,则常连结两个中点作成中位线或延长某一中线到它的三分之一处,使之与重心、两个顶点构成平行四边形。 3, 在等腰三角形中。常引底边上的高或顶角的平分线;在直角三角形中,则常引斜边上的中线或高。 4, 在梯形中,常过顶点作高或与腰平行的线段;若已知各边中点,则作中位线。 5, 在圆中,常作直径所对的圆周角,垂直于弦的半径(或直径)。过切点的半径;若两圆相切,则常作它的公切线和连心线;此外,还可根据共圆条件作一些辅助圆。 (二) 从要证的结论考虑 1, 要证线段的和、差、倍、分或比较大小时,常用延长或截取方法进行等量代换。 2, 要证线段、角相等时,常找全等形进行等量代换。 3, 要证四条线段成比例时,常作平行线找相似形。 4, 要证面积相等时,常平移变换找等积形。 (三) 从添辅助线的作用考虑 1, 作平行线有利于造成线段、角相等,有利于造成相似形、平行四边形、全等形、等积形。 2, 作垂线有利于造成平行线、直角三角形。 3, 作圆有关线段和角,有利于用圆的有关性质和有关定理。 如何添加辅助线,归纳的方法是很多的,还可用如下的口诀加以记忆; 辅助线如何添,找出规律凭经验。 题中有角平分线,可向两边作垂线。 线段垂直平分线,可与两端把线连。 三角形中两中点,连结则成中位线。 三角形中有中线,则把中线一倍延。 成比例,证相似,通常要作平行线。 作线原则有一条,证题线段别割断 圆外若有一切线,切点圆心把线连。 如果两圆内外切,经过切点作切线。 两圆相交于两点,一般要作公共弦。 是直径、成半圆,想作直角把线连。 作等角,添个圆,证明题目少困难。 辅助线是虚线,画图注意莫改变。 辅助线的添法灵活多变,归纳只是一种形式,要灵活掌握,灵活运用。这里只是介绍了常规的一些辅助线的作法,具体问题要具体分析,要多在实际问题中去操练,才能形成自己的能力。 梯形添加辅助线常用方法例析 梯形作为特殊的四边形,在求解时常常需要转化为三角形或平行四边形等来解决。于是,梯形添加辅助线的方法就成为同学们学习时的一个难点。为此,笔者根据教学中的经验,归纳总结了一个梯形添加辅助线方法的口诀,这里介绍给大家并举例说明之。 梯形问题中,转化很重要, 平移对角线,平移梯形腰, 作出梯形高,延长两腰来相交, 中位线要想到,一腰中点等积变。 例1. 如图1,已知在梯形ABCD中,AD//BC,AC=BD,求证:AB=CD 图1 证明:过点D作DE//AC,交BC的延长线于点E。因为DE//AC,所以 。又因为AD//BC,所以四边形ACED为平行四边形,所以AC=DE,又因为AC=BD,所以BD=DE,所以 ,所以 在 和 中 所以 所以AB=DC 例2. 如图2,已知梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC,求证: 图2 证明:过点D作DE//AB,交BC于一点E,因为AB//DE,所以 。又因为AD//BC,所以四边形ABED为平行四边形,所以AB=DE,又因为AB=DC,所以DE=DC,所以 ,所以 例3. 如图3,在梯形ABCD中, , ,AD//BC,AD=3,DC=6,求梯形的面积S。 图3 解:过点A、D分别作 , ,垂足分别为E、F 在 中,因为 ,所以 所以 , 在 中,因为 ,所以AE=BE,因为AD//BC, , ,所以四边形AEFD为矩形,所以 ,所以 ,所以 例4. 已知,如图4,在梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD,求证:梯形ABCD为轴对称图形。 图4 证明:延长BA、CD交于点E,过点E作 ,交BC于G,交AD于F,因为 ,所以 。又因为AD//BC,所以 ,因为 ,所以 ,即EG垂直平分AD、BC。又因为 , ,所以梯形ABCD关于EG对称,所以梯形ABCD为轴对称图形。 