浅谈黎卡提方程的求解

编号      090901228    毕业论文 （ 2013 届本科） 题    目：      浅谈黎卡提的求解      学    院：      数学与统计学院        专    业：      数学与应用数学        作者姓名：          吴大婷            指导教师：  张飞羽  职称：    教授    完成日期：  2013  年   5  月  30  日 二○一三年四月 浅谈黎卡提方程的求解 吴大婷    指导老师:张飞羽 (河西学院数学与应用数学专业2013届2班28号, 甘肃张掖 734000) 摘  要 著名的黎卡提方程是一个部分可积的非线性常微分方程,本文给出了黎卡提方程可用初等积分法求解的一些充分条件,使得黎卡提方程在满足一定条件下可以用初等解法求解,并给出一些特殊类型黎卡提方程的通解表示.此外,本文还提出了黎卡提方程的另一种解法,即将它转化为二阶齐次性微分方程,再根据朗斯基定理,得出其通解. 关键词 黎卡提方程;初等积分法;分离变量;伯努利方程;朗斯基; 中图分类号 O175.14 The Solution of Riccati Equation Wu Dating      Instructor Zhang Feiyu （No. 28, Class 2 of 2013, Specialty of Mathematics and Applied Mathematics, Hexi University,Zhangye,Gansu,734000） Abstract: The Riccati equation is a partly interglacial differential equation. In this paper some sufficient conditions are given that elementary integration as well as the representatives of general solutions for several Riccati equations. We also puts forward another solution for Riccati equations which turns it into two order homogeneous linear differential equation, then gets the general answer of Riccati equation basics on the Wronsky theorem. Keywords: Riccati equation; Elementary integral; Separable variable; Bernoulli equation; Wronsky 黎卡提方程是一类不可用初等方法求解的微分方程,它有着重要应用.例如,它曾用于证明贝塞尔方程的解不是初等函数.另外,它也出现在现代控制论和向量场分支理论的一些问题中.黎卡提方程的研究既有着显而易见的理论和实际意义,又有着广阔的研究前景.由于黎卡提方程在理论上和应用上的重要性,一直有人寻求它的可积类型及可积方程.我们知道,黎卡提方程一般情况下不能用初等积分法求解,但在一些特殊情况下却有初等解法,那么,在哪些情况下黎卡提方程有初等解法呢?本文给出一些充分条件使得黎卡提方程可用初等积分法求解. 1  黎卡提方程可积的充分条件 黎卡提方程是形如 （1.1） 方程,其中 在区间 上连续,而且 .这里给出它可积的一些充分条件,使得黎卡提方程(1.1)在满足一定条件下可以用初等解法求解. 定理1.1  设已知黎卡提方程(1.1)的一个特解 则可用积分法求得它的通解. 证明  对方程(1.1)做变换 其中 是新的未知函数.代入方程(1.1),得到 由于 是方程(1.1)的解,从上式消去相关项以后就有 (1.2) 这是一个 伯努利方程.因此,此方程可以用初等积分法求出通解. 定理1.2  若 则黎卡提方程(1.1)可积. 证明  由于 ,则黎卡提方程(1.1)可化为 (1.3) 作变换 ,则 代入(1.3)式中即为 整理得 这是变量可分离方程,从而此时方程可积. 定理1.3 若 , 则黎卡提方程(1.1)可积. 证明 由于 ,则黎卡提方程(1.1)可化为 (1.4) 作变换  则 代入(1.4)式中即为 整理得 这是变量可分离方程,从而此时方程可积. 定理1.4  两类特殊黎卡提方程 : 和 : 可相互转换,当 及 为零或正整数时,这两类特殊黎卡提可经有限次变换解出. 证明 方程 : 令 可化为 整理得 此为方程 : 的形式.反之,方程 可通过 ,则化为 此方程为 的形式. 下证当方程 中 或方程 中 为零或正整数时方程可解. 当 时,即 方程 为变量分离方程.方程 则直接可解为 因 可互换,仅证当 为正整数时方程可解.方法为取变换 即有 则方程 变为 即为 此仍为方程 的形式.若经 此变换,则原方程 线性项 的系数 变为 .由 的假设,有 即系数 变为 , ,即为 的情形,方程 有解 定理1.5 设黎卡提方程形如 (1.5) 其中 , , 都是常数.又 , ,则当 时,方程(1.5)可通过适当的变换化为变量分离的方程. 证明 不妨设 (否则作自变量变换 即可).因此代替方程(1.5),考虑方程 (1.6) 当 时,(1.6)是一个变量分离的方程 当 时,作变换 ,其中 是新未知函数.