例5. 如图5,已知梯形ABCD中,AD//BC,E为AB的中点,且 ,求证: 图5 证明:取CD中点M,连结EM,因为EM为梯形ABCD的中位线 所以 又因为 ,所以 所以 为 ,所以 例6. 如图6,已知在梯形ABCD中,AD//BC,M、N为腰AB、DC的中点,求证:(1)MN//BC;(2) 图6 证明:连结AN并延长,交BC的延长线于点E,因为 , 所以 所以 , 又 所以MN是 的中位线,所以MN//BC, 因为 所以 梯形没有平行四边形、矩形等特殊四边形那么多性质,所以有关梯形的证明、计算题,常有一定的难度,如果能巧借辅助线,则能有效地化难为易。 一、移腰 (1)移动一腰,构成三角形求解。 例1:梯形两底长分别为14cm和24cm,下底与腰的夹角分别是60°和30°,求较短腰长。 解析:如图1,在梯形ABCD中,AD//BC,AD=14cm,BC=24cm,∠B=60°,∠C=30°。过点A作AE//DC交BC于E,得到平行四边形AECD和△ABE,故AE=DC(相当于将腰DC移到AE的位置),AD=EC(相当于将上底AD移到下底上,BE为两底之差),∠C=∠AEB=30°(相当于将∠C移到∠AEB的位置)。 图1 这样,梯形的两腰,两底之差,下底与腰的两个夹角都集中于Rt△ABE中,于是得到较短腰。AB=?BE=?·(24-14)=5(cm) (2)移动两腰,构成三角形解决问题。 例2 如图2,梯形ABCD中,AD//BC,E、F分别是AD、BC的中点,且EF⊥BC。 求证:∠B=∠C。 图2 分析:过点E作EM//AB,EN//DC,分别交BC于点M、N。梯形两腰、下底与腰的两个夹角集中于△EMN中,由E、F分别是AD、BC的中点容易得到MF=FN=?(BC-AD),又由EF⊥BC,得EM=EN,故∠EMN=∠ENM,所以∠B=∠C。 二、移对角线,形成平行四边形 例3 如图3,已知梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC,对角线AC、BD互相垂直,梯形的两底之和为8。求梯形的高与面积。 图3 解析:过点D作DE//AC交BC的延长线于点E,过点D作DM⊥BC于点M,这样得到平行四边形ACED,所以AC=DE(相当于将对角线AC移到DE的位置),AD=CE(相当于将上底、下底移到一起,BE为两底之和)。由AC⊥BD,得BD⊥DE。 这样将两对角线,两底和,两对角线夹角集中于△BDE中。容易得到DM为等腰直角△BDE的BE边上的高,所以DM=?BE=?(BC+AD)=4,即梯形的高为4,故S梯形ABCD=?BE·DM=16。 三、移底,形成三角形 例4 如图4,梯形ABCD中,AB//CD,E为腰AD的中点,且AB+CD=BC。 求证:BD⊥CE。 图4 分析:延长CE交BA的延长线于点F,因为点E为AD的中点,可得△DCE≌△AFE,故CE=FE,CD=AF,由AB+CD=BC,得BC=BF,故BE⊥CE。 例5 如图5,在梯形ABCD中,AB//CD,且AB>CD,E、F分别是AC和BD的中点。 求证:EF=?(AB-CD)。 图5 分析:连接DE并延长交AB于点G,易得△AGE≌△CDE,故DC=GA,DE=EG,从而得。EF=?GB=?(AB-CD) 四、作双高成矩形 例6 如图6,在梯形ABCD中,AB//CD,两条对角线AC=20cm,BD=15cm,梯形高为12cm,求梯形ABCD的面积。 图6 解析:此题有两种解法。 法一:如图6,分别过点C、D作CE⊥AB于点E,DF⊥AB于点F,得矩形DCEF,在Rt△ACE中,AC=20cm,CE=12cm,可得AE=16cm。同理BF=9cm,显然BF+AE=AB+CD=25(cm),可求梯形面积为150cm2。 法二:如图7,过点D作DE//CA交BA的延长线于点E,过点D作DF⊥BA于点F,在Rt△DEF中,DE=AC=20cm,DF=12cm,由勾股定理可得EF=16cm。同理,FB=9cm,所以AB+CD=AB+AE=EF+FB=25(cm),进而求得梯形面积为150cm2。 图7 小结:通过添加辅助线,将梯形分割为我们所熟悉的特殊平行四边形和特殊三角形,再利用特殊平行四边形和特殊三角形的有关知识来解决问题。添加辅助线的规律可归纳为以下几点: 1、当两腰(或对角线)具备特殊关系时,移腰(或对角线),构造等腰三角形或直角三角形。 2、当涉及面积时,作高,构造直角三角形。 3、当涉及腰(或对角线)的中点时,可添加辅助线构造全等三角形。 4、当涉及两底的和或差时,可灵活利用上述3点,将两底移到同一直线上。 平面几何是初中教学的重要组成部分,它的基础知识在生产实践和科学研究中有着广泛的应用,又是继续学习数学和其他学科的基础,但许多初中生对几何证实题感到困难,尤其是对需要添加辅助线的证实题,往往束手无策。 定义:为了证实的需要,在原来图形上添画的线叫做辅助线。 关于添加辅助线的问题,这是初中生学习平面几何难点之一,也是平面几何教学中的一个重点。但是由于诸多方面的因素的影响,许多学生在完成几何作业或考试答卷中经常出现辅助线的作法和叙述上的错误。 例如:如图,已知⊙O的半径为5㎝, 弦AB∥CD,AB=6㎝,CD=8㎝。 求:AB和CD的距离。 这道题的辅助线如图,可是在作业中同学却出现了如下种种叙述方法: 1、作AB和CD的垂线段MN 2、过O点作直线MN垂直AB和CD 3、过O点作AB和CD的垂直平分线MN 4、作OM⊥AB,并延长交CD于N 5、连结AB,CD的中点MN,并使之通过O点 6、连结MN,使MN⊥AB,MN⊥CD 经过分析,几种叙述方法都是错误的。而这种种错误,归纳起来大致有以下两个原因: 1、不会使用几何作图的规范用语; 2、违反了几何作图的基本要求; 3、违反了几何作图的基本原则。 那么,如何解决同学们在作辅助线时出现的问题呢? 一、注重培养学生的几何语言的 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达能力 从学生的开始学习几何时就应引入和应用规范用语,突出几何语言,非凡在学习尺规作图时,更就突出作图规范用语和练习,否则就会出现前文中出现的辅助线作法的叙述上的错误。下面介绍几种常用的辅助线的正确叙述方法: 连结:如图连结AC、BD交于O点 作平行线:如图:过D点作DG∥AE,交BC于G 作垂线:如图分别过A、D两点作AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E、F 延长:如图延长AC交⊙O于F,连结DF 二、加强添加辅助线的教学与研究 关于添加辅助线的问题。 这是初中学生学习平面几何的难点之一,要在教学中循序渐进练习学生。可以通过精选例题,让学生开阔眼界,灵活思路,把握规律,提高能力。在添辅助线时,必须使学生明确辅助线要添得合理,必须符合基本作图要求。 如证实:“三角形内角和定理“。要证实这个定理应先以CA为一边,在△ABC外部作∠ACE=∠BAC,再延长BC,然后只要证实∠ECD=∠ABC就行了。根据这样分析,故先作BC延长边CD,并在△ABC外部以CA为一边,CE为另一边作∠ACE=∠BAC,然后即可证∠BAC+∠ABC+∠ACB=180?/SPAN>。此外还可以让学生把握多种方法添辅助线。 教学时,要注重强调添加辅助线是手段,而不是目的,它是沟通已知和未知的桥梁,不能见到题目,就无目的地添加辅助线。一则没用、二则辅助线越多,图形越乱,反而妨碍思考问题。同时,还应注重常见的辅助线的教学,使学生体会到许多辅助线的添加是有规可循的,从而进一步提高分析问题能力。