然后代入方程(1.6),得到 这也是一个变量分离的方程. 当 时,作变换 其中 和 分别为新的自变量和未知函数,则(1.6)变为 (1.7) 其中 再作变换 其中 和 分别为新的自变量和未知函数, 则(1.7)式变为 (1.8)                            其中 方程(1.8)和(1.6)在形式上一样,只是右端自变量的指数从 变为 .比较 与 对 的依赖关系不难看出,只要将上述变换的过程重复 次,就能把方程(1.6)化为 的情形. 当 时,微分方程(1.5)就是(1.7)的类型,因此可以把它化为微分方程(1.8)的形式,从而可以化归到 的情形,至此定理证完. 2  一些特殊类型的黎卡提方程的通解表示 Euler 于1763-1764 年,Weyr 和Picard 于1875-1877 年得到了三个古典结果:若已知黎卡提方程的一个、两个或三个特解,则其通解可分别只需二次、一次积分或不需积分得到.首先我们给出引理如下: 引理 设 连续且一阶可导, , 及 为实数,则黎卡提型方程 （2.1） 可积,且其通解为 1 时, 2 时, 3 时, 或 其中 为任意常数, 表 的一个原函数（下同）,且 该定理的证明见文献[3],由引理可得如下的推论. 推论  设 连续且 一阶可导, , 及 为实数, ,则黎卡提型方程 （2.2） 可积,其通解为 ,这里 为方程(2.1)的通解. 定理2.1 设 为黎卡提方程(1.1)的一个特解,则其通解为 证明  由假设得 解出 并代入方程原方程得 把它改写为 这正是方程(2.2),当 时的特例,其通解为 为方程(2.1)当 取前述形式时的通解, ,据引理即可得解式. 定理2.2  设 为黎卡提方程(1.1)的两个不同特解,则其通解为 （2.3） 证明 由假设,有 前两式相减并整理可得 代入 得 于是方程变为 或改写为 它正是方程(2.2),当 时的特例,而 , 利用方程(2.1)即可得到式（2.3）,由（2.3）式可以看出,当已知黎卡提方程（1.1）的两个相异特解 时,于是其通解可只经一次积分得到. 为了方便求出黎卡提方程的通解下面给出黎卡提方程的一个性质. 黎卡提方程的性质  黎卡提方程(1.1)的任意四个特解的交比为常数,即若 为四个特解, 则 常数. 定理2.3  设 为黎卡提方程(1.1)的三个相异特解,则其通解为 显然不需求积分即可得通解,其证明可由上述黎卡提方程的性质得出. 综上,如果能找到方程（1.1）的一个特解,就可直接利用定理2.1的结果得出通解,而不需要再作变换化为伯努利方程求解;同样,若已知方程（1.1）的两个或三个特解,则可由定理2.2 或定理2.3直接得其通解. 3 化为二阶齐次线性徽分方程求通解 引理(朗斯基)  如果 , 是 的两个线性无关解, 和 连续,则 是方程的通解,其中 是任意常数. 定理3.1  黎卡提方程 中,当 连续, , 可导且 , 连续时,方程的通解是 其中 , 是 的两个线性无关解, 是任意常数. 证明 由原方程可得 即有 其中 , .所以可令 ,则原方程化为 从而有 即有 （3.1） 其中            . 在方程(3.1)两边同时乘以 ,得 由于 令 ,则有 于是 从而有 即有 . 整理得 满足 . 它是二阶齐次线性微分方程,根据朗斯基定理,设的通解为 . 其中 , 是它的两个线性无关解, , 是任意常数. 由于 ,所以 从而 又因为 ,所以黎卡提方程的通解为 其中 , 是它的两个线性无关解, , 是任意常数. 定理3.2 当 连续时, 的通解是 其中 , 是 的两个线性无关解, 是任意常数. 不难看出,定理3.2可以看作定理3.1的推论,只要在定理3.2中令 , , 即可得定理3.2之结论. 综上所述,只要 , 可导,且其导函数连续,则黎卡提方程可化为二阶齐次线性微分方程.但是如果 , 不连续或 , 不可导,则上述转化仍不可行.所以要彻底解决黎卡提方程的求解问题,仍需进一步探讨和研究. 致谢  衷心感谢张飞羽教授对本文的悉心指导! 参 考 文 献 [1] 叶彦谦编.常微分方程讲义[M].人民教育出版社,1979. [2] 中山大学数学系编.常微分方程[M].人民教育出版社,1978. [3] 任永泰,史希福主编.常微分方程[M].辽宁人民出版社,1984. [4] 贺建勋,王志成.常微分方程(上册)[M].湖南科技出版社,1979年. [5] 杨翰深.一阶微分方程的几个可积类型一兼谈黎卡提微分方裸的一个猜想及两个结论[J].四川建材学编学扭,1987年第一、二期. [6] 汤光宋.关于Raccati方程的求解法武汉教育学院学报[J].玲邸年第3期. [7] 赵临龙,成波,王克刚.二阶变系数线性微分方程Riccati方程解法[J].吉首大学学报,2001,(2):58～591. [8] 范小勤.几类Riccati方程的求解[J].攀枝花学院学报.2009;26(3):78-80. [9] E．卡姆克．常微分方程手册[M].北京:科学出版社,1980． [10] 曹恒.黎卡提方程几种特解的判定[J].数学理论与应用,2002,22(4):82- 84. [11] 邱翠萍.黎卡提方程有初等解法的两个充分条件[J].沈阳电力高等专科学校学报.2003;5(2):57-58. [12] 赵临龙.Riccati方程的不变量及其应用[J].邵阳师专学报.1998;2:16-20