不断引导学生总结一些带有规律性结论,有助于拓宽思路,丰富联想,而达到融会贯通的目的。 教学时,要注重强调添加辅助线强调一条辅助线只能提供一个条件。如作高只能提供垂直而不能提供过中点等。 三、注重培养学生了解几何问题的思考方法,防止添加辅助线的盲目性 很多学生不能够把握正确的思考方法,经常是不着边际的添加一些不恰当的辅助线,不仅不能有助于解题,反而使图形复杂化,影响了对习题的解答。怎样解决这个问题呢?仔细的分析一下,不难发现,不同的问题需要添加不同的辅助线,相同的问题思考方法不同,辅助线的添加又不同,所以说正确的添加辅助线依靠于问题本身对问题有一个正确的思考方法。因此,学生对一些问题的思考方法就显得很重要了。 例如:有这样一个习题,矩形ABCD中,E是DC上的一点,且AE=AB,BF⊥AE于F,求证:EF=EC 这个题目的证实本身可以不添加辅助线,直接证实△ABF≌△EAD,从而AF=DE,又因为DC=AB=AE,即可以得出结论。但是不同的学生对同一个问题的思考方法不同,因而出现几种添加辅助线的方法: 、验证EF=EC可以它们所在的三角形全等,因而需要将它们构建到两个全等的三角形中去,所以连接B、E。 、验证EF=CE可以证它们是一个等腰三角形的两条腰,所以连结F、C。 上述几种方法有繁有简,但都能顺利地得出结论,所以采用不同的思考方法,对同一个问题就有了不同的辅助线的添加方法。 四、帮助学生找到添加辅助线的规律 怎样才能正确地添加辅助线呢?我帮助学生总结了以下规律口诀: 人说几何很困难,难点就在辅助线。辅助线,如何添?把握定理和概念。 还要刻苦加钻研,找出规律凭经验。图中有角平分线,可向两边作垂线。 也可将图对折看,对称以后关系现。角平分线平行线,等腰三角形来添。 角平分线加垂线,三线合一试试看。线段垂直平分线,常向两端把线连。 要证线段倍与半,延长缩短可试验。三角形中两中点,连接则成中位线。 三角形中有中线,延长中线等中线。平行四边形出现,对称中心等分点。 梯形里面作高线,平移一腰试试看。平行移动对角线,补成三角形常见。 证相似,比线段,添线平行成习惯。等积式子比例换,寻找线段很关键。 直接证实有困难,等量代换少麻烦。斜边上面作高线,比例中项一大片。 半径与弦长计算,弦心距来中间站。圆上若有一切线,切点圆心半径连。 切线长度的计算,勾股定理最方便。要想证实是切线,半径垂线仔细辨。 是直径,成半圆,想成直角径连弦。弧有中点圆心连,垂径定理要记全。 圆周角边两条弦,直径和弦端点连。弦切角边切线弦,同弧对角等找完。 要想作个外接圆,各边作出中垂线。还要作个内接圆,内角平分线梦圆 假如碰到相交圆,不要忘作公共弦。内外相切的两圆,经过切点公切线。 若是添上连心线,切点肯定在上面。要作等角添个圆,证实题目少困难。 辅助线,是虚线,画图注重勿改变。假如图形较分散,对称旋转去实验。 基本作图很关键,平时把握要熟练。解题还要多心眼,经常总结方法显。 切勿盲目乱添线,方法灵活应多变。分析综合方法选,困难再多也会减。 虚心勤学加苦练,成绩上升成直线。几何证题难不难,关键常在辅助线; 知中点、作中线,中线处长加倍看;底角倍半角分线,有时也作处长线; 线段和差及倍分,延长截取证全等;公共角、公共边,隐含条件须挖掘; 全等图形多变换,旋转平移加折叠;中位线、常相连,出现平行就好办; 四边形、对角线,比例相似平行线;梯形问题好解决,平移腰、作高线; 两腰处长义一点,亦可平移对角线;正余弦、正余切,有了直角就方便; 非凡角、非凡边,作出垂线就解决;实际问题莫要慌,数学建模帮你忙; 圆中问题也不难,下面我们慢慢谈;弦心距、要垂弦,碰到直径周角连; 切点圆心紧相连,切线常把半径添;两圆相切公共线,两圆相交公共弦; 切割线,连结弦,两圆三圆连心线;基本图形要熟练,复杂图形多分解; 以上规律属一般,灵活应用才方便。 五、注重总结常见添加辅助线的方法 在平时的教学中教会学生思考问题的方法是极为重要的,总结一些常见的辅助线的添加办法也有助于学生解决问题,在几年的教学中总结以下几点: 1、定义类: ㈠、和角平分线有关的问题,通常可以作这个角的两边的平行线 例如:△ABC中,AD是∠BAC的角平分线,与BC交于D,求证:AB︰AC=BD︰CD 这个习题的证实方法很多,但均离不开添加∠BAC的两边的平行线。①过D做DE∥AC与AB交于E。②过D做DF∥AB与AC交于F。③过B做BH∥AC与AD交于H。④过C做CG∥AB与AD的延长线交于G。 ㈡、如遇垂直平分线的问题,往往构成等腰三角形,利用等腰三角形的性质解题 例:已知在三角形ABC中,BD,CE分别是AC,AB边上的高,G为ED的中点,求证:FG⊥ED 分析:G是ED的中点,要证实FG⊥ED,说明FG必为ED的垂直平分线,自然考虑添加辅助线DF与EF,只要证得DF与EF相等,就可利用等腰三角形的三线合一定理推出结论。 ㈢、梯形问题。梯形没有平行四边形、矩形等非凡四边形那么多性质,所以有关梯形的证实、计算题,常有一定的难度,假如能巧借辅助线,则能有效地化难为易。 、移腰 ①、移动一腰 例1梯形两底长分别为14cm和24cm,下底与腰的夹角分别是60?/SPAN>和30?/SPAN>,求较短腰长。 解析:如图1,在梯形ABCD中,AD//BC,AD=14cm,BC=24cm,∠B=60?/SPAN>,∠C=30?/SPAN>。过点A作AE//DC交BC于E,得到平行四边形AECD和△ABE,故AE=DC,AD=EC,∠C=∠AEB=30?/SPAN>。 图1 这样,梯形的两腰,两底之差,下底与腰的两个夹角都集中于Rt△ABE中,于是得到较短腰。 ②、移动两腰 例2如图2,梯形ABCD中,AD//BC,E、F分别是AD、BC的中点,且EF⊥BC。 求证:∠B=∠C。 图2 分析:过点E作EM//AB,EN//DC,分别交BC于点M、N。梯形两腰、下底与腰的两个夹角集中于△EMN中,由E、F分别是AD、BC的中点轻易得到,又由EF⊥BC,得EM=EN,故∠EMN=∠ENM,所以∠B=∠C。 、移对角线 例3如图3,已知梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC,对角线AC、BD互相垂直,梯形的两底之和为8。求梯形的高与面积。 图3 解析:过点D作DE//AC交BC的延长线于点E,过点D作DM⊥BC于点M,这样得到平行四边形ACED,所以AC=DE,AD=CE。由AC⊥BD,得BD⊥DE。 这样将两对角线,两底和,两对角线夹角集中于△BDE中。轻易得到DM为等腰直角△BDE的BE边上的高,所以,即梯形的高为4,故。 、移底 例4如图4,梯形ABCD中,AB//CD,E为腰AD的中点,且AB+CD=BC。 求证:BD⊥CE。 图4 分析:延长CE交BA的延长线于点F,因为点E为AD的中点,可得△DCE≌△AFE,故CE=FE,CD=AF,由AB+CD=BC,得BC=BF,故BE⊥CE。 例5如图5,在梯形ABCD中,AB//CD,且AB>CD,E、F分别是AC和BD的中点。 求证:。 图5 分析:连接DE并延长交AB于点G,易得△AGE≌△CDE,故DC=GA,DE=EG,从而得。 、作高 例6如图6,在梯形ABCD中,AB//CD,两条对角线AC=20cm,BD=15cm,梯形高为12cm,求梯形ABCD的面积。 图6 解析:此题有两种解法。 法一:如图6,分别过点C、D作CE⊥AB于点E,DF⊥AB于点F,得矩形DCEF,在Rt△ACE中,AC=20cm,CE=12cm,可得AE=16cm。同理BF=9cm,显然BF+AE=AB+CD=25,可求梯形面积为。 法二:如图7,过点D作DE//CA交BA的延长线于点E,过点D作DF⊥BA于点F,在Rt△DEF中,DE=AC=20cm,DF=12cm,由勾股定理可得EF=16cm。同理,FB=9cm,所以AB+CD=AB+AE=EF+FB=25,进而求得梯形面积为。 图7 通过添加辅助线,将梯形问题转化为非凡平行四边形和非凡三角形问题,从而解决问题。梯形添加辅助线的规律可归纳为以下几点: 1、当两腰具备非凡关系时,移腰,构造等腰三角形或直角三角形。 2、当涉及面积时,作高,构造直角三角形。 3、当涉及腰的中点时,可添加辅助线构造全等三角形。 4、当涉及两底的和或差时,可灵活利用上述三点,将两底移到同一直线上。 ㈣、涉及到圆的辅助线可以归纳如下: ①遇有直径,常把圆上的一个点和直径的两个端点连接,构成直角三角形; ②有关弦的问题常做弦心距和将圆心与弦的两个端点连接; ③两圆相切或相交,则可以按以下规律进行:“相切做条公垂线,相交做条共弦;相切相交连心线,必定过切点,垂直公共弦”。 ㈤、和线段的中点有关的问题往往可以联系到三角形和梯形的中位线 例如:如图四边形ABCD是圆的外切四边形,其周长是S,E,F分别是AD,BC的中点,求证:4EF≤S 证实方法:连接AC,N是AC和EF的交点,若N是AC的中点,则EF∥DC∥AB,四边形ABCD是梯形,那么EF是梯形ABCD的中位线,则有 4EF=2=AB+BC+CD+DA=S 若N不是AC中点则可以做出AC的中点M,连接EM,FM,则有2EM=DC,2FM=AB,从而可以得出4=2=S,而在三角形EMF中EF﹤EM+MF,可得4EF<S。 2、暗示类: ㈠、截长补短:一条线段等于另外两条线段的和差。 例如:已知Rt△ABC中,∠C=90?/SPAN>,AC=BC,AD是∠BAC的角平分线,求证:AB=BC+CD 方法一:截长,在AB上截取AE等于AC,连接DE从而就有了△AED≌△ACD,可得DE=DC,因为∠C=∠90?/SPAN>,从而又可得△BED是等腰三角形,因此有DE=DC=BE,得出AB=AC+CD 方法二:补短延长AC到F,使CF=CD,连接D、F,可证△ABD≌△AFD,可得AF=AB,得出结论。 ㈡、当比例式不能直接证实时,往往可以考虑“中间比”或等线段,为此往往需要添加平行线或寻找等线段实现这种比的转移。 例:已知在三角形ABC中,D在CB的延长线上,E在AC上,BD=AE,DE交AB于F, 求证:DF︰EF=AC︰BC。 分析:所证实的四条成比例线段,构不成两个相似三角形,因此考虑作EG∥AB,将DF︰EF转化为DB︰BG,最后转化为AC︰BC。 ㈢、一条线段等于另外一条线段的倍分。 例:已知在三角形ABC中,∠B=2∠C,AD为高,E为BC的中点,求证:AB=2DE。 证实:取AC中点F,连接EF,DF,则EF为中位线,且EF∥AB、∠FEC=∠B=2∠C,在直角三角形ACD中,F是斜边AC的中点,所以有DF=CF、可得∠DEF=∠C,即有2∠FDC=∠FEC,从而有∠EFC=∠FDC+∠DFE,所以2∠DFE=∠FEC=2∠FDC得出DE=EF,得出2DE=AB得证。 六、注重强调添加辅助线的原则: 聚拢集中原则 通过添置适当的辅助线,将图形中分散,远离的元素,通过变换和转化,是他们相对集中,聚拢到有关图形上来,使题设条件与结论建立逻辑关系,从而推导出要求的结论 化繁为简原则 对一类几何命题,其题设条件与结论之间在已知条件所给的图形中,其逻辑关系不明朗,通过添置适当辅助线,把复杂图形分解成简单图形,从而达到化繁为简,化难为易的目的 总之,关于辅助线的添加单凭本人的一些观点是不够的,主要还是应靠学生自己在学习中不断摸索,积累,以致形成经验。另外,还应注重添加辅助线时,往往不是一下子可以作出来的,应根据分析逐步完成,举一反三